湖北省武汉市吴家山中学高中数学 1.3 函数的基本性质（2课时）同步辅导 新人教A版必修1.doc

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值学点：探究与梳理自主探究探究问题：21xyo121xyo121xyo1观察下列各个函数的图象探讨下列变化规律：（1）随着自变量的增大，函数值有什么变化？（2）能否看出函数的最大值、最小值？重点把握1在理解函数单调性的概念时，要注意以下几点：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，一个函数在定义域内不同的区间上可以有不同的单调性（2）函数单调性定义中的、有以下几个特征：一是任意性，即在定义域内某个区间上任意取、，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常设；三是属于同一个单调区间（3）对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间（4）若函数在其定义域内的两个区间、上都是增（或减）函数，一般不能简单认为在上是增（或减）函数，例如在上是减函数，在上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数2单调性的证明方法 证明在区间上的单调性应按以下步骤：（1）设元：即设、是该区间内的任意两个自变量值且；（2）作差：将函数值与作差；（3）变形：将上述差式通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断；（5）判断：对的单调性作出结论 其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止3单调性的判断方法：（1）定义法：利用定义严格判断；（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性几条常用的结论：在公共区间内：增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减；函数与函数的单调性相反；当或时，函数与函数的单调性相反（4）复合函数单调性的判断：将复合函数分解成外函数和内函数；分别确定各个函数的定义域；分别确定内、外函数的单调区间；若内、外函数在对应的区间上的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，则函数为增函数；若内、外函数在对应的区间上的单调性相反，即一增一减，则函数为减函数（同“增”异“减”） 4函数的最值与值域、单调性之间的关系（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数的值域为，但此函数没有最大值和最小值.如果函数有最值，则最值一定是值域中的一个元素（2）若函数在闭区间上是减函数，则在上的最大值为，最小值为；若函数在闭区间上是增函数，则在上的最大值为，最小值为题例：解析与点拨例1（1）证明函数在上是减函数；（2）证明函数在定义域上是减函数证明：（1）设，则，因为则，即，所以函数在上是减函数（2）函数的定义域为，设，则因为，则，即，所以函数在定义域上是减函数点拨：证明函数单调性的关键是判断与的大小关系，而往往转化为判断的符号，对的变形，尽量变形为几个最简单的因式的乘积的形式对于（2）的易错点是直接由得，这种证明利用了函数的单调性，而的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用例2 确定下列函数的单调区间：（1）；（2）；3-331xyo-14（3）.解析：（1），其图象如右图所示.由图象可知：在，上是增函数，在，上是减函数（2）函数的定义域为， 是对称轴为，开口向上的抛物线，故在上是增函数，在上是减函数，而是上的增函数，所以在上是增函数，在上是减函数（3）函数的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且都有；而在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减点拨：函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数单调区间的运算应该在函数定义域内进行；可以利用函数的图象确定函数的单调区间例3 已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围解析：本题解决问题的关键是结合二次函数的图象，找出图象的对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解的对称轴为，的单调减区间是在区间上是减函数，对称轴必须在直线的右侧或与其重合，解得：点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想变式训练1：已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围例4 已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围解析：是定义在上的增函数，且，解得：，的取值范围是点拨：由函数单调性的定义知，若函数是区间上的增函数，则有；还要注意函数定义域的制约例5 求函数在区间上的最大值与最小值解析：先用函数单调性定义确定函数在区间上的单调性，再求其最值任取，则，即，函数在区间上单调递减，点拨：求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性，运用函数单调性是求最值的重要方法例6 求函数在区间上的最大、最小值解析：，其图象的对称轴为（1）当时，由图1可知，；（2）当时，由图2可知，；（3）当时，由图3可知，；21xyo21xyo21xyo21xyo（4）当时，由图4可知，图1 图2 图3 图4点拨：求二次函数在给定区间上的最值，要注意分析它的开口方向和对称轴.一般地，若给定区间在对称轴的同侧，它是单调函数，可直接利用函数单调性求出最值，其最值在区间的两个端点处；若对称轴在给定区间内，要注意它在对称轴处取得一个最值，在距对称轴较远的端点处取得另一最值变式训练2：已知函数在区间上有最大值，求实数的取值范围例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）解析：（1）设月产量的台，则总成本为20 000+100，从而（2）当时，当时，；当时，是减函数，.当时，.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元点拨：本题主要考查函数及函数的最值在实际问题中的应用.分清各种数据及其之间的关系，是正确构建函数关系式的关键分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值学业水平测试-4-314xyo巩固基础1函数的图象如图所示，其增区间是（ ）a. b. c. d.2下列命题正确的是（ ）a定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数b定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数c若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在也一定为增函数d若在区间上为增函数且（,），那么3函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则_4下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）a b c d5函数在上是减函数，且，则的取值范围是（ ）a b c d或6函数在区间上的最大值为_，最小值为_7已知函数是定义在区间上的减函数，那么与的大小关系是_8已知函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围9函数的递增区间是_10已知函数，若有最小值，则的最大值为（ c ）a b0 c1 d2能力提升11如果函数，对任意实数都有试比较，的大小12已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是_13函数的最大值及最小值分别是_14已知二次函数在区间上的最大值为，则的值为_15求函数的单调区间，并证明其单调性16已知函数对任意、,总有，且当时，（1）求证：在上是减函数；（2）求在上的最大值及最小值172008年下半年美国的次贷危机引发了全球性的金融危机政府为帮助企业渡过难关，将某商店尚未还清的26.8万元贷款免除利息，并无息再借给该商店20万元，帮其改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并让该店用经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计息）已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售价（元/件）之间的关系用如图所示的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应支付的其他费用为每月13 200元（1）若销售价为52元/件时，则该店正好收支平，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为每件多少元？拓展创新18是否存在满足的实数，使函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由自主发展xyo1求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究例如求函数在区间上的值域，则需先确定对称轴为，再分，四种情况，结合图象观察得解2可以利用函数单调性定义证明函数在区间、上是增函数，在区间、上是减函数。该函数图象如图所示1.3.2 奇偶性学点：探究与梳理自主探究探究问题：请作出函数和的图象，观察图象讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征?探究问题：请作出函数和的图象，观察图象讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征？重点把握1准确理解奇偶函数的定义（1）由定义知，若是定义域内的一个数值，则也必然在定义域内，因此，奇函数或偶函数的定义域必须是关于原点对称的换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性如函数在上是偶函数，但在区间上是非奇非偶函数（2）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，这与函数的单调性不同，函数的单调性是对定义域内某个区间上来说的从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而函数的奇偶性是函数的“整体”性质只有对函数定义域内每一个值，都有（或），才能说函数是偶函数（或奇函数）2若函数是奇函数，且有意义，则若，函数也不一定是奇函数，但若，则函数一定不是奇函数3函数按奇偶性可分为：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数（且定义域关于原点对称）、非奇非偶函数4奇偶函数在对称区间上的单调性 若函数是偶函数，则函数在关于原点对称区间和上的单调性相反； 若函数是奇函数，则函数在关于原点对称区间和上的单调性相同；5可以利用奇偶函数的定义来判断及证明函数的奇偶性，分如下两个步骤：（1）求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步（2）验证与是总相等还是总为相反数，即或恒成立，或判断是否等于零，或判断（）是否等于等等题例：解析与点拨例1 判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）解析：（1）函数的定义域为，关于原点对称， ，是奇函数（2）函数的定义域为，关于原点对称，是奇函数（3）函数的定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数（4）函数的定义域为，关于原点对称，且此函数既是奇函数又是偶函数（5）函数的定义域为，关于原点对称，当时， ；当时， 综上所述，在定义域上总有， 所以，函数是奇函数（6）函数的定义域为，关于原点对称，函数是奇函数，点拨：1用定义法判断的奇偶性，要首先验证函数定义域是否关于原点对称，其次要验证与的关系，即或，有时也可以用其等价形式或来判断；2有些题目在判断奇偶性时应根据定义域先化简函数关系式，观察其本质，再进一步采用定义法或定义法的等价形式去判断会更简单一些；3判断分段函数的奇偶性，对在各个区间上分别讨论，应注意由的取值范围确定应用相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有或，从而判定其奇偶性变式训练1：判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）例2若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）a b c d-2xyo2解析：偶函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，故函数在上为增函数.由知，利用偶数图象的对称性可画出函数大致图象，结合图象可得：在整个定义域内，使得的的取值范围是，所以选c2xyo1点拨：如果知道函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可根据奇偶函数图象的对称性推出函数在另一部分上的性质和图象变式训练2： 设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是_例3 已知是上的奇函数，当时，.求函数的解析式.解析：是上的奇函数，当时，当时， ， ，所以，所求函数解析式为例4 设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围解析：是上的偶函数，则由可得.又时，是减函数，解之，得.点拨：欲求的取值范围，应列出关于的不等式，与的符号不能确定，由且是偶函数知，可以分为与同号，与异号两种情况，列四个不等式组但是如果考虑到偶函数可将问题转化为只考虑时的情况，从而可使问题简单化涉及奇偶函数的不等式问题，关键是去掉函数符号，在列不等式的过程中，要充分利用奇偶函数的性质，同时要注意函数的定义域例5 已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数（1）求证：函数在上也是增函数；（2）如果，解不等式解析：（1）证明：设，则，在上为增函数，是奇函数， ，即，故函数在上也是增函数（2）是定义在上的奇函数，由得，函数在上是增函数，即，不等式的解集为点拨：由奇函数或偶函数的图象特点，易得它们在对称区间上的单调性规律，在证明这一规律以及与对称性有关的题目时，巧妙利用变量对称进行转化是重要的手段之一学业水平测试巩固基础1下面五个结论：偶函数的图象一定与轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是；函数（为非零常数）为偶函数其中正确结论的个数是（ ）a1 b2 c3 d42若是偶函数，则是（ ）a奇函数 b偶函数 c非奇非偶函数 d既是奇函数又是偶函数3设是定义在上的奇函数，当时，则_4若且，则_5函数是上的偶函数，且在是增函数，则下列各式成立的是（ ）a bc d6若偶函数在上为增函数，则满足的实数的取值范围是_7设函数为奇函数，则_8已知函数是奇函数，在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是_函数，且最_值为_9已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，_能力提升10已知函数（）是偶函数，则_,_11函数的图象关于（ ）对称a轴 b原点 c轴 d直线12若函数，是奇函数，则下列点一定在的图象上的是（ ）a b c d13设函数为一偶函数，且当时，则当时，（ ） a b c d14已知函数是偶函数，当时，单调递增，对于，有，则（ ）a b c d15设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）a是奇函数 b是奇函数c是偶函数 d是偶函数16已知是定义在上的奇函数，它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围17已知函数是奇函数，函数是偶函数，且，求，拓展创新xyoxyo18已知与的图象如图所示，则函数的图象可以是（ ）xyoxyoxyoxyoa. b. c. d. 19定义在上的函数满足关系式，则 20已知偶函数的图象与轴有5个交点，则方程的所有实根之和为 自主发展 我们从奇偶函数图象观察可得：奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反。下面从理论上给出证明：设是偶函数，在区间上是减函数，试证在区间上是增函数证明：设，是区间上任意两个值，且有在区间上是减函数又是偶函数，即，即在区间上是增函数同理可证其他类似结论.xya2o1.3 函数的基本性质参考答案1.3.1 单调性与最大（小）值变式训练：1 的图象是以为折点的折线，由图分析得.2 ，其图象是开口向下的抛物线，且对称轴为，因为在区间上有最大值，所以，即.学业水平测试1根据函数单调性定义及函数图象知在上单调递增,故选c2.根据增函数定义可知答案为d3. 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以对称轴为，即，从而，故4.函数在上递减，在上递增；函数在上递减；函数的定义域为，且在上递增，在上递减；函数在上递增，在上递增，从而在上递增，故答案为c5.因为函数是减函数，又， 故选c6. 在上是增函数，故，7. ，在区间上单调递减，.8.，函数图象的对称轴为当在上单调递减时，有，即；3-2xyo当在上单调递增时，有，即.综上所述，当或时，函数在上是单调函数.9. ，画出其图象，结合图象可知其递增区间为，10.，函数图象的对称轴为，在上单调递增.又有最小值，即.故选c11.对任意实数都有 即对任意实数都成立 即函数对称轴为 函数在上是增函数又，且 即12. 的图象对称中心为，且函数在区间和上单调递减，故13.当时，即；当时即，14. ，对称轴为当时，图象开口向上，在上的最大值为，所以；当时，图象开口向下，在上的最大值为，所以.故答案为或15. 的定义域为，且在上是减函数，在上也是减函数，证明如下：任取，则当时， 所以即当时， 所以即故函数在上是减函数，在上也是减函数16.（1）又 任取两个实数，则 根据题意即所以在上是减函数（2）由（1）知在上是减函数，最小，最大 而 ox（元/件）y（百件在上最大值为2，最小值为-2.17.（1）由图可求得每月销售量.设该店的月利润为元，有职工名，则.由已知当时，.即，即该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润：即当时，时，当时，时，.综上所述，当时，有最大值7 800元.设该店最早可在年后还清债务，则有，解得.所以该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价应为每件55元.18. .当时，由定义域为知，函数在区间上是减函数，于是知函数的值域为.由题意有，该方程组无解，即当时，