储油罐的变位识别与罐容表标定.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，对石油工业的生产发展中具有重大意义。分析本文研究的问题可知，该问题的关键不在于利用微积分得出罐体变位前后储油量与单位油量对应的高度变化量之间的关系，而在于通过测得的数据与函数模型反向得出罐体的变位情况并且修正罐容表，这些要求主要集中体现在问题二上，问题一可视为对实际情况的一次实验模拟。问题一要求建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响。首先，分析已有的实验数据，寻找变位前后储油量与单位油量对应的高度变化量之间的关系，作出关系图可得该变化量的变化趋势。对换横纵坐标即代表单位高度上油罐体内的油量值，亦即罐容表上单位刻度表示的油量。分析已得曲线图可大致了解罐体变位前后罐容表的的变化。然后建立椭圆柱体的体积模型，在已知参数的基础上建立罐体储油量关于油面高度和罐体倾角的三重积分。求出积分代入倾角a的值后，将所得油量值与实验值进行对比，用MATLAB软件分析误差并进行差值拟合，得出精确度更高的储油量函数。再将已有数据代入，反向求出，与的相对误差为3.2%，说明模型精确度较高。最后依此函数可得变位后的罐容表。问题二研究的是实际的储油罐模型，要通过该模型确定罐体的变位参数。类比于问题一的模型，在求解函数过程中先不考虑两边的球冠体，将问题一的椭圆转化为圆（即令长轴等于短轴），即可直接给出中间段的储油量变化函数。随后再考虑加上球冠体分析。同样地建立体积积分函数，用1stOpt软件对所得积分函数和已有数据进行拟合，从而求得变位参数。最后确定出来的变位参数。参数确定即可得相应的罐容表标定值。关键字：差值拟合；三重积分；1stOpt软件一 问题重述通常情况下加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。很多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生变位，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。现要求用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。具体问题如下:（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据已建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验已建立模型的正确性与方法的可靠性。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图二 问题分析2.1 问题一的分析问题一的目的首先是掌握罐体变位后对罐容表的影响，也就是了解罐体变位前后罐容表的变化关系。为了解决该问题，题中已分别对小椭圆型储油罐无变位和倾斜角为纵向变位两种情况做实验并得到相关数据，因此可根据已知数据寻找罐体变化前后储油量与高度变化量的关系。分析数据可知，各记录点的进油量和出油量多数都为，因此我们计算出每增加时油位高度的变化量，作出该变化量与储油量的关系图，分析图像得到两者的大致关系，相反地就可推出单位高度的油量变化趋势。接着题中要求建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，故需要根据小椭圆形储油罐的具体情况建立积分方程，具体分析储油罐储油量与油位高度和纵向变位倾斜角的关系。因问题一的重点在于分析罐体变位对罐容表的影响，在得到两种情况的罐容表后，应着重分析变位后罐容表相对于变位前的变化，确定罐体变位后对罐容表的影响。因储油罐与油面呈一定夹角，当油面经过椭圆面与椭圆柱侧面的夹角时，单位油量的高度变化情况会发生变化，因此需要分三种情况进行讨论。通过三重积分的方法，分别得到三种情况下的函数式。先待定参量，在MATLAB软件写入与油位高度之间的关系函数，读入附件1的油高数据，即得相应的理论油量值与的关系。分别将代入函数关系式中，将得到的理论数据与实验数据进行对比，可计算出两者的相对误差，并对误差的差值进行拟合，经修正得到更为精确的函数关系。然后将实验数据代入既得函数，反推出的值，从而验证模型的精确度。2.2 问题二的分析问题二需要确定变位后的罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系，这可以在模型一的基础上进一步完善，首先在模型函数的给出过程中先不考虑两边的球冠体，将问题一的椭圆转化为圆（即令长轴等于短轴），即可直接给出该段的储油量，然后再考虑加上球冠体求油罐的总储油量。确定出函数后，用1stOpt软件对函数曲线进行拟合，寻找一组值使曲线拟合度最高，此时的值即为变量参数的最优值。将代入函数即可求出罐体变位后的标定值三 模型假设1已知的实验数据真实准确；2 实验过程中不考虑罐内温度和压强的变化，即假设温度和压强对实验数据的影响可忽略不计；3 椭圆油罐体的厚度可不予考虑，且内部形状是标准的椭圆柱；4相同值情况下，在进出油实验的时间间隔内未对油罐进行处理，即出油实验的初始值与进油实验的终值相同；5在实验过程中罐体不会发生变形或扭曲；6 罐体内无油垢或其他杂质堆积，内部全部空间都充分利用；四 定义与符号假设油罐与水平线的纵向变位的偏角；油罐与水平线的横向变位的偏角椭圆长半轴轴长；椭圆长半轴轴长；椭圆柱的高油位探针至椭圆柱左表面的距离油位探针至椭圆柱右表面的距离油浮子的高度油的体积初始油量累加进油量储油量变化值第个测量点的油位高度第点与第个点的高度差单位油量（）的油位高度变化量单位油位高度的油量变化量拟合出的曲线方程系数五 模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立由于第一个问题要求求得罐体变位后对罐容表的影响，因此根据题目提供的图形以及相应的条件，可以建立直角坐标系，求得罐体内油的体积与油面的高度以及变位角度之间的关系，具体的做法如下：根据题目提供的图形，建立空间直角坐标系如下：图5.1.1由于油罐与水平线的纵向变位的偏角为，所以根据几何关系可以得到油面的平面方程为：同时可以得到平行于平面的截面的图形，根据已知条件有：图5.1.2所以可以得到椭圆柱的表面的方程为：其中，。首先求最为一般的情况，油面与油罐的位置关系如下图，同时根据计算可以得到当时，有如下做法：图5.1.3现将油罐表面与油面围成的部分的体积分为两部分，即过油面与右表面的交线做与平面平行的平面，如图所示，图5.1.4因此可以将体积写成。对于下部分的体积较好处理，可以得到，其中为平面与左表面的交线与椭圆围成的面积，如图所示，图5.1.5对于面积的求解采用微积分的方法，对轴方向做微分，可以得到关于的积分，即：其中通过进一步的整理得到：解得：又因为，所以可以得到：接下去考虑的求解：为了使最后的计算可以更加简便，现选择沿轴方向做微分，则得到的积分表达式：同时根据图5.1.4有沿轴方向做微分，就可以得到：显然进一步求解得：所以根据定积分的求解方法，得到：将积分上下限代入，得到的表达式：所以通过上述分析，最后可以求得当油浮子的高度为，且满足条件时，有同样的当时，油面与油罐的位置关系如图所示：图5.1.6则根据图中所示的关系，对轴方向进行微分，可以得到：图5.1.7可以看到，这种情况下的表达式同第一种情况时的表达式是一致的，因此，在这里使用与求解时相同的方法，即可以得到进一步的有：所以可以得到：当时，此时，油面与油罐的位置关系如图所示图5.1.8同第一种情况类似的，将体积分为两部分，如下图图5.1.9则可以写出积分表达式：可得：所以：对于，可以有而且：所以可以得到最后的表达式进而可以得到：这里值得注意的是：当时，并且当时，即如果储油罐倾斜，当油浮子显示高度为0时，油罐内还是有油的，但是可以想象，在实际生活中，出油管并不能把罐内所有的油放干的，因此，这种情况可以不需要考虑，事实上在这时即便可以继续放油，油浮子的显示也一直为0。同样的，当油浮子显示高度为时，油罐并没有满，还可以继续加油，但是由于油浮子不在上升，因此在这种情况下，无法得到高度和体积的关系，这样这种情况也就失去了研究的意义，所以在这里同样不考虑这种情况。因此可以得到在各个高度时的体积大小，如下：5.2问题一的模型求解与修正5.2.1变位的影响：由附件1可知初始油量和累加进油量，计算得总储油量。表第个测量点的油位高度，则第点与第个点的高度差，去除储油量变化值不为的点的测量值。变位前单位油量（）的油位高度变化量,作出关于的关系图。图表如下：变位前与的关系图： 变位后与的关系图： 图5.2.1 图5.2.2由变位前的关系图和数据表可知，随着的逐渐增大，先减小然后再逐渐增大，在时，值达到最小，当趋近时，值急剧增大。用表示单位油位高度的油量变化量，用罐容表表示该关系时值在时最大，在两端递减。由变位后的关系图和数据表可知，变位后值变化曲线与变位前的曲线相差很大，值不稳定，抖动很大，总体来看关系曲线成锯型变化，而总体趋势和变位前颇为相似，也是在罐体的某一高度附近较小，往两端方向逐渐增大。表示成罐容表时比较不稳定，而总体趋势是在中间较大，两端较小，而总体趋势上与变位前的罐容表大致相同。5.2.2问题一的模型求解与修正模型函数看似复杂，但除去已知的几个常量（）、自变量（测得的油位高度）和因变量（储油量），只剩下一个参量，也就是罐体纵向倾斜的角度，此题中给出的两种情况分别是及，为综合考虑两种情况，先待定参量，在MATLAB软件写入与油位高度之间的关系函数，读入附件1的油高数据（对进油和出油这两部分数据我们是利用时间先后合在一组处理的），即得相应的理论油量值。但得到的油量值与实际测得的数据具有一定的偏差，如下图所示：倾角的情况如下： 图5.2.3倾角的情况如下： 图5.2.4考虑到此模型是基于油罐的空间分析给出的，而现实生活中影响储油罐油位高度和储油量的因素还有很多，诸如油垢的堆积，罐体的制造工艺，温度压强对油体积的影响，并且测量操作中系统误差的不可消除性，此模型得到的理论值与实际测量值存在着误差是在所难免的，当然这种误差是不可能消除的，但为了使我们的模型更切合实际，给出下更可靠的罐容表，我们利用软件在此对这部分差量进一步进行拟合，得到的差量曲线方程为：其中系数为：从而得到修正的储油量体积 ，画出与实际测量值的误差波动：图5.2.5进一步检验此模型的有效性，以此模型函数和题给数据反推倾角，利用1stOpt软件得到，与相差3.2%。所得罐容表：罐容表罐内油位高度/mm储油量/L罐内油位高度/mm储油量/L罐内油位高度/mm储油量/L150168.60 5001312.26 8502769.86 160189.31 5101352.63 8602809.09 170211.24 5201393.24 8702847.93 180234.29 5301434.07 8802886.37 190258.34 5401475.10 8902924.39 200283.34 5501516.34 9002961.96 210309.23 5601557.76 9102999.07 220335.95 5701599.36 9203035.69 230363.46 5801641.11 9303071.79 240391.72 5901683.01 9403107.35 250420.70 6001725.05 9503142.31 260450.36 6101767.20 9603176.64 270480.68 6201809.45 9703210.26 280511.64 6301851.80 9803243.09 290543.19 6401894.22 9903275.04 300575.33 6501936.70 10003305.95 310608.03 6601979.23 10103335.67 320641.27 6702021.78 10203363.97 330675.03 6802064.34 10303390.57 340709.29 6902106.89 10403415.12 350744.04 7002149.41 10503437.15 360779.24 7102191.89 10603456.10 370814.90 7202234.30 10703471.21 380850.99 7302276.62 10803481.54 390887.49 7402318.84 10903485.86 400924.40 7502360.93 410961.69 7602402.86 420999.34 7702444.62 4301037.36 7802486.19 4401075.72 7902527.54 4501114.40 8002568.65 4601153.40 8102609.50 4701192.70 8202650.07 4801232.28 8302690.33 4901272.14 8402730.27 5.3 问题二的模型建立问题二首先要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，因此，根据题目提供的条件，通过建立直角坐标系，运用几何关系得到罐内储油量与油位高度以及变为参数的积分表达式，具体实现如下。首先建立如题一的空间直角坐标系，考虑到横向偏转在坐标系中会使得求解的难度加大，所以可以先不考虑横向偏转，只考虑纵向的倾斜。根据直角坐标系，可以得到油面的平面方程为：由于两端为球冠体，可以得到两端球冠体的表面方程：左端：右端：当时，油面与储油罐的位置关系如下图：图5.3.1可以将球冠体与油面围成的体积单独进行求解，而另一部分的体积的计算与问题一完全一致。所以根据问题一求得的模型，可以得到。对于以及的情况可以做同样的处理，对于部分，先对轴进行微分，同时得到在上的投影，如下图所示：图5.3.2因此有;对于的求解，对轴进行微分可以得到：其中满足方程的最大值，所以可以得到：同样的对于右端做同样的处理，因此可以得到总的体积的表达式：下面考虑横向偏转的情况。当只有横向偏转时，可以得到平行于平面的截面，如图所示：图5.3.3从图中可以看到偏转与不偏转时，高度的几何关系：因此可以得到与的关系式为：所以如果考虑横向偏转的话，可以利用偏转与不偏转的高度关系，从而得到，这样就可以转化为不偏转的情况计算。5.4 问题二的模型求解对于油浮子得到的每个油位高度而言，在横向倾角与纵向倾角客观确定的情况下，其对应唯一的油量体积，而这个对应关系在模型中已经给出，题给数据没有初始储油量的体积，可设其为，其值为常量，则有，故完全可以根据题给数据对、及进行参数估计，即回归处理得到它们的一定置信区间的估计值。回归处理可采取最小二乘法进行逼近，而在MATLAB中可以很容易地实现这一功能，所以，的值也就知道了。但由于问题二的模型MATLAB无法给出解析解，其中的原因在于该模型中积分式子过于复杂，符号积分比较多，所以考虑使用软件1stOpt，该软件的3.0版本可以轻易地实现带积分式子的曲线拟合，并且支持多参数多变量拟合，拟合功能相当强大，独特的通用全局优化算法使得不用给出待估参数的初始值也能得到最优解，综其特色与问题二模型的特点，使用1stOpt再合适不过，也可以很容易地给出。经过计算，得到，这样得到罐容表如下：罐容表罐容表罐内油位高度/mm储油量/L罐内油位高度/mm储油量/L50069131600345666008877170037380700109991800401758001326619004293190015660200045638100018163210048269110020755220050822120023431230053275130026162240055607140028941250057808150031748在求解之后我们将题目给予的数据进行模型的检验，将附录二中的显示油高与显示油量容积两列中的数据选取部分进行检验，由于所给的数据中显示油高与显示油量容积这两列是在纵向倾角，横向倾角时的数据关