5.1点运动(热点题型)·数学中考分类精粹.pdf

第五章 动 态 问 题 点 运 动 题型概述 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动 态问题 此类问题的显著特点是图形中的某些元素 如点 线 或整个几何图形按某种规律运动 本节研究点的运动 点动型就是在三角形 矩形等一些几何图形上 设计一 个或几个动点 并对这些点在运动变化的过程中产生的等量 关系 变量关系 图形的特殊状态 图形间的特殊关系等进行 研究 典题演示 例 四川内江 已知 A B C 为等边三角形 点D为直线B C上的一动点 点D不与B C重合 以AD 为边作菱形AD E F A D E F按逆时针排列 使 D A F 连接C F 如图 当点D在边B C上时 求证 B D C F A C C F C D 如图 当点D在边B C的延长线上且其他条件不 变时 结论A C C F C D是否成立 若不成立 请写出A C C F C D之间存在的数量关系 并说明理由 如图 当点D在边B C的延长线上且其他条件不变 时 补全图形 并直接写出A C C F C D之间存在的数量关系 思路点拨 根据已知得出A F AD A B B C A C B A C DA F 求 出 B AD C A F 证 B AD C A F 推出C F B D即可 求出 B A D C A F 根据S A S证 B A D C A F 推出B D C F即可 画 出 图 形 后 根 据S A S证 B AD C A F 推 出 C F B D即可 完全解答 四边形A F E D是菱形 A F AD A B C是等边三角形 A B A C B C B A C D A F B A C D A C D A F DA C 即 B AD C A F 在 B AD和 C A F中 A B A C B AD C A F AD A F B AD C A F C F B D C F C D B D C D B C A C 即 B D C F A C C F C D A C C F C D不成立 A C C F C D之间存在的数量 关系是A C C F C D 理由 由 知 A B A C B C AD A F B A C DA F B A C D A C D A F D A C 即 B AD C A F 在 B AD和 C A F中 A C A B B AD C A F AD A F B AD C A F B D C F C F C D B D C D B C A C 即 A C C F C D A C C D C F 理由 B A C D A F DA B C A F 在 B AD和 C A F中 A B A C D A B C A F AD A F B AD C A F C F B D C D C F C D B D B C A C 即 A C C D C F 归纳交流 本题是一道单质点的运动问题 解决此类动 点几何问题常常用的是 类比发现法 也就是通过对两个或 几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较 从一个 容易探索的研究对象所具有的性质入手 去猜想另一个或几 个类似图形所具有的类似性质 从而获得相关结论 例 贵州六盘水 如图 已知 A B C中 A B c m A C c m B C c m 如果点P由B出发沿B A 方向向点A匀速运动 同时点Q由A出发沿A C方向向点C 匀速运动 它们的速度均为 c m s 连接P Q 设运动的时间 为t 单位 s t 解答下列问题 当t为何值时 P Q B C 设 A Q P面积为S 单位 c m 当t为何值时 S取 得最大值 并求出最大值 是否存在某时刻t 使线段P Q恰好把 A B C的面积 平分 若存在 求出此时t的值 若不存在 请说明理由 如 图 把 A Q P沿A P翻 折 得 到 四 边 形 A Q P Q 那么是否存在某时刻t 使四边形A Q P Q 为菱形 若存在 求出此时菱形的面积 若不存在 请说明理由 思路点拨 这是一个动态几何问题 综合性程度高 但 我们只要仔细观察 冷静思考 多读几遍题目就会找到解决 问题的突破口 千万不能轻易放弃 由P Q B C时的比例线段关系 列一元一次方程求解 如解答图 所示 过点P作P D A C于点D 构造 比例线段 求得PD 从而可以得到S的表达式 然后利用二 次函数的极值求得S的最大值 要点是利用 中求得的 A Q P的面积表达式 再 由线段P Q恰好把 A B C的面积平分 列出一元二次方程 由于此一元二次方程的判别式小于 则可以得出结论 不存 在这样的某时刻t 使线段P Q恰好把 A B C的面积平分 首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系 求得P Q Q D和P D的长度 然后在R t P Q D中 求得时间 t的值 最后求菱形的面积 值得注意的是菱形的面积等于 A Q P面积的 倍 从而可以利用 中 A Q P面积的表达 式 这样可以化简计算 完全解答 A B c m A C c m B C c m 由勾股定理的逆定理得 A B C为直角三角形 C 为直角 B P t 则A P t P Q B C A P A B A Q A C 即 t t 解得t 当t s时 P Q B C 如图 所示 过点P作P D A C于点D P D B C A P A B P D B C 即 t PD 解得P D t S A Q P D t t t t t 当t s时 S取得最大值 最大值为 c m 假设存在某时刻t 使线段P Q恰好把 A B C的面积 平分 则有S A Q P S A B C 而S A B C A C B C 此时S A Q P 由 可知 S A Q P t t t t 化简得 t t 此方程无解 不存在某时刻t 使线段P Q恰好把 A B C的面积 平分 假 设 存 在 时 刻t 使 四 边 形A Q P Q 为 菱 形 则 有 A Q P Q B P t 如图 所示 过点P作P D A C于点D 则有P D B C A P A B PD B C AD A C 即 t PD AD 解得P D t AD t Q D AD A Q t t t 在R t P Q D中 由勾股定理得 Q D PD P Q 即 t t t 化简得 t t 解得t t t t 由 可知 S A Q P t t S菱形A Q P Q S A Q P t t c m 所以存在时刻t 使四边形A Q P Q 为菱形 此时菱形的 面积为 c m 归纳交流 这是一道典型的点运动型问题 解决此类问 题时 一是要搞清在单点运动变化的过程中 哪些图形 如线 段 三角形等 随之运动变化 即确定整个单点运动变化过程 中图形中的变与不变 二是要运用好相应的几何知识 三是 要结合具体问题 建立函数模型 达到解题目的 名题选练 一 选择题 湖北黄冈 如图 在R t A B C中 C A C B C c m 点P从点A出发 沿A B方向以每秒 c m的 速度向终点B运动 同时 动点Q从点B出发沿B C方向 以每秒 c m的速度向终点C运动 将 P Q C沿B C翻折 点P的对应点为点P 设点Q运动的时间为t秒 若四边 形Q P C P 为菱形 则t的值为 第 题 A B C D 二 解答题 江苏盐城 如图 所示 已知A B为直线l上两点 点C为直线l上方一动点 连 第五章 动 态 问 题 接A C B C 分 别以A C B C为 边 向 A B C外 作 正 方 形 C AD F和正方形C B E G 过点D作DD l于点D 过点 E作E E l于点E 如图 当点E恰好在直线l上时 此时E 与E重 合 试说明DD A B 在图 中 当D E两点都在直线l的上方时 试探求三 条线段D D E E A B之间的数量关系 并说明理由 如图 当点E在直线l的下方时 请直接写出三条 线段DD E E A B之间的数量关系 不需要证明 第 题 湖南常德 已知四边形A B C D是正方形 O为正方 形对角线的交点 一动点P从B开始 沿射线B C运动 连接D P 作CN D P于点M 且交直线A B于点N 连接 O P ON 当P在线段B C上时 如图 当P在B C的 延长线上时 如图 请从图 中任选一图证明下面结论 BN C P O P ON 且O P ON 设A B B P x 试确定以O P B N为顶点的四边 形的面积y与x的函数关系 第 题 贵州遵义 如图 A B C是边长为 的等边三角形 P是边A C上一动点 由点A向点C运动 与点A C不重 合 Q是C B延长线上一点 与点P同时以相同的速度由 点B向C B延长线方向运动 点Q不与点B重合 过点 P作P E A B于E 连接P Q交A B于点D 当 B Q D 时 求A P的长 运动过程中线段E D的长是否发生变化 如果不变 求出线段E D的长 如果变化请说明理由 第 题 江苏无锡 如图 菱形A B C D的边长为 c m DA B 点P从点A出发 以 c m s的速度沿A C向C作 匀速运动 与此同时 点Q也从点A出发 以 c m s的速 度沿射线A B作匀速运动 当P运动到点C时 P Q都停 止运动 设点P运动的时间为ts 当P异于A C时 请说明P Q B C 以P为圆心 P Q长为半径作圆 请问 在整个运动过 程中 当t为怎样的值时 P与边B C分别有 个公 共点和 个公共点 第 题 江苏苏州 如图 已知半径为 的 O与直线l相切 于点A 点P是直径A B左侧半圆上的动点 过点P作直 线l的垂线 垂足为C P C与 O交于点D 连 接P A P B 设P C的长为x x 当x 时 求弦P A P B的长度 当x为何值时 P D C D的值最大 最大值是多少 第 题 第五章 动 态 问 题 点 运 动 B 四边形C AD F C B E G是正方形 AD C A D A C A B C D AD C A B DD A B DD A A B C D AD ADD ADD C A B 在 ADD 和 C A B中 DD A A B C ADD C A B AD C A ADD C A B AA S DD A B A B DD E E 过点C作CH A B于点H DD A B DD A CHA D AD ADD 四边形C AD F是正方形 AD C A D A C D AD C AH ADD C AH 在 ADD 和 C AH中 DD A CHA ADD C AH AD C A ADD C AH AA S DD AH 同理 E E BH A B AH BH DD E E A B DD E E 如图 四边形A B C D是正方形 O C O B D C B C D C B C B A O C B O B A D O C D C A B D P C N CMD D O C B C N C P D B C N C NB C P D C NB D C A B D C N C NB C P D 在 D C P和 C BN中 D C B C BN C PD BNC D C B C D C P C BN C P BN 在 O BN和 O C P中 O B O C O C P O BN C P BN O BN O C P ON O P B ON C O P B ON B O P C O P B O P 即 NO P B O C ON O P 即 ON O P ON O P A B 四边形A B C D是正方形 点O到边B C的距离是 图 中 y S O BN S O B P x x x 图 中 y S P O B S P BN x x x x x x 即以点O P B N为顶点的四边形的面积y与x的函数 关系是 y x x x x A B C是边长为 的等边三角形 A C B B Q D Q P C 设A P x 则P C x Q B x Q C Q B B C x 在R t Q C P中 B Q D P C Q C 即 x x 解得x 当点P Q运动时 线段D E的长度不会改变 第 题 理由 作Q F A B 交 直 线 A B的 延 长 线 于 点F 连 接 Q E P F P E A B D F Q A E P 点P Q做匀速运动且速 度相同 A P B Q A B C是等边三角形 A A B C F B Q 在 A P E和 B Q F中 A F B Q A E P B F Q A P E B Q F A F B Q A P B Q A E P B F Q A P E B Q F A E B F P E Q F且P E Q F 四边形P E Q F是平行四边形 D E E F E B A E B E B F A B D E A B 又 等边 A B C的边长为 D E 当点P Q运动时 线段D E的长度不会改变 四边形A B C D是菱形 且菱形A B C D的边长为 c m A B B C B A C D A B 又 D A B B A C B C A 第 题 如图 连 接B D交A C于 点 O 四边形A B C D是菱形 A C B D O A A C O B A B O A A C O A 运动ts后 A P t A Q t A P A Q A C A B 又 P A Q C A B P A Q C A B A P Q A C B P Q B C 第 题 如图 P与B C切于点 M 连接PM 则PM B C 在R t C PM中 P CM PM P