湖北省老河口市第一中学高二数学下学期期中试题 文.doc

湖北省老河口市第一中学高二年级2015-2016学年度下学期期中考试数学(文科)试题 祝考试顺利 时间：120分钟 分值150分第i卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1下列判断错误的是（ ）a“”是“”的充分不必要条件 b命题“”的否定是“”c“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题d若为假命题，则均为假命题2已知，有解，则下列选项中是假命题的为（）a b c d3已知ar，则“a2”是“a22a”成立的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断4如果函数f（x）=2x24（1a）x+1在区间3，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）a（，2 b2，+） c（，4 d4，+）5抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb=120过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最小值为（ ）a b c 1 d 6如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（ ）a b c d7已知直线与抛物线交于两点，点，若，则（ ）a b c d08已知函数f（x）=lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（ ）a（，1） b（，e3） c（1，+） d（e3，+）9已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，设三条边的中点分别为，且的纵坐标分别为.若直线的斜率之和为，则的值为（ ）a b c d10函数的图象大致是（ ）11正项等比数列中的 ，是函数的极值点，则（ ） a b c d 12已知双曲线c：=1，若存在过右焦点f的直线与双曲线c相交于a，b 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（ ）a b c2 d2二、填空题（20）13曲线c：y=xlnx在点m（e，e）处的切线方程为 14已知函数y=f（x）是定义在r上的单调递增函数，且1是它的零点，若f（x2+3x3）0，则实数x的取值范围为 15若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= 16已知不等式组的解集是不等式2x29x+a0的解集的子集，则实数a的取值范围是 三、解答题（70）17设a，br，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：f（x）x32x218已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围19已知函数，直线.（）求函数的极值； （）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.20在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：21已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值22已知f（x）=|2x1|+ax5（a是常数，ar）（）当a=1时求不等式f（x）0的解集（）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围答案dbabd dbdbb bc13. y=2xe 14. （4，1） 15. 16. （，917【答案】（1）（2）证明见解析解：（1），由在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0，解得，令f（x）=0，得，令f（x）0，得，此时f（x）单调递增；令f（x）0，得，此时f（x）单调递减 （2）证明：设，令h（x）=0，得x=1，令h（x）0，得0x1，此时h（x）单调递增；令h（x）0，得x1，此时h（x）单调递减，h（x）0从而f（x）x32x218. 【答案】（1）（2）解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+）， x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0，经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为19. 【答案】（）函数有极小值3，无极大值（）（）见解析试题解析：函数定义域为， 求导，得， 令，解得当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以函数有极小值，无极大值 （）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切， 设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点，所以， 即，此方程显然无解，所以假设不成立所以对于任意，直线都不是曲线的切线. （）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得. 令，则，其中，且.考察函数，其中， 因为时，所以函数在单调递增，且. 而方程中， ，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点. 考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义. 20. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意易得可得四边形oprq为正方形，求出， 又在椭圆c上，及在第一象限，可解得的值；(2)由直线op：y=k1x，oq：y=k2x均与圆r相切，圆心到直线的距离等于半径可得k1、k2是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得， 又因为在椭圆c上， 可得，从而，即2k1k2+1=0，得证试题解析：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形oprq为正方形，故，即 又在椭圆c上，所以由及在第一象限，解得,(2)证明：因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x均与圆r相切， 所以，化简得同理有 所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，所以， 又因为在椭圆c上，所以，即，所以，即2k1k2+1=021. 【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由离心率及椭圆中的关系可得，再将点代入椭圆方程求出，即可求出椭圆的标准方程；(2)先讨论直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，当直线斜率存在时，设直线方程为：与抛物线方程联立由弦长公式得，设直线的方程为：与椭圆方程联立，由弦长公式可得，从而可求出四边形的面积，换元利用函数的单调性求得，所以其面积的最小值为.试题解析：（1）由题意得：，得，因为椭圆过点，则，解得，所以，所以椭圆方程为：（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得，令，则， ，直线的方程为：，将直线与椭圆联立得，令，由弦长公式， 四边形的面积， 令，上式，所以最小值为考点：1.椭圆的标准方程及几何意义；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误.22. 【答案】（）x4（）（2，2）【解析】试题分析：（）(1)理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点的距离, (2) 分类讨论，分三部分进行讨论；求得不等式f(x)的解集；（）由f（x）=0得|2x1|=ax+5作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象，观察函数的图像，当满足什么条件是两函数图像有两个不同的交点，即函数y=f（x）有两个不同的零点从而得到 a的取值范围.试题解析：当a=1时，f（x）=|2x1|+x5=由解得x2； 由 解得x4f（x）0的解为x|x2或x4 由f（x）=0得|2x1|=ax+5作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点故a的取值范围是（2，2）考点：绝对值不等式及函数的零点.30已知函数，其中（提示：）（1）若是的极值点，求的值；（2）求的单调区间；（3）若在上的最大值是0，求的取值范围【答案】(1) ;(2) 当时，的增区间是 ，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；，减区间是和 ;(3) .【解析】试题分析：(1)求函数的导数，由求出即可；(2) 求函数的导数，由， ， ，分别讨论的正负，即可求出其相应的单调区间；(3)由（2）可知，时，在上单调递增，由，知不合题意，再分与讨论，由求之即可.试题解析： （1）依题意，令，解得经检验，时，符合题意（2）当时，故的单调增区间是；单调减区间是当时，令，得，或当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调减区间是当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和当时，的单调增区间是； 单调减区间是 综上，当时，的增区间是 ，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；，减区间是和 （3）由（2）知时，在上单调递增，由，知不合题意当时，在的最大值是由，知不合题意当时，在单调递减可得在上的最大值是，符合题意，所以，在上的最大值是0时，的取值范围是 考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值.31已知函数，ar（）求函数f（x）的单调区间；（）如果当x0，且x1时，恒成立，求实数a的范围【答案】（）（，a1+）（）（，2【解析】试题分析：（）先求了函数f（x）的定义域和导数，构造函数g（x）=x2+2（1a）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间（）“当x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，恒成立”，构造函数h（x）=f（x）a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围解：（）函数f（x）的定义域为（0，+）设g（x）=x2+2（1a）x+1，=4a（a2）当a0时，函数y=g（x）的对称轴为x=a1，所以当x0时，有g（x）g（0）0，故f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数； 当0a2时，由=4a（a2）0，得g（x）=x2+2（1a）x+10，所以f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数， 当a2时，令g（x）=0得，令f（x）0，解得0xx1或；令f（x）0，解得x1xx2所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+）；f（x）的单调递减区间（，a1+）（）“当x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，（）恒成立”， 设h（x）=f（x）a，由（）知：当a2时，h（x）在（0，+）上是增函数，当x（0，1）时，h（x）h（1）=0，所以； 当x（1，+）时，h（x）h（1）=0，所以； 所以，当a2时，式成立 当a2时，h（x）在（x1，1）是减函数，所以h（x）h（1）=0，式不恒成立 综上所述，实数a的取值范围是（，2 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性32如图，o的半径为r，mn切o于点a，弦bc交oa于点q，bpbc，交mn于点p（）求证：pqac；（）若aq=a，ac=b，求pq【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）连结ab，推导出oamn，bpbc，从而b、p、a、q四点共圆，由此能证明pqac（）过点a作直径ae，连结ce，则eca为直角三角形推导出rtpaqrteca，由此能求出pq证明：（）如图，连结abmn切o于点a，oamn又bpbc，b、p、a、q四点共圆， 所以qpa=abc又can=abc，can=qpapqac 解：（）过点a作直径ae，连结ce，则eca为直角三角形 can=e，can=qpa，e=qpartpaqrteca，=，故= 考点：与圆有关的比例线段33已知f（x）=|xa|+|2xa|，a0（）求函数f（x）的最小值；（）若不等式的解集非空，求a的取值范围【答案】（）（）（1，0）【解析】试题分析：（）根据题意，分段讨论f（x）的解析式，可得，作出其图象，分析可得其最小值；（）由（）的结论，分析可得要使不等式的解集非空，必须，解可得a的取值范围，即可得答案解：（），函数的图象为；从图中可知，函数f（x）的最小值为（）由（）知函数f（x）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须，即a1a的取值范围是（1，0）考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法34设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）过“相关圆”上任意一点作相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.【答案】（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；(2) 或.【解析】试题分析：（1）抛物线焦点为，故，椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出两点横坐标的韦达定理表达式，利用得到一个关系式，利用直线和圆相切得到另一个关系式，由着两个关系式得出的取值范围.试题解析：（1）因为抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以.又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.（2）设联立方程组得，即，即，由条件得，所以原点到直线的距离是，由得为定值.此时要满足，即，又，即，所以，即或.考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零.35设函数，.已知曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求函数的极值点；（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于，第一问容易解决；（2）求出后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；（3）构造函数，存在性问题，转化为来解决.试题解析：（1），所以，所以.（2），其定义域为，令，当时，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点.当时，令，有，当时，即，得在上递减；当时，即，得在上递增；当时，即，得在上递减，此时有一个极小值点和一个极大值点.当时，令，有，当时，即，得在上递增；当时，即，得在上递减，此时有唯一的极大值点.综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点；当时，函数在无极值点；当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点.（3）令，则，若总存在，使得成立，即总存在，使得成立，即总存在，使得成立，即，因为，所以，即在上单调递增，所以，即对任意成立，即对任意成立，构造函数，当时，在上单调递增，对于任意，所以.考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对求导后通分，对分子的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.36已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆方程；（2）记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件焦点坐标以及即可求解；（2）对直线是否存在分类讨论，建立关于斜率的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）为椭圆的焦点，又，椭圆方程为；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，面积相等，当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设，和椭圆方程联立得到，消掉得，显然，方程有根，且，此时，上式，（时等号成立），的最大值为. 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题37已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间：，；（2）.【解析】试题分析：（1）求导，对导函数三角恒等变形后根据导函数的取值情况即可求解；（2）将原问题变形，可知其等价于，求导，对的取值进行分类讨论判断函数的单调性，从而求解.试题解析：（1），令，当，单增，单减；（2）令，即恒成立，而，令，在上单调递增，当时，在上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，与题意不合；当时， 为一个单调递增的函数，而，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为.考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想38如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交圆和于点，若.（1）求证：；（2）求的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用条件证明，再利用相似三角形的性质即可得证；（2）利用条件首先求得，的长度，再利用相交弦定理即可求解.试题解析：（1）是圆的切线，且是公共角，；（2）由切割线定理得，又，又是的角平分线，由相交弦定理得.考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.圆中的比例线段39已知直线的参数方程为(为参数)，在直角坐标系中，以点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）利用，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1），圆的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程(为参数)化为普通方程得：，直线截圆所得弦长为，且圆的圆心到直线的距离或，或. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想40已知不等式的解集为（1）求集合；（2）若，不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）对的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的，再结合问题，可知其等价于，再利用基本不等式求最值即可.试题解析：（1）若，则或或，解得，；（2），由题可知，.考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式求最值；3.恒成立问题；4.分类讨论的数学思想41已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点o为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆o相切（1）求椭圆c的方程；（2）求椭圆c与直线y=kx（k0）在第一象限的交点为a设，且，求k的值；若a与d关于x的轴对称，求aod的面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求得圆o的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设出a的坐标，代入椭圆方程，求得交点a的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值解：（1）由题设可知，圆o的方程为x2+y2=b2，因为直线l：xy+2=0与圆o相切，故有，所以 因为，所以有a2=3c2=3（a2b2），即a2=3所以椭圆c的方程为 （2）设点a（x0，y0）（x00，y00），则y0=kx0由解得，（k=0舍去） ，（当且仅当时取等号），saod的最大值为考点：椭圆的简单性质42已知f（x）=|x1|+|2x+3|（1）若f（x）m对一切xr都成立，求实数m的取值范围；（2）解不等式f（x）4【答案】（1）m（2）2，0【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可解：（1）f（x）=|x1|+|2x+3|，x1时，f（x）=x1+2x+3=3x+2，f（x）5，x1时，f（x）=x+1+2x+3=x+4，f（x）5，x时，f（x）=x+12x3=3x2，若f（x）m对一切xr都成立，只需m即可；（2）x1时，f（x）=x1+2x+3=3x+24，解得：x，无解，x1时，f（x）=x+1+2x+3=x+44，解得：x0，x时，f（x）=x+12x3=3x24，解得：x2，故不等式的解集是：2，0考点：绝对值不等式的解法43如图，直线pq与o相切于点a，ab是o的弦，pab的平分线ac交o于点c，连结cb，并延长与直线pq相交于点q，若aq=6，ac=5（）求证：qc2qa2=bcqc；（）求弦ab的长【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）由于pq与o相切于点a，再由切割线定理得：qa2=qbqc=（qcbc）qc=qc2bcqc从而命题得到证明（）解：pq与o相切于点a，由弦切角等于所对弧的圆周角pac=cba，又由已知pac=bac，所以bac=cba，从而ac=bc=5，又知aq=6，由（）可得qabqca，由对应边成比例，求出ab的值试题解析：（）证明：pq与o相切于点a，由切割线定理得：qa2=qbqc=（qcbc）qc=qc2bcqcqc2qa2=bcqc（）解：pq与o相切于点a，pac=cba，pac=bac，bac=cba，ac=bc=5又知aq=6，由（） 可知qa2=qbqc=（qcbc）qc，qc=9由qab=acq，知qabqca，考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.44在平面直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（为参数），直线l经过点p（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆c相交于两点a，b，求点p到a，b两点的距离之积【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得直线l的参数方程为 ，化简可得结果（2）圆c的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1t2的值，即可得到点p到a，b 两点的距离之积为2解：（1）直线l的参数方程为 ，即 （2）圆c的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得 ，t1t2=2，则点p到a，b 两点的距离之积为2考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程45在极坐标系中，圆c的方程为=2acos（a0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（）求圆c的标准方程和直线l的普通方程；（）若直线l与圆c恒有公共点，求实数a的取值范围【答案】（）圆c的标准方程为（xa）2+y2=a2，直线l的普通方程为：4x3y+5=0，（）【解析】试题分析：（）根据2=x2+y2，x=cos，y=sin把圆c的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（）根据直线l与圆c有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可解：（）由得，则，直线l的普通方程为：4x3y+5=0，由=2acos得，2=2acos又2=x2+y2，cos=x圆c的标准方程为（xa）2+y2=a2， （）直线l与圆c恒有公共点， 两边平方得9a240a250，（9a+5）（a5）0a的取值范围是 考点：参数方程化成普通方程46已知：如图，bc是半圆o的直径，d，e是半圆o上两点，ce的延长线与bd的延长线交于点a（1）求证：ae=de；（2）若，求cd【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到a=ade，再根据等角对等边即可求得结论（2）连接be，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可（1）证明：bc是半圆o直径，adc=bdc=90，edc=ecda=adeae=de（2）解：连接be，de=ecae=ec=2 bc是半圆o直径，bec=90即beacba=bcrtbdc中，tanabc=，设bd=3x，cd=4x，则bc=5x，ab=bc=5x，ad=2xaeac=adab，2 4 =2x5x解得：x=2，即cd=8考点：与圆有关的比例线段47设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（）当b时，求函数f（x）的极值点（）证明对任意的正整数n，不等式都成立【答案】（）函数f（x）在定义域（1，+）上单调递增（）答案见解析（）证明见解析【解析】试题分析：（）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；（）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（）将b=1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）x2x3，从而证出结论解（）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x1），f（x）=2x+=2（x+1）+2220，当且仅当x=时，“=”成立，函数f（x）在定义域（1，+）上单调递增（） 当时，解f（x）=0得两个不同解：当b0时，x1（，1），x2（1，+），此时f（x）在（1，+）上有唯一的极小值点当时，x1，x2（1，+）f（x）在（1，x1），（x2，+）都大于0，f（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，b0，时，f（x）在（1，+）上有唯一的极小值点；（）当b=1时，f（x）=x2ln（x+1），令上恒正，h（x）在0，+）上单调递增，当x（0，+）时，恒有h（x）h（0）=0，即当x（0，+）时，有x3x2+ln（x+1）0，ln（x+1）x2x3，对任意正整数n，取考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值48已知椭圆c的标准方程为：+=1（ab0），该椭圆经过点p（1，），且离心率为（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆：+=1（ab0）长轴上任意一点s（s，0），（asa）作两条互相垂直的弦ab、cd若弦ab、cd的中点分别为m、n，证明：直线mn恒过定点【答案】（）（）证明见解析【解析】试题分析：（）由已知条件推导出，e=，由此能求出椭圆方程（）设直线ab的方程为x=my+s，m0，则直线cd的方程为x=，联立，得m（），将m的坐标中的m用代换，得cd的中点n（），从而得到直线mn的方程为xy=，由此能证明直线mn经过定点（）（）解：点p（1，）在椭圆上，又离心率为，e=，a=2c，4a24b2=a2，解得a2=4，b2=3，椭圆方程为（）证明：设直线ab的方程为x=my+s，m0，则直线cd的方程为x=，联立，得（3m2+4）y2+6smy+3s212=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，x1+x2=（my1+s）（my2+s）=m2y1y2+ms（y1+y2）+s2=，由中点坐标公式得m（，），将m的坐标中的m用代换，得cd的中点n（，）直线mn的方程为xy=，m1，令y=0得：x=，直线mn经过定点（），当m=0，1时，直线mn也经过定点（），综上所述，直线mn经过定点（）考点：直线与圆锥曲线的综合问题49已知函数f（x）=ax2+2xlnx，讨论f（x）的单调性【答案】答案见解析【解析】试题分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行判断即可解：函数的导数（1）当a0时，f（x）0得，此时函数单调递增，由f（x）0得，此时函数单调递减（2）当a=0时，f（x）0得，此时函数单调递增，由f（x）0得，此时函数单调递减（3）当1a0时，f（x）0得，此时函数单调递增，由f（x）0得或，此时函数单调递减（4）当a1时，f（x）0恒成立此时函数单调递减考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；二次函数的性质50在极坐标系中，曲线c：， c与有且仅有一个公共点（）求a；（）o为极点，a，b为c上的两点，且aob=，求|oa|+|ob|的最大值【答案】（）a=1，（）【解析】试题分析：（）首先把极坐标系下的方程把极坐标方程化为直角坐标系的方程，利用直线与圆相切的性质圆心到切线的距离等于半径，即可求得a=1（）不妨设a的极角为，b的极角为，则|oa|+|ob|=2cos+2cos（）=3cossin=2cos（），利用三角函数的单调性，即可求|oa|+|ob|最大值2试题解析：（）曲线c：=2acos（a0），变形2=2acos，化为x2+y2=2ax，即（xa）2+y2=a2曲线c是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：，展开为，l的直角坐标方程为由直线l与圆c相切可得，解得a=1（）不妨设a的极角为，b的极角为，则|oa|+|ob|=2cos+2cos（）=3cossin=2cos（），当时，|oa|+|ob|取得最大值2考点：把极坐标方程化为直角坐标系的方程，直线与圆相切的性质及三角函数的单调性.13已知函数，若方程有四个不同实根，则的范围是 （ ）a. b. c. d.【答案】d.【解析】试题分析：如下图所示，画出的图象，即可知实数的取值范围是，故选d考点：1.分段函数；2.函数与方程；3.数形结合的数学思想14圆c：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p0）相交于a、b两点，若直线ab恰好经过抛物线的焦点，则p等于（ ）a b c2 d4【答案】d【解析】试题分析：由题意可得a（），代入圆的方程求得p值解：直线ab恰好经过抛物线的焦点，a，b的横坐标为，不妨设a（），则由a（）在圆c：（x+2）2+y2=32上，得，即5p2+8p112=0，解得：p=或p=4，p0，p=4故选：d考点：抛物线的简单性质15若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是（ ）a b c d【答案】d【解析】试题分析:由题意可知，函数，有两个“伙伴点