固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章.doc

4.1，根据 k黄昆固体物理习题解答第四章能带理论= 状态简并微扰结果，求出与 E 及 E+相应的波函数 及+?，并说明它a们的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。解令 k= + ， k = ，简并微扰波函数为= Ak0( )+ Bk0( )0a*aE k( ) E A V Bn= 00 ( )V An+ E k E B =0取 E E+带入上式，其中 E+= E k0( )+ VnV(x)0,VnJJ R0*R Ud01=( )s() ( )V ( ) ( )sv=isv v iE k( )sJ0 J1R Neareste ik Rss任选取一个格点为原点最近邻格点有 12 个12 个最邻近格点的位置aaaaaa2a,2a,00,2a,2a2a,0,2a2,2,00,2,22,0,2a2a,a2a,00,a2a,a2aa2a,0,a2a,00,0,22a va2v222v=i +vj+ 0kvsE k( )=Jv v e ik RsRs22s0 J1R Nearestv vvvva va v+vas ik Rs= (+xyz) (i +j0 )=i2( kx+ky)2acee22k aek ab4类似的表示共有 12 项=k ak ay(cosx2i sinx)(cos22i siny)2归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带E ks( )v= s J0k ak ak ak ak ak aJ4 (cos1xcosy+cosxcosz+cosycosz)222222对于体心立方格子，任选取一个格点为原点解答（初稿）作者季正华 - 3 - aaaa黄昆固体物理习题解答aa2,2,22,2,2a2,a2,a2a2,a2,a2a,2a,a,2a,a2aa,2a,a,2a,a2a222222a vaavv=i +vj +kvRssE k( )=sJ0 J1ev v ik Rs222R Nearestv vvvva va va vas ik R= (+) (i +j +k)=i(k+ +kk)esek axyzk a222k ae2xyzk ak ak a类似的表示共有 8 项=(cosx2i sinx)(cos2y2i siny)(cos2z2i sinz)2归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带k akak asv=xyzEk()JJ8coscoscoss012224.7,有一一维单原子链。间距为 a。总长度为 Na。求（1），用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 EF0及 EF0处的能态密度。r= ikaika= Jka EJkaJ J e+ e)J2 cos2 cos解 (1), ( )rs01(s0101( )E k= E J0 ( )s ik RrsN EL= 2dk=2Na1=N(2) ,( ) 2dEJ aka Jsin ka22sin10rNa12 Nak0(3),N= kF2 ( ) 2dk= 22k0=F k0=000= 2F0=FN2a=NE= E k( )EJ2 cosa E N E, (F)FF12as J1sin2a aJ14.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 A =2 i Ba解答（初稿）作者季正华 - 4 - ,=2a第一布里渊区如图所示a黄昆固体物理习题解答 0 a j=,BK += .区边中点的波矢为KA2a角顶 点的波矢为Ba a =h(222 )自由电子能量2mKx+ Ky+ Kz2,2h2h2 h2 A点能量A=2=Kx = ,2m 2m a 2m a22 2 22 2 =h(22 ) =h+=h2B点能量BKx+ Ky 2 ,所以 /BA=2m2m a a2maA= 2i B= 2j C=2k,b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为第一布里渊区如图 72 所示2,aa,a2A点能量=h A2m a ;解答（初稿）作者季正华 - 5 - 2黄昆固体物理习题解答2222 22 h()h =h B点能量=222=+BKx+ Ky+ Kz 3 ,所以 B/2mA=3 a a2m am2a(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子 =h2(222 )理论，自由电子的能量为2mKx+ Ky+ Kz3，FerM 面应为球面由(b)可知，内切于4点的内切球的体积4 ，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为 33 a43 a2V( )3=3N=1.047N其中V = Na3二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)这样，晶体将只有绝缘体性质然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电4.9半金属交叠的能带2 2E k= E (0) h k,m=0.18 m1( )12m11h2v vE k( )=( )+(k k02) ,m2= 0.06 m2E k202m2其中 E1(0) 为能带 1 的带顶，E k2( )0为能带 2 的带底.E1(0) E k2( ) 0.10eV 由于能带的交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论 T = 0 K 时的费密能级解：半金属的能带 1 和能带 2 如图所示2 2E k= E (0) h k1( )12m1h2v vE k=( ) +(k k)22( )E k202m20k =2 (0)m E11 E k1( )h解答（初稿）作者季正华 - 6 - 能带 1 的能态密度黄昆固体物理习题解答2N E=VdSk( ) 2 = h1= h(2 )3kEkEm1N E=VdSkEN E=E2 (0)1 E k1( )/ m1V4 k21( ) 2(2 )3 kE1( ) 23(2 )h2 (0)E1 E k1( )/ m13N E( )=2V2m()1 2E(0)E k( )1221(2 )h同理能带 2 的能态密度3N E( )=2V(2m)E k( ) E k( )2222 220(2 )h半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带 2 中，满足EE01(0)N E dE =FN E dEE0FE1( )VmE2(k0)32( )02(231(0)2(2) E k dE( )=EFVm)E k( ) E k dE( )221 2E1(0)1222 2220E0F(2 )3h3E1( 0)3E2(k0)(2 )3hE0Fm2 (0) E k( )2= m 2 ( )E k( )21E110EF22E k20E2(k0) E0= m E0( ) (0)F2FE k20m E11m E (0)+m E (k )0E =1 1220( m1=V )0.18 ,m m2= 0.06 m E1(0) E k2( ) 0.10eF0=EFm +m12E k2( ) 0.0750eV4.12，正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为U x y( ) 2 x 2 y = 4 cosacosa.用基本方程，近似求出布里渊区角 , a a 处的能隙 解以 表示位置矢量的单位矢量，以 b b12 表示倒易矢量的单位矢量，则有，解答（初稿）作者季正华 - 7 - 黄昆固体物理习题解答 +,2( )r = xiyi G G b1 1+ G b2 2=g b + g b, g g 为整数。a1 12 212晶体势能U x y( ) = 2 x 2 y 24 cos2acos2a.2ixixiyiy( )( ) = U rU e+e e+eiGUe G( )G( )其中UG( )= U，而其他势能傅氏系数UG( )= UG( )20= =. 0 。 这 样 基 本 方 程( k) ( ) + GG() 0变为( ) ( )()G( )()G( )()+()=0+ UC K G+ UC K G+ UC K GUC K G( )KG( ) ( )1 11( )( )( )G( )求布里渊区角顶 , ，即 k G( , ) =G处的能隙，可利用双项平面波近似 a a 2 22 =( )iKr+()()来处理。当 K =12G( )K = 12G( )时依次有K G( )= 1G( )K G( )= +1G( )而其他的K G ( )，2K G ( ) G ( )2， 所 以 在 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有 1( )C K G( ) =1( ) C G 2C G2 1( )( ) =1( ) C G 2C K GC +G2 111 CG ( ) UC G ( ) = 0G( )2 22 1( ) 1( ) =1 CG UC +G02G( )1( ) 2u22Gu1G( ) =0，因为22122 21=1= =hG( )= hG( )G( )2m 2ma222 22= =U22h U ,由行列式有()U0解得 =2ma解答（初稿）作者季正华 - 8 - 黄昆固体物理习题解答4.13.证明面心立方晶体 S 电子能带 E（K）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为：(1)沿X（Ky=Kz=0, Kx=2a，1）E=EsaA4B（12cos） (2)沿L（Kx=Ky=Kz= 2a，1/2）E=EsaA12Bcos2(2)沿K（Kz=0, Kx= Ky=2a，3/4）E=EsaA4B（cos22cos）(4)沿W（Kz=0, Kx=2a，Ky=a，1）E=EsaA4B（cos cos/2coscos/2）解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公式，（教材 P184）Es（K）=EsaA4B（cosa2Kxcosa2Ky+ cosa2Kycosa2Kz+ cosa2Kzcosa2Kx）把各方向的Kx、Ky、Kz值代入上式即可得到相应的答案，具体计算略。补充习题一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为 a ,电子的波函数为1)k( x) = sinxa2)(x) = mk()m=if (xma)x3)k(x) = i cos3a4)(x) = )kl=f ( xla求电子在这些态中的波矢解：根据布洛赫定理vv=v vv(r Rn)eik Rn(r )一维情形布洛赫定理 (x + a) = eikax()1）电子的波函数k(x) = sinxa+xax+=k(xa)sina= sinak(x a) = k( ) = eikak( )eika= 1电子的波矢 k = a (x + a) = eikax()2）电子的波函数解答（初稿）作者季正华 - 9 - k(x) =(m)黄昆固体物理习题解答m=i)f (xma+= +k(xa)ixma= i+m()mf (1)+()1if x(ma1)= il(i)(=fxla)ixk()（ eika=i ，电子的波矢 k= ）2a (x + a) = eikax()3）电子的波函数k( x) = i cos3x a(xa)k(x + ai3x) =cos 3+ai cos= eika= 1ax = k()电子的波矢k = a (x + a) = eikax()4）电子的波函数k(x) = )l=f (xla(+= +xa)1)k+l=f x(la=m=f (xma)= kx()eika= 1电子的波矢 k = 0补充习题电子的能量为2k222=+E(k)E(kx+y+kz)h求能态密度kmxmymz2解答（初稿）作者季正华 - 10 - 将电子能量改写为黄昆固体物理习题解答2k221kyx+kz=1 k 空间的一个椭球方