沈阳农业大学基础部数学教研室.pdf

沈阳农业大学基础部数学教研室 第 1 页 高等数学是各专业的一门重要的基础理论课 通过本课程的学习 要使学生获得 向量代数 与 空 间解析几何 微积分 常微分方程与无穷级数 等方面的基本概论 基本理论与基本运算 同时要通 过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力 逻辑推理能力 空间想象能力和自学能力 在传授知识的 同时 要着眼于提高学生的数学素质 培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识 兴趣和能力 第一章第一章第一章第一章 函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限 1 1 1 1 1 1 1 1 函函函函 数数数数 一一一一 集合集合集合集合 常量与变量常量与变量常量与变量常量与变量 1 1 1 1 集合概念集合概念集合概念集合概念 集合是数学中的一个基本概念 所谓集合集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物 称为该集合的元素 例如 一个书柜中的书构成一个集合 一个教室里的学生构成一个集合 全体实数构成一个集合等等 元素与集合的关系元素与集合的关系元素与集合的关系元素与集合的关系 凡事物a是集合M的元素 记作aM 读作a属于M 凡事物a不是集合M 的元素 aM 读作a不属于M 表示方法表示方法表示方法表示方法 用 A B C D表示集合 用 a b c d表示集合中的元素 一个集合 若它只含有有限个元素 则称为有限集有限集有限集有限集 不是有限集的集合称为无限集无限集无限集无限集 由有限个元素组成的集合 可用列举出它的全体元素的方法来表示 例如 321 LLaaaA 由无穷多个元素组成的集合 通常用如下的记号表示 设M是具有某种特征的元素x的全体所组成 的集合 记作 具有的特征xxA 这里所谓所具有的特征所具有的特征所具有的特征所具有的特征 实际上就是作为的元素应适合的充分 必要条件 适合这条件的任何事物都是集合M的元素 反之 集合M的元素都必须适合这条件 例如 xoy平面上坐标适合方程 22 1xy 的点 x y的全体组成的集合M 可记作 22 1Mx y x yxy 为实数 集合M就是xoy平面上以原点O为中心 半径等于 1 的圆周上 的点全体组成的集合 以后用到的集合主要是数集 即元素都是数的集合 如果没有特别声明 以后提到 的数都是实数 常见的数集常见的数集常见的数集常见的数集 全体自然数的集合记作N 全体整数的集合记作Z 全体有理数的集合记作Q 全体 实数的集合记作R 集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系 A B是两个集合 如果集合A的元素都是集合B的元素 则称A是B的子集子集子集子集 记作AB 例如 NZ ZQ QR 如果集合A与集合B互为子集 则称A与B相等相等相等相等 记作AB 例如 设 1 2A 2 1B 2 320Cx xx 则ABC 若作AB 且AB 则称A是B的真子集真子集真子集真子集 不含任何元素的集合称为空集空集空集空集 记作 例如 2 10 x xR x 是空集 因为适合条件 2 10 x 的 实数不存在A 2 2 2 2 集合的运算集合的运算集合的运算集合的运算 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 2 页 并集并集并集并集ABU ABx xAxB U或 交集交集交集交集ABI ABx xAxB I且 差集差集差集差集BA BxAxxBA 且 全集全集全集全集I E 补集补集补集补集 C A 集合的并 交 余运算满足下列法则 交换律 ABBA UU ABBA II 结合律 ABCABC UUUU ABCABC IIII 分配律 ABCACBC UUIUI ABCACBC IUUIU 对偶律 c cc ABAB UI c cc ABAB IU 笛卡儿积 A B ByAxyx 且 3 3 3 3 区间和邻域区间和邻域区间和邻域区间和邻域 区间是用得较多的一类数集 设a和b是实数 且ab 数集 xxb 称为开区间开区间开区间开区间 记作 ba 即 ba xxb a和b称为开区间 ba的端点 数集 xaxb 称为闭区间闭区间闭区间闭区间 记作 ba 即 ba xaxb a和b称为闭区间 ba 的端点 这里 aa b ba b 类似可定义半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间 a bxaxba bxaxb 以上为有限区间有限区间有限区间有限区间 引进记号 正无穷大 负无穷大 则可类似表示无限区间 b a 邻域邻域邻域邻域 邻域也是一个经常用到的概念 以a为中心的任何开区间称为点a的邻域 记作 aU 设 是任一正数 则开区间 aa 就是点a的一个邻域 称为点点点点a的的的的 邻域邻域邻域邻域 记作 U ax axa 点a称为这邻域的中心 称为这邻域的半径 由于xa 表示点x与 点a间的距离 所以表示与点a距离小于 的一切点x的全体 有时用到的邻域需要把邻域中心去掉 点a的 邻域去掉中心a后称为点点点点a的去心邻域的去心邻域的去心邻域的去心邻域 记作 U a o 即 U a o 0 xxa 这里0 xa 就表示xa 4 4 4 4 常量与变量常量与变量常量与变量常量与变量 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 3 页 在观察自然现象或技术过程中 常常会遇到各种不同的量 其中有的量在过程中不起变化 也就是保 持一定的数值 这种量叫常量常量常量常量 还有一些量在过程中是变化着的 也就是可以取不同的数值 这种量叫变变变变 量量量量 例如 把一个密闭容器内的气体加热时 气体的体积气体的分子个数保持不变 它们是常量 而气体 的温度和压力在变化 则是变量 它们取越来越大的数值 一个量是常量还是变量 要根据具体情况而定 例如 就小范围来说 重力加速度可以看作常量 但 就广大地区而言 则为变量 通常用字母 a b c等表示常量 用字母 x y t等表示变量 设变量x所取数值的全体组成数集M 那么变量也可看作表示数集M中任何元素的符号 例如 设 xa b 则x就表示数集 a bxaxb 中任何元素的符号 特殊地 数集M x xa 只含 一个元素 则表示数集元素的符号x就是常量 在此意义上 常量可看作变量的特殊情形 二二二二 函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念 在同一自然现象或技术过程中 往往遇到有几个变量在同时变化着 这几个变量并不是孤立在变 而 是相互联系并遵循着一定的变化规律 先就两个变量的情形举几个例子 多于两个变量的情形以后在第 八章再讲 例例例例 1 1 1 1 考虑圆的面积A和它的半径r的关系 大家知道 它们由式 2 Ar 给定 当半径r在区间 0 内任意取定一个数值时 由上式就可以确定圆面积A的相应数值 例例例例 2 2 2 2 自由落体运动 设物体下落时间为t 落下距离为s 假设开始下落时刻为0t 那么s与他t之间 的相依关系由公式 2 1 2 sgt 给定 其中g重力加速度 假定物体着地的时刻为tT 那么档时间t在闭 区间 0 T上任意取定一个数值式 由上式可以确定落下距离s的相应数值 例例例例 3 3 3 3 设有半径为r的圆 考虑内接于该圆的正n边形的周长 n S 2sin nn Snr 其中 n n 所有内 接正边形周长 n S与边数n的相依关系由公式2sin n Snr n 给定 当边数n在 3 4 5 等自然数中任意 取定一个数值时 由上式可以确定周长 n S的相应数值 抽取上面这几个例子的实际意义 它们都变动了变量之间的依赖关系 这种相依关系式一种对应法则 根据这一法则 当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时 另一个变量就有确定的数值与之对 应 两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质 1 1 1 1 函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念 定义定义定义定义 设x和y是两个变量 D是一个给定的数集 如果对于每个数xD 变量y按照一定法则总 有确定的数值和它对应 则称y是x的函数函数函数函数 记作 yf x 数集D叫作这个函数的定义域定义域定义域定义域 x叫做自 变量 y叫做因变量 函数相等函数相等函数相等函数相等 定义域 对应法则相等 当x取数值 0 xD 时 与 0 x对应的y的数值叫做函数 yf x 在 0 x处的函数值 记作 0 yf x 当 x遍取D的各个数值时 对应的函数值全体组成的数集 Wy yf xxD 称为函数的值域值域值域值域 函数 yf x 中的对应关系的记号f也可改用其它字母 如 F 等等 此时的函数就记作 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 4 页 yx yF x 等等 在实际问题中 函数的定义域是根据实际意义确定的 如例 1 中 定义域 0 D 例 2 中定义 域 0 DT 例 3 中定义域 3DnnN n 在数学中 有时不考虑函数的实际意义 而抽象地研究用算式表达的函数 这时我们约定 函数的定 义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 例如 函数 2 1yx 的定义域是闭区间 1 1 函数 2 1 1 y x 的定义域是开区间 1 1 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应函数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数单值函数单值函数单值函数 否则叫 做多值函数多值函数多值函数多值函数 下面举一个多值函数的例子 例例例例 4 4 4 4 在直角坐标系中 以原点为圆心 半径为r的方程是 222 xyr 这方程在闭 r r 上确定一个以 x为自变量y为因变量的函数 当x取r 或r时 对应的函数值都只有一个 但当取开区间 r r 内任 意一个数值时 对应的函数值就有两个 所以这函数就是多值函数 以后 凡是没有特别说明时 函数都是指单值函数 设函数 yf x 的定义域为 D 对于任意取定的xD 对应的函数值为 yf x 这样 以x为 横坐标 y为纵坐标确定了xoy平面上的一个点 x y 当x遍取D内的每一个数值时 就得到点 x y 的集合C Cx y yf xxD 这个点集C就称为函数的图形 图中W表示函数 yf x 的 值域 下面举几个函数的例子 例例例例 5 5 5 5 函数2y 的定义域 D 值域 2W 它的图形是一条平行于x轴的直线 例例例例 6 6 6 6 函数 0 0 x x yx x x 是一个分段函数 它的定义域 0 D 当 0 1x 时 对应 的函数值 2f xx 当 1 x 时 对应的函数值 1f xx 例如 1 0 1 2 所以 11 22 22 f 10 1 所以 12 12f 31 所以 31 34f 用几个式子来表示一个函数 不仅与函数定义并无矛盾 而且有现实意义 在自然科学和工程技术中 经常会遇到分段函数的情形 例如在等温过程中 气体压强p与体积V的函数关系 当V不太小时依从 玻意耳定律 当V相当小时 就要用范德瓦耳斯方程来表示 即 0 0 2 k VV V pk VV VV 那么函数 f x在X上无界 例如 函数在 sinf xx 在 内来说 数 1 是它的一个上界 1 是它的一个下界 当然大 于 1 的任何数也是它的上界 小于 1 的任何数也是它的下界 又 sin1x 对一切实数x都成立 故函 数 sinf xx 在 内是有界的 这里M 1 当然也可取大于 1 的任何数作为 M 而使 f xM 成立 又如函数 1 f x x 在开区间 0 1内没有上界 但又下界 例如 1 就是它的一个下界 函数 1 f x x 在开区间 0 1 内是无界的 因为 不存在这样的正数M 使 1 M x 对于 0 1内的一切x都成立 x 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 6 页 接近于 0 时 不存在确定的数 1 K 使得 1 1 K x 成立 但在开区间 1 2 是有界的 例如可取1M 而是 1 1 x 对于一切 1 2x 都成立 函数在函数在函数在函数在X上有界的充要条件上有界的充要条件上有界的充要条件上有界的充要条件 它在X上既有上界又有下界 注注注注 不同函数 不同定义域 有界性变化 2 2 2 2 函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性 单增 单减 设函数 xf的定义域为D 区间ID 如果对于区间I上的任意两点 12 x x 当 12 xx 时 恒有 1 xf 2 xf 则称函数 xf在区间I上时单调增加单调增加单调增加单调增加的 如果对于区间I上的任意两点 12 x x 当 12 xx 2 xf 则称函数 xf在区间I上时单调减少单调减少单调减少单调减少的 单调增加与单调减少函数统称为单单单单 调函数调函数调函数调函数 例如 函数 2 f xx 在 0 是单调增加的 在 0 上是单调减少的 在 内 函数 2 f xx 不是单调的 函数在 3 f xx 在 是单调增加的 3 3 3 3 函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性 设 f x的定义域D关于原点对称 即若xD 则必xD 如果对于任一 xD fxf x 恒成立 则称函数 f x为偶函数偶函数偶函数偶函数 如果对于任一 xD fxf x 恒成立 则称函数 f x为奇函奇函奇函奇函 数数数数 例如 2 f xx 是偶函数 因为 2 2 fxxxf x 又例如 3 f xx 是奇函数 因为 3 3 fxxxf x 偶函数图形关于y轴是对称的 因为若 f x是偶函数 则 fxf x 所以如果 A x f x是 图形上的点 则与它关于y轴对称的点 Ax f x 也在图形上 奇函数图形关于原点是对称的 因为若 f x是奇函数 则 fxf x 所以如果 A x f x 是图形上的点 则与它关于y轴对称的点 Ax f x 也在图形上 函数sinyx 是奇函数 函数cosyx 是偶函数 函数sincosyxx 既非奇函数也非偶函数既非奇函数也非偶函数既非奇函数也非偶函数既非奇函数也非偶函数 4 4 4 4 函数的周期性函数的周期性函数的周期性函数的周期性 定义域中成立 xflxf 设函数 xf的定义域为D 如果存在一个不为零的数l 使得对于任一xD 有 xlD 且 f xlf x 恒成立 则称 xf为周期函数周期函数周期函数周期函数 称l为的周期周期周期周期 通常所谓的周期为最小正周期 例如 函数sin cosyx yx 都是以2 为周期的周期函数 函数tanyx 是以 为周期的周期函 数 三三三三 反函数反函数反函数反函数 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 7 页 反函数反函数反函数反函数 设函数 yf x 的定义域为D 值域为W 因为W是函数值组成的数集 所以对于任一 0 yW 必有 0 xD 使 00 f xy 成立 这样的 0 x可能不止一个 一般地 对于任意数值yW D上 至少可以确定一个数值x与y对应 这个数值适合 yf x 这里如果把y看作自变量 x看作因变量 按照函数的概念 就得到一个新的函数 这个新的函数称为函数的反函数 记作 xy 其定义域为 W 值域为D 相对于反函数 xy 来说 原来的函数 yf x 称为直接函数 原函数与反函数的图像关xy 于对称 例例例例 10101010 函数 2 yx 的定义域为 值域为 0 在 0 上任意取值0y 则适合关系 2 xy 的数值x有两个xy 所以 2 yx 的反函数为xy 是多值函数 因为函数 2 yx 在区 间 0 上是单调增加的 所以若把x限制在 0 上 则 2 yx 的反函数是单值的 即xy 它 称为函数 2 yx 的反函数的一个单值分支 令一个单值分支为xy 1 1 1 1 2 2 2 2 初等函数初等函数初等函数初等函数 一一一一 幂函数幂函数幂函数幂函数 函数 yx 是常数 叫做幂函数 幂函数yx 的定义域要视 的值而定 如 当3 时 3 yx 的定义域为 当 1 2 时 1 2 yxx 的定义域为 0 当 1 2 时 1 2 1 yx x 的定 义域为 0 但无论 取什么值 幂函数在内 0 总有定义 二二二二 指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1 1 1 1 指数函数指数函数指数函数指数函数 函数 0 1 x yaaaa 是常数且叫做指数函数 它的定义域是 因为对于任何实数x总有0 x a 又 0 1a 所以指数函数的图形 总在x轴的上方 且通过点 0 1 若1a 指数函数 x a是单调增加的 若01a 是常数且 叫做对数函数 它的定义域 是 0 对数函数的图形总在y轴右方 且通过点 1 0 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 8 页 若1a 对数函数logax是单调增加的 在 0 1内函数值为负 而在 1 内函数值为正 若01a 对数函数logax是单调减少的 在 0 1内函数值为正 而在 1 内函数值为负 科技中常用以常数e为底的对数函数logeyx 叫做自然对数自然对数自然对数自然对数 简记作lnyx 三三三三 三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数 1 1 1 1 三角函数三角函数三角函数三角函数 常用的三角函数有正弦函数sinyx 余弦函数cosyx 正切函数tanyx 余切函数cotyx 其中自变量以弧度为单位表示 正弦函数sinyx 余弦函数cosyx 都是以2 为周期的周期函数 其定义域都是 值 域都是 1 1 正弦函数sinyx 是奇函数 余弦函数cosyx 是偶函数 cossin 2 xx 所以 把正弦曲线沿轴向左移动 2 就得到余弦曲线 正切函数的定义域为 21 2 Dx xR xnnZ 余切函数的定义域为 Dx xR xnnZ 这两个函数的值域都是 正切 余切函数都以 为周期的周期函数 它们都是奇函数 此外 还有正割函数secyx 它是余弦函数的倒数 即 1 sec cos x x 余割函数cscyx 它是正弦函数的倒数 即 1 csc sin x x 它们都是以2 为周期的周期函数 并在0 2 内都是无界函数 2 2 2 2 反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数 三角函数sin cos tan cotyx yx yx yx 的反函数依次为 arcsin arccos arctan cotyx yx yx yarcx 反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法作出 此四个三角函数都是多值函数 但可以选取其单值支 例如把arcsin x的值限制在闭区间 2 2 上 称为反正弦函数的主值 并记作arcsin x 这样 函数就是定义在闭区间 1 1 上的单值函数 且 有 2 arcsin 2 x 通常我们也称xyarcsin 为反正弦函数 它在 1 1 上是单调增加的 反余弦函数arccosyx 的定义域为 1 1 值域为 0 它在 1 1 上单调减少 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 9 页 反正切函数xyarctan 的定义域为 值域为 2 2 它在 上单调增加 反余切函数的定义域为 值域为 0 它在 上单调减少 四四四四 复合函数复合函数复合函数复合函数 初等函数初等函数初等函数初等函数 1 1 1 1 复合函数复合函数复合函数复合函数 先举一个具体例子 函数 2 1xy 表示是y的x函数 它的定义域为 1 1 若引进辅助变量 u 把对应法则看作 首先 对任一 1 1 x 通过函数 2 1xu 得到对应的u值 然后 对于这个u 值 通过函数uy 得到对应的y值 这时 我们说函数 2 1xy 是由uy 和 2 1xu 复合而 成的复合函数复合函数复合函数复合函数 辅助变量u则称为中间变量 一般地 若函数 ufy 定义域为 1 D 函数 xu 在 2 D上有定义 而 22 DxxuuW 且 12 DW 那么对于任一 2 Dx 通过函数 xu 有确定的 2 Wu 与之对应 由于 12 DW 因 此对于这个u值 通过函数 ufy 有确定的y值与之对应 这样 对于任一 2 Dx 通过u有确定的 y值与之对应 从而得到一个以x为自变量y为因变量的函数 这个函数称为由函数 ufy 和 xu 复合而成的复合函数 记作 xfy 而u称为中间变量 由以上说明可知 复合函数是说明函数对应法则的某种表达方式的概念 由此 有时可以把函数分 解成几个函数 另一方面 可用它来产生新的函数 例如 函数 arctan 2 xy 可看作由uyarctan 和 2 xu 复合而成的 又例如 2 xy 可看作由uy 和 2 xu 复合而成的 这个函数实际就是 xy 必须注意 不是任何两个函数都能够复合成一个函数的 例如 2 2 arcsinxuuy 就不能复 合成一个复合函数 因为对于 2 2xu 的定义域 内任何x值所对应的u值 都大于或等于 2 都不能使uyarcsin 有意义 复合函数也可以由两个以上函数经过复合而成 例如设 2 cot x vvuuy 则得复合函数 2 cot x y 这里u及v都是中间变量 2 2 2 2 初等函数初等函数初等函数初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数 由常数和基本初等函 数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数初等函数初等函数初等函数 例如 sin 1 22 xyxy 2 cot x y 都是初等函数 五五五五 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 10 页 双曲正弦sh 2 xx ee x 双曲余弦ch 2 xx ee x 双曲正切 sh th ch xx xx xee x xee 双曲正弦的定义域为 它是奇函数 它的图形通过原点且关于原点对称 在区间 内它是单调增加的 当x的绝对值很大时 它的图形在第一象限内接近于曲线 x ey 2 1 在第三象限内接近于曲线 x ey 2 1 双曲余弦的定义域为 它是偶函数 它的图形通过点 0 1 且关于y轴对称 在区间 0 内它是单调减少的 在区间 0 内它是单调增加的 ch01 是这函数的最小值 当x的绝 对值很大时 它的图形在第一象限内接近于曲线 x ey 2 1 在第二象限内接近于曲线 x ey 2 1 双曲正切的定义域为 它是奇函数 它的图形通过原点 且关于原点对称 在区间 内它是单调增加的 它的图形夹在水平直线1y 与1y 之间 且当x的绝对值很大时 它的图形在第一象限内接近于值线1y 在第三象限内接近于值线1y 根据双曲函数可证下列公式 sh shchchsh 1 sh shchchsh 2 ch chchshsh 3 ch chchshsh 4 xyxyxy xyxyxy xyxyxy xyxyxy 由以上几个公式也可导出 在公式 4 中令xy 再由ch01 得 22 chsh1xx 5 在公式 1 中令xy 得sh22shchxxx 6 在公式 3 中令xy 得 22 ch2chshxxx 7 双曲函数的反函数依次为 反双曲正弦 arshyx 反双曲余弦 archyx 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 11 页 反双曲正切 arthyx 反双曲正弦的定义域为 它是奇函数 在区间 内它是单调增加的 反双曲余弦是双值的 它的图形关于y轴对称的两支 我们取其正值的一支作为该函数的主值 反双曲正切的定义域是 1 1 它在 1 1 区间内单调增加的奇函数 1 1 1 1 3 3 3 3 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限 一一一一 数列数列数列数列 数列就是按照某一法制 有第一个数 有第二个数 这样依次序排列着 使对应着任一正整数n有 一个确定的数 n x 则这列有次序的数 12 n x xxLL就叫做数列数列数列数列 数列中每一个数叫做数列的项 第n项 叫做数列的一般项 例如 1 1 1 2 3 1 2 3 41 2 2 4 8 2 1 1 11 3 2 4 82 4 1 1 1 1 1 4 1 5 2 2 3 n n n n n n n n LL LL LL LL L 都是数列 它们的一般项依次为 1 1 1 1 2 1 12 n nn n nn nn 以后 数列 12 n x xxLL简记 作数列 n x 在几何上 数列可看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 数列可看作自变量为正整数的函数 它的定义域是全体正整数当自变量依次取1 2 3 L 一切正整数 时 对应的函数值就排列成为数列 对于我们要讨论的问题重要的是 当无限增大时 对应的是否能无限接近于某一个确定的数值 若能 够的话 这个数值等于多少 我们对数列来分析 在这数列中 我们知道 两个数 a b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对 值ab 来度量 ab 越小 a b越接近 就例 1 来说 因为 1 1 1 1 n n x nn 由此可见 当n 越来越大时 n 1 越来越小 从而 n x就越来越接近于 1 因为只要n足够大 即 n 1 可以小于任意给定的正数 所以当n无限增大时 n x无限接近于 1 例如给定 100 1 欲使 11 100n 即只要把数列 1 开始的 100 项除外 从 101 项起后面的一切项都能使 1 1 100 n x 成立 同样地 若给定 10000 1 则从 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 12 页 10001 项起后面的一切项都能使 1 1 10000 n x 的一切 n x 不等式1 n x 的一切 n x 不等式 n xa 都成立 则称数列 n x的极限为常数a 或称数列收敛于数列收敛于数列收敛于数列收敛于a 记作axn n lim或 naxn 如果数列没有极限 则数列是发散发散发散发散的 上面定义中正数 可以任意给定是很重要的 因为只有这样 不等式 n xa 才能表达出 n x与a无 限接近的意思 还要注意到 正整数N是与任意给定 的有关的 它随着的 给定而选定 数列 n x的极限为a的几何解释几何解释几何解释几何解释 将常数a及数列 21n xxx在数轴上用它们的对应点表示出来 再在 数轴上作点a的 邻域即开区间 aa 因为不等式 n xa 与不等式 n axa 时 所有的点都 n x落在开区间 aa内 而只有有限个点 至多只有N个 落在该 区间外 极限是数列中数的变化总趋势 因此与数列中某个 前几个的值没有关系 例例例例 1 1 1 1 证明数列 1 4 3 3 4 2 1 2 1 n n n 的极限是 1 证明 nn n ax n n 1 1 1 1 为了使axn 小于任意给定的正数 只要 11 n n 或 所以 对于任意给定的正数 取正整数N 1 则当nN 时 就有 nn n ax n n 1 1 1 1 即 1lim n n x 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 13 页 例例例例 2 2 2 2 已知 2 1 1 n x n n 证明数列 n x的极限是 0 证明 22 1 11 0 1 1 1 n n xa nnn 对于任意给定的正数 设1 只要 11 1 1 n n 或 不等式 n xa 时 就有 2 1 0 1 n n 即0 1 1 lim 2 n n n 注意 在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列 n x的极限时 重要的是对于任意给定的正数 要能够指出定义中所说的正整数N确实存在 但没有必要去求最小的N 如果知道axn 小于某个量 这 个量是n的一个函数 那么 当这个量小于 时 当然 n xa 也成立 若令这个量小于 来定出N比 较方便的话 就可采用这种方法 例 2 即是 例例例例 3 3 3 3 设1q 设1 因为 1 1 00 n n n qqx 要使0 n x 只要 1n q 取 自然对数 得 1 lnlnnq 因1q ln0q 取 ln ln 1 q N 则当nN 时 就有 1 0 n q 即0lim 1 n n q 二 收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理定理定理 1 1 1 1 极限的唯一性极限的唯一性极限的唯一性极限的唯一性 如果数列 n x收敛 那么它的极限是唯一的 证明 用反证法 假设同时有axn 及bxn 且ab的一切 n x不等式 2 n ba xa 不等式 2 n ba xb 时 两式 同时成立 但由 2 式有 2 n ab x 这是不可能的 此矛盾说明本定理成立 例例例例 4 4 4 4 证明数列 2 1 1 1 nx n n 是发散的 证明 如果该数列收敛 根据定理 1 它有唯一的极限 设极限为a 即axn n lim 按数列极限的定义 对于 2 1 存在着正整数N 当nN 时 1 2 n xa 时 n x都在开区间 2 1 2 1 aa 内 这是不可能的 因为当 n时 n x无休止地一再重复取得1和1 这两个数 而这两个数不可能同 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 14 页 时属于长度为1的开区间 2 1 2 1 aa 因此 该数列发散 数列的有界性数列的有界性数列的有界性数列的有界性 对于数列 n x 如果存在着正数M 使得对于一切的 n x都满足不等式 n xM时的一切 n x 不等式1 n xa 时 1 nnn xxaaxaaa 存在着正整数 N 当nN 时 n xa 时 kKN nnnN 于是 n xa 即证 明了lim k n k xa 注 如果数列 n x有两个子数列收敛于不同的极限 那么数列 n x是发散的 例如例 4 中的数列 1 1 1 1 1 n 的子数列 12 k x收敛于1 而子数列 k x2收敛于1 因此数列 2 11 1 nx n n 是发散的 同时该例子也说明 一个发散的数列也可能有收敛的子数列 1 1 1 1 4 4 4 4 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 一一一一 自变量趋于有限值自变量趋于有限值自变量趋于有限值自变量趋于有限值时函数的极限时函数的极限时函数的极限时函数的极限 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 15 页 定义定义定义定义 1 1 1 1 设函数 xf在点 0 x的某去心邻域内有定义 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存 在着正数 使得对于适合不等式 0 0 xx 的一切x 对应的函数值 xf都满足不等式 f xA 则称常数A为函数函数函数函数 xf当当当当 0 xx 时的极限时的极限时的极限时的极限 记作Axf xx lim 0 或 0 xxAxf 我们指出 定义中 0 0 xx 表示 0 xx 所以 0 xx 时 函数 xf有没有极限 与 xf在点 0 x是 否有定义无关 函数 xf当 0 xx 时的极限为A的几何解释几何解释几何解释几何解释 任意给定一正数 作平行于x轴的两条直线yA yA 介于这两条直线之间的一横条区域 根据定义 对于给定 的存在着点 0 x的一个 邻域 00 xx 当 xf的图形上的点的横坐标在邻域 00 xx内 但 0 xx 时 这些点的纵坐 标满足不等式 f xA 或 Af xA 亦即这些点落在该横条区域内 例例例例 1 1 1 1 证明cc xx 0 lim此处 c 为一常数 证明 这里 0f xAcc 因此对于任意给定的正数 可任取一正数 当 0 0 xx 时 能使不等式 0f xAcc 成立 所以cc xx 0 lim 例例例例 2 2 2 2 证明 0 0 limxx xx 证明 这里 0 xxAxf 因此对于任意给定的正数 可任取一正数 当 0 0 xx 时 能使不等式 0 f xAxx 成立 所以 0 0 limxx xx 例例例例 3 3 3 3 证明1 12 lim 1 x x 证明 由于 121 12 xxaxf为了使 f xA 只要1 2 x 所以 对于任意给 定的正数 可取 2 则当x适合不等式01x 时 对应的函数值 xf就满足不等式 21 121f xaxx 从而1 12 lim 1 x x 例例例例 4 4 4 4 证明2 1 1 lim 2 1 x x x 证明 这里 函数在点1x 是没有定义的 但函数当1 x时的极限存在与否与它并无关系 事实上 对 于任意给定的正数 不等式 2 1 2 1 x x 约去非零因子1x 后 就化为1 21xx 因此 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 16 页 只要取 则当01x 时 就有 2 1 2 1 x x 时 0 0 limxx xx 证明 对于任意给定的正数 因为 0 00 0 0 1 xx xxx xx xxAxf 要使 f xA 只要 00 xxx 且0 x 而0 x可用 00 xxx 保证 因此取 00 minxx 则当x适合不等式 0 0 xx 时 对应的函数值x就满足不等式 0 xx 或0A 或 0f x 取正数A 根据Axf xx lim 0 的定义 对于取定的正数 必存在着正数 当 0 xU x o 时 不等式 f xA 或 Af xA 类似可证明0A或0A 定理定理定理定理 2 2 2 2 如果在着 0 x的某一去心邻域 0 xf 或 0 xf 而且Axf xx lim 0 那么0 A 或0 A 证明 设 0 xf 假设上述论断不成立 即设0A 则由定理1有 0 x的某一去心邻域 在该邻域内 0f x 这与的假定 0 xf矛盾所以0 A 类似可证明 0 xf的情形 左左左左 右极限右极限右极限右极限 在函数的极限概念中 x是既从 0 x左侧又从 0 x右侧趋于 0 x的 但有时x只能或只需考虑仅 从 0 x的左侧 记作0 xx 或右侧 记作0 xx 趋于 0 x的情形 在0 xx的情形 x在 0 x 的左侧 0 xx 在Axf xx lim 0 定义中 把 0 0 xx 改为 00 xxxx 那么A就叫做函数 xf 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 17 页 当 0 xx 时的左极限左极限左极限左极限 记作Axf xx lim 0 或 Axf 0 0 类似地 在Axf xx lim 0 定义中把 0 0 xx 改为 00 xxx 那么A就叫做函数当时的右右右右 极限极限极限极限 记作Axf xx lim 0 或 Axf 0 0 容易证明 函数 xf当 0 xx 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等 即 00 00 xfxf因此即使 0 0 xf和 0 0 xf都存在 但若不相等 则 lim 0 xf xx 不存在 例例例例 6 6 6 6 函数 1 0 0 0 1 0 xx f xx xx 当 0 xx 时 xf的极限不存在 仿例 3 可证当0 x时的左极限 lim 0 xf x 11lim 0 x x 右极限 lim 0 xf x 11lim 0 x x 因 为左极限和右极限存在但不相等 所以 lim 0 xf x 不存在 二二二二 x的极限的极限的极限的极限 定义定义定义定义 2 2 2 2 设 xfy 当x大于某一正数时有定义 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在着 正数X 使得对于适合不等式xX 的一切x对应的函数值 都满足不等式 f xA 且无限增大 记作 x 那么只要把上面定义中的xX 改 为xX 就可得Axff x lim 的定义 同样0 x 改为xX 就可得Axff x lim 的定义 关系关系关系关系 lim lim limxfAxfAxf xxx Axf x lim的几何意义 的几何意义的几何意义的几何意义 作直线 Ay和 Ay 则总有一个正数X存在 使得当xX时函数的图形位于这两条直线之间 例例例例 7 7 7 7 证明0 1 lim x x 证明 设 是任意给定的正数 要证存在着正数X 当xX 时不等式 1 0 x 成立 因这个不等式 相当于 1 x 由此可知 如果取 1 X 则对于适合 1 xX 的一切x 不等式 1 0 x 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 18 页 成立 这就证明了0 1 lim x x 直线0y 是函数 x y 1 的图形的水平渐近线 一般地 如果cxf x lim 则直线yc 是函数 yf x 的图形的水平渐近线 1 1 1 1 5 5 5 5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一一一一 无穷小定义无穷小定义无穷小定义无穷小定义 定义定义定义定义 1 1 1 1 设 xfy 在的某一去心邻域内有定义 或大于某一正数时有定义 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在着正数 或正数X 使得对于适合不等式 0 0 xx 的一切x 对应的函数值都满足不等式 f x 那么称函数 xfy 当 0 xx 或 x 时为无无无无 穷小穷小穷小穷小 记作0 lim xf o xx 或0 lim xf x 例例例例 1 1 1 1 因为 01lim 1 x x 所以函数1x 当1 x时为无穷小 注意注意注意注意 不要将无穷小与很小的数混为一谈 因为无穷小是这样的函数 在 或 的过程中 该函数的绝对 值能小于任意给定的正数 而很小的数如百万分之一就不能小于任意给定的正数 如 取等于千万分 之一 则百万分之一就不能小于这个给定的 但0是可以作为无穷小的唯一常数 因为 0 xf 则对 于任意给定 的总有 f x 无穷小与函数极限的关系 定理定理定理定理 1 1 1 1 在自变量的同一变化过程 0 xx 或 x中 函数 xf具有极限A的充分必要条件是 Axf 其中 是无穷小 证明 设Axf o xx lim则对于任意给定的正数 存在着正数 使当 0 0 xx 时 有 f xA 令 Axf 则 是 0 xx 时的无穷小 且 Axf 即证明了 xf等于它的 极限A与一个无穷小之 和 反之 设 Axf其中A是常数 是 0 xx 时的无穷小 于是 Axf 因为 是 0 xx 时的无穷小 所以对于任意给定的正数 存在着正数 使当 0 0 xx 时有 即 f xA 那么称它为无穷大量无穷大量无穷大量无穷大量 记成 n x xlim 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 19 页 特别地 如果0 n GNnN xG 则称为正无穷大正无穷大正无穷大正无穷大 记成 n x xlim 特别地 如果0 n GNnN xG 当 0 0 xx 即 1 f x 根据无穷小定义 对于 M 1 存在0 当 0 0 xx 时 有 1 f x M 由于当 0 0 xx 所以 xf 1 当 0 xx 时为无 穷大 类似可证 x时的情形 非零的无穷小量与无穷大量是倒数倒数倒数倒数关系关系关系关系 当0 n x时 有 n xx x 1 lim0lim 0 1 limlim n xx x 注意是在自变量的同一个变化过程中 1 1 1 1 6 6 6 6 极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则 定理定理定理定理 1 1 1 1 有限个无穷小量的和也是无穷小量 证明 考虑两个无穷小的和 设 及 是当 0 xx 时的两个无穷小 而 任意给定0 因为 是当 0 xx 时的无穷 小 对于0 2 存在 1 0 当 01 0 xx 时 不等式 2 存在 2 0 当 01 0 xx 时 不等式 2 成立 取 21 min 则当 0 0 xx 时 2 2 同时成立 从而 22 存在着 2 0 当x 02 U x 时 有 M 取 21 min 则当x 0 U x 时 uM M 及同时成立 从而 uuM M 从而 12 g xB 于是 2 111122 B BB g xBB B 存在0 使得当 0 0 xx 时 fxAf uA 存在0 使得当 0ua 时 f uA 存在着 1 0 当 01 0 xx 时 0 xa 成立 设在 0 x的去心邻域 02 U x g 内 xa 取 12 min 则当 0 0 xx 时 0 xa 00 xa 同时成立 即 0 xaua 成立 从而 fxAf uA 存在着正整数 1 N 当 1 nN 时 有 n ya 时 有 n za 时 有 n za n ya 同时成立 即 nn ayaaza 时 有 nnn ayxza 即 n xa 或 x 有成立 那么存在 且等于 g 准则 1 及准则1 称为夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则 作为准则1 的一个重要应用 下面证明一个重要的极限 0 sin lim1 x x x 首先注意到函数 sinx x 对于一切0 x 都有定义 在图 1 45 所示的单位圆中 设圆心角0 2 AOBxx 点A处的切线与OB的延长线相交于 点D 又BCOA 则 sin tanxCB xABxAD 因为三角形AOB的面积 圆扇形AOB的面积 三角形AOD面积 所以 111 sintan 222 xxx 即sintanxxx 不等号各边都除以sinx 就有 1 1 sincos x xx 或 sin cos1 x x x 1 因为当x用x 代替时 cosx 与 sinx x 都不变 所以上面的不等 式对于开区间0 2 x 内的一切x也成立 为了对 1 式应用准则1 下面来证 0 limcos1 x x 事实上 当0 2 x 时 2 2 2 0cos11 cos2sin2 222 xxx xx 即 2 01 cos 2 x x 当0 x 时 2 0 2 x 由准则1 有 0 lim 1 cos0 x x 所以 0 limcos1 x x 由于 0 limcos1 x x 0 lim11 x 由不等式 1 及准则1 即得 0 sin lim1 x x x 例例例例1 1 1 1 求 0 tan lim x x x 解 0000 tansin1sin1 limlimlimlim1 coscos xxxx xxx xxxxx 例例例例 2 2 2 2 求 2 0 1 cos lim x x x 解 2 22 2 222 0000 2sinsinsin 1 cos1111 222 limlimlimlim1 2222 2 2 xxxx xxx x x xx x 沈阳农业大学基础部数学教研室 第 26 页 这里倒数第二等号用了复合函数的极限运算法则 实际上 sin 2 2 x x 可看作由 sin 2 ux u u 及复合而成 因 00 sin lim0 lim1 2 xx xu u 故 00 sin sin 2 limlim1 2 xx x u x u 准则准则准则准则 2 2 2 2 单调有界数列 n x必有极限 如果数列满足条件 1231 nn xxxxx 就称数列 n x是单调增加的 如果数列 n x满 足条件 1231 nn xxxxx 就称数列 n x是单调减少的 单调增加和单调减少的数列统称为 单调数列单调数列单调数列单调数列 在第三节中曾经证明 收敛数列一定有界 但那时也曾指出 有界数列不一定收敛 现在准则 2 表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这数列的极限必定存在 也就是这数列一定收敛 准则 2 的几何解释几何解释几何解释几何解释 从数轴上看 对应单调数列的点 n x只可能向一个方向移动 所以只有两种可能情 形 或者点 n x沿数轴移向无穷远 nn xx 或 或者点 n x无限趋近于某一个定点A 也就 是数列 n x趋于一个极限 但现在数列是有界的 而有界数列是点 n x都落在数轴上某一个 M M 内 那么上述第一种情形就不可能发生了 这就表示这个数列趋于一个极限 并且这个极限的绝对值不超过 M 作为准则 2 的应用 我们讨论另一个重要极限 1 lim 1 x x x 下面考虑x取正整数n而趋于 的情形 设 n x 1 1 n n 我们来证明数列 n x单调增加并且有界 按牛顿二项公式 有 2 1111111 11 1 2 111121121 1 1111111 2 3 n n n n nn nnnn x nnnnn n nnnnnnn L L LL 类似地 1 11112112 1