小升初质数和合数复习题.pdf

1 1 1 有四个数 一个是最小的奇质数 一个是偶质数 一个是小于 有四个数 一个是最小的奇质数 一个是偶质数 一个是小于 3030 的最大的最大 质数 另一个是大于质数 另一个是大于 7070 的最小质数 求它们的和 的最小质数 求它们的和 解析 最小的奇质数是 3 唯一的偶质数是 2 小于 30 的最大质数是 29 大于 70 的最小质数是 71 因此它们的和是 3 2 29 71 105 2 2 105105 的正约数有多少个 的正约数有多少个 解析 先把 105 分解质因数为 105 3 5 7 则 105 的正约数个数为 1 1 1 1 1 1 8 个 3 3 144144 的正约数有多少个 全部正约数之和是多少 的正约数有多少个 全部正约数之和是多少 解析 144 2 4 32 144 的正约数个数为 4 1 2 1 15 个 全部正约数之和为 2 0 21 22 23 24 30 31 32 403 4 4 已知质数 已知质数 p p 和和 q q 满足满足3153 qp 求 求 13 q p 的值 的值 解析 3p 与 3q 的和是 31 是个奇数 奇数 偶数 奇数 因此 3p 与 5q 两个积 其中之一是偶数 而 3 5 是奇数 奇数和偶数乘积才会是偶数 因此 p 和 q 之 一必有一个是偶质数 2 若 p 2 则 q 31 3 2 5 5 q 是质数 因此 p 2 q 5 符合题意 则 8 1 153 2 13 q p 若 q 2 则 q 31 5 2 3 7 因此 p 7 q 2 则1 132 7 13 q p 综上 13 q p 7 或 1 5 5 若若P为质数 且为质数 且 4 3P 仍为质数 求仍为质数 求 5 3P 的值的值 2 解析 p 4 3 3 因此 p4 3 是一个奇质数 那么 p4 是一个偶数 那么 p 是偶质数 2 则 2 5 3 35 6 6 设 设 p p q q r r 都是质数 并且都是质数 并且 p q rp q r p p q q 求 求 p p 解析 质数除了 2 之外都是奇数 p q r 若 p 和 q 都是奇数 则和为偶数 因 此 p 与 q 之一必为偶质数 2 p q 因此 p 2 7 7 已知 已知 p p 8 p 10p p 8 p 10 都是质数 求都是质数 求 p p 解析 把质数按模 3 分类 3 3k 1 3k 2 若 P 为除以 3 余 1 的质数 p 8 不是质数 若 p 为除以 3 余 2 的质数 p 10 不是质数 若 p 为 3 p 8 p 10 都是质数 所以 p 3 8 8 证明 如果证明 如果2PP 都是大于都是大于 3 3 的质数 那么的质数 那么6 1 P 证明 设 p 6k 1 则 p 2 6k 1 2 p 2 不是质数 因为 p 是质数 不等于 6k 2 6k 3 6k 4 6k 则 p 6k 5 则 p 1 6k 5 1 6 k 1 即 6 1 P 9 9 已知 已知 p p 6 p 12 p 18 p 24p p 6 p 12 p 18 p 24 都是质数 求都是质数 求 p p 解析 设 p 5k 1 则 p 24 5k 25 不是质数 因此 p 5k 1 设 p 5k 2 则 p 18 5k 20 不是质数 因此 p 5k 2 3 设 p 5k 3 则 p 12 5k 15 不是质数 因此 p 5k 3 设 p 5k 4 则 p 6 5k 10 不是质数 因此 p 5k 4 设 p 5k 则 p 5 p 6 11 p 12 17 p 18 23 p 24 29 1010 有三个正整数 一个是最小的奇质数 一个是最小的奇合数 另一个既 有三个正整数 一个是最小的奇质数 一个是最小的奇合数 另一个既 不是质数 也不是合数 求三个数的积 不是质数 也不是合数 求三个数的积 解析 最小的奇质数是 3 最小的奇合数是 9 既不是质数也不是合数的数是 1 这三个数的乘积是 3 9 1 27 1111 从从 1 1 开始的连续正整数中第开始的连续正整数中第 1515 个质数是个质数是NN 的各位数字之和为的各位数字之和为a 数字数字 之积为之积为b 求 求 22 ba 解析 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 第 15 个 质数是 47 各位数字之和是 11 数字乘积是 28 则 b 2 a2 663 1212 正整数正整数 1 1 2 2 N中有中有p个质数 个质数 q个合数 个合数 m个奇数 个奇数 n个偶数个偶数 求求 nqmp 的值的值 解析 原式 n m q p n m 是 1 至 N 所有的整数 p q 是除了 1 之外 2 至 N 的所有整数 因此原式 1 1313 在在 150 200150 200 间找两个数 使它们的乘积为间找两个数 使它们的乘积为 110110 273 273 解析 110 273 2 3 5 11 91 91 2 3 5 11 182 165 1414 一个两位质数 将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数 我们 一个两位质数 将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数 我们 4 称它为称它为 无暇质数无暇质数 则所有 则所有 无暇质数无暇质数 之和是多少 之和是多少 解析 两位无暇质数 13 31 17 71 37 73 79 97 这些质数的和是 418 1515 试说明有无穷多个正整数试说明有无穷多个正整数n 使得 使得 2 37nn 为合数为合数 解析 设 n 7k 则有无穷多个 n 使得 2 37nn 为合数 1 1 有三个数 一个是偶质数 一个是大于 有三个数 一个是偶质数 一个是大于 5050 的最小质数 一个是的最小质数 一个是 100100 以内以内 最大的质数 求这三个数的和 最大的质数 求这三个数的和 解析 偶质数 2 大于 50 的最小质数 53 100 以内最大的质数 97 2 53 97 152 2 2 一次数学竞赛中一次数学竞赛中 小明的名次小明的名次 成绩与他的岁数乘起来是成绩与他的岁数乘起来是 29102910 你能算出你能算出 小明的成绩和名次吗 小明的成绩和名次吗 解析 2910 2 3 5 97 小明 15 岁 名次第 2 名 成绩 97 分 3 3 设设x 表示为不超过正数表示为不超过正数x的质数个数的质数个数 例如例如 2 2 4 4 等等 则则 的值为多少 的值为多少 解析 小于 48 的质数有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 19 4 4 若质数 若质数 m m n n 满足满足 5m 7n 129 5m 7n 129 求求 m nm n 的值 的值 5 解析 129 是个奇数 m 或 n 之一为偶质数 2 若 m 2 则 n 129 5 2 7 17 m n 19 若 n 2 则 m 129 7 2 5 23 m n 25 5 5 若 若pq 是质数 关于是质数 关于x的方程的方程597pxq 的根为的根为 1 1 求 求 2 qp 的值的值 解析 由题意得 597pxq 为奇数 故 p 5q 为一奇一偶 故 p q 为一奇一 偶 得 p q 中必有一个数为 2 若 p 2 则 q 19 若 q 2 则 p 87 不合题意 因此 2 qp 15 6 6 证明有无穷多个 证明有无穷多个n 使 使 2 41nn 为合数为合数 解析 设 n 41k 则有无穷多个 n 使 2 41nn 为合数 7 7 若有三个质数的乘积恰好是这三个数和的若有三个质数的乘积恰好是这三个数和的 1111 倍 求这三个质数倍 求这三个质数 解 11 7 3 8 8 1 1 pq 是两个大于是两个大于 2 2 的质数 证明的质数 证明pq 是合数是合数 解 设 p 2k1 1 q 2k2 1 p q 2 k1 k2 1 k1 k2 1 因此 p q 的和是合数 2 2 p是质数 是质数 2 3p 仍为质数 证明仍为质数 证明 3 3P 也是一个质数也是一个质数 解 设 p 2k 1 则 2 3p 4 k 2 k 1 不是质数 所以 p 2 2 3p 7 3 3P 11 9 9 pq 是质数 是质数 711pqpq 也是质数 试求式子也是质数 试求式子 22 qppq pq 的值的值 解 7p q 的和是个质数 是个大于 2 的质数 则为奇质数 奇数 偶数 奇数 6 因此 p q 必有一个是偶质数 2 若 p 2 设 q 3k 1 则 7p q 不是质数 设 q 3k 2 则 pq 11 不是质数 因此 q 3 则 22 qppq pq 29 若 q 2 设 p 3k 1 则 7p q 不是质素 设 p 3k 2 则 pq 11 不是质数 因此 p 3 代入 22 qppq pq 29 1010 设 设 p p 5 5 是质数 并且是质数 并且 2p 12p 1 也是质数 求证 也是质数 求证 4p 14p 1 是合数 是合数 解 设 p 6k 1 则 2p 1 不是质数 因此 p 6k 5 k 0 4p 1 24k 21 3 8k 7 是 个合数 1111 abc 是不同的正整数 两两互质 且其中任何两个数的和能被第三个是不同的正整数 两两互质 且其中任何两个数