第一章 建立数学模型.pdf

数学模型 华中科技大学管理学院 第第一一章章建立数学模型建立数学模型 1 1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 1 2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 1 3 数学建模示例数学建模示例 1 4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 1 5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类 1 6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模 数学模型 华中科技大学管理学院 玩具玩具 照片照片 飞机飞机 火箭模型火箭模型 实物模型实物模型 水箱中的舰艇水箱中的舰艇 风洞中的飞机风洞中的飞机 物理模型物理模型 地图地图 电路图电路图 分子结构图分子结构图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的是为了一定目的 对客观事物的一部分对客观事物的一部分 进行简缩进行简缩 抽象抽象 提炼出来的提炼出来的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征 1 1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 我们常见的模型我们常见的模型 数学模型 华中科技大学管理学院 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型 航行问题航行问题 用用 x 表示表示船速船速 y 表示水速表示水速 列出方程列出方程 75050 75030 yx yx 答答 船速每小时船速每小时20千米千米 小时小时 甲乙两地相距甲乙两地相距750千米千米 船从甲到乙顺水航行需船从甲到乙顺水航行需30小时小时 从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时小时 问船的速度是多少问船的速度是多少 x 20 y 5 求解求解 数学模型 华中科技大学管理学院 航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设作出简化假设 船速船速 水速为常数水速为常数 用符号表示有关量用符号表示有关量 x y表示船速和水速表示船速和水速 用物理定律用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以匀速运动的距离等于速度乘以 时间时间 列出数学式子列出数学式子 二元一次方程二元一次方程 求解得到数学解答求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题回答原问题 船速每小时船速每小时20千米千米 小时小时 数学模型 华中科技大学管理学院 数学模型数学模型 Mathematical Model 和和 数学建模数学建模 Mathematical Modeling 对于一个对于一个现实对象现实对象 为了一个为了一个特定目的特定目的 根据其根据其内在规律内在规律 作出必要的作出必要的简化假设简化假设 运用适当的运用适当的数学工具数学工具 得到的一个得到的一个数学结构数学结构 建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程 包括表述包括表述 求解求解 解释解释 检验等检验等 数学模型数学模型 数学数学 建模建模 数学模型 华中科技大学管理学院 1 2数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学进入一些新领域数学进入一些新领域 为数学建模开辟了许多领地为数学建模开辟了许多领地 数学模型 华中科技大学管理学院 数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理 数学建模计算机技术 知识经济知识经济 如虎添翼如虎添翼 P8 139 数学模型 华中科技大学管理学院 1 3 数学建模示例数学建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析问题分析 模模 型型 假假 设设 通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长四条腿一样长 椅脚与地面点接触椅脚与地面点接触 四脚四脚 连线呈正方形连线呈正方形 地面高度连续变化地面高度连续变化 可视为数学上的连续可视为数学上的连续 曲面曲面 地面相对平坦地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地只脚同时着地 数学模型 华中科技大学管理学院 模型构成模型构成 用数学语言把用数学语言把椅子位置椅子位置和和四只脚着地四只脚着地的关系表示出来的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形 椅脚连线椅脚连线 的对称性的对称性 x B A D C O D C B A 用用 对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角 表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数 四个距离四个距离 四只脚四只脚 A C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f B D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形ABCD 绕绕O点旋转点旋转 正方形正方形 对称性对称性 数学模型 华中科技大学管理学院 用数学语言把用数学语言把椅子位置椅子位置和和四只脚着地四只脚着地的关系表示出来的关系表示出来 f g 是是连续函数连续函数 对任意对任意 f g 至少一个为至少一个为0 数学数学 问题问题 已知已知 f g 是是连续函数连续函数 对任意对任意 f g 0 且且 g 0 0 f 0 0 证明证明 存在存在 0 使使f 0 g 0 0 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只脚着地至少三只脚着地 D C B A B A D C O 数学模型 华中科技大学管理学院 模型求解模型求解 给出一种简单给出一种简单 粗糙的证明方法粗糙的证明方法 将椅子将椅子旋转旋转900 对角线对角线AC和和BD互换互换 由由g 0 0 f 0 0 知知f 2 0 g 2 0 令令h f g 则则h 0 0和和h 2 0 由由 f g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数 据连续函数的基本性据连续函数的基本性 质质 必存在必存在 0 使使h 0 0 即即f 0 g 0 因为因为f g 0 所以所以f 0 g 0 0 评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f g 的确定的确定 D C B A B A D C O 数学模型 华中科技大学管理学院 1 3 2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河 问题问题 智力游戏智力游戏 3名商人名商人 3名随从名随从 随从们密约随从们密约 在河的任一在河的任一 岸岸 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商 人多人多 就杀人越货就杀人越货 但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定 商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河 问题分析问题分析 多步决策过程多步决策过程 决策决策 每一步每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人员船上的人员 要求要求 在安全的前提下在安全的前提下 两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多 经有经有 限步使全体人员过河限步使全体人员过河 河河 小船小船 至多至多2人人 数学模型 华中科技大学管理学院 模型构成模型构成 xk 第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数 yk 第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数 xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 过程的状态过程的状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允许状态集合允许状态集合 uk 第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数 vk 第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数 dk uk vk 决策决策D u v u v 1 2 允许允许决策决策集合集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 状态转移律状态转移律 求求dk D k 1 2 n 使使sk S 并并按按 转移律转移律由由 s1 3 3 到达到达 sn 1 0 0 多步决策多步决策 问题问题 数学模型 华中科技大学管理学院 模型求解模型求解 x y 3 32 2 1 1 0 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法 状态状态s x y 16个格点个格点 10个个 点点 允许决策允许决策 移动移动1或或2格格 k奇奇 左下移左下移 k偶偶 右上移右上移 s1 sn 1 d1 d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案 评注和思考评注和思考 规格化方法规格化方法 易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况 d1 d11 允许状态允许状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 数学模型 华中科技大学管理学院 背景背景 年年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口人口 亿亿 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况世界人口增长概况 中国人口增长概况中国人口增长概况 年年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口人口 亿亿 3 0 4 7 6 0 7 2 10 3 11 3 12 0 13 0 研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长 1 3 3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长 数学模型 华中科技大学管理学院 指数增长模型指数增长模型 马尔萨斯提出马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式常用的计算公式 k k rxx 1 0 x t 时刻时刻t的的人口人口 基本假设基本假设 人口人口 相对相对 增长率增长率 r 是常数是常数 r 的定义 单位时间内人口增长的比率单位时间内人口增长的比率 ttrxtxttx 今年人口今年人口 x0 年增长率年增长率 r k年后人口年后人口 0 0 xxrx dt dx rt extx 0 随着时间增加随着时间增加 人口按指数规律无限增长人口按指数规律无限增长 思考思考 式式1是式是式3的离散近似形式的离散近似形式 式式1 式式3 如何理解 数学模型 华中科技大学管理学院 参数估计 求式3的r和x0 将式3简化为 y rt a 其中 y ln x a lnx0 用最小二乘法 最小二乘法原理 见 经济数学手册 P5 得 r a 结果及其分析 见P11第1自然段 2 i ii t yt XrY 数学模型 华中科技大学管理学院 指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程 1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数 逐渐下降逐渐下降 见P11图3 见P11图4 数学模型 华中科技大学管理学院 阻滞增长模型阻滞增长模型 Logistic模型模型 人口增长到一定数量后人口增长到一定数量后 增长率下降的原因增长率下降的原因 资源资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设假设 0 srsxrxrr 固有增长率固有增长率 x很小时很小时 xm 人口容量人口容量 资源资源 环境能容纳的最大数量环境能容纳的最大数量 1 m x x rxr r是是x的减函数的减函数 m x r s 0 m xr 数学模型 华中科技大学管理学院 rx dt dx 1 m x x rxxxr dt dx dx dt x 0 xmxm 2 如何求出 xm x t x x x e m mrt 11 0 t x 0 x t S形曲线形曲线 x增加先快后慢增加先快后慢 x0 xm 2 阻滞增长模型阻滞增长模型 Logistic模型模型 原本人口增长的规律 r是x的函数时 人口增长的规律 数学模型 华中科技大学管理学院 参数估计参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报预报 必须先估计模型参数必须先估计模型参数 r 或或 r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合 例例 美国人口数据美国人口数据 单位单位 百万百万 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31 4 38 6 50 2 179 3 204 0 226 5 251 4 专家估计专家估计 阻滞增长模型阻滞增长模型 Logistic模型模型 r 0 2557 xm 392 1 1 不用式9 而将式8表示为式10 2 式10的左端 dx dt x 见P14 可从表4中计算出来 3 用表4数据 拟合r和和s 专家估计人口固有增长率r 0 029 再根据1960年29 8亿人 增长率1 85 即 dx dt x 0 0185 再根据式8 最后得到xm 见P14中部 数学模型 华中科技大学管理学院 模型检验模型检验 用模型计算用模型计算2000年美国人口年美国人口 与实际数据比较与实际数据比较 1990 1 1990 1990 1990 2000 m xxrxxxxx 实际为实际为281 4 百万百万 5 274 2000 x 模型应用模型应用 预报美国预报美国2010年的人口年的人口 加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量 阻滞增长模型阻滞增长模型 Logistic模型模型 r 0 2490 xm 434 0 x 2010 306 0 利用了式8 见P13 数学模型 华中科技大学管理学院 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机理分析机理分析 测试分析测试分析 根据对客观事物特性的认识根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律 将对象看作将对象看作 黑箱黑箱 通过对量测数据的通过对量测数据的 统计分析统计分析 找出与数据拟合最好的模型找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究主要通过实例研究 Case Studies 来学习来学习 以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析 二者结合二者结合 用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数 1 4数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学模型 华中科技大学管理学院 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成 模型求解模型求解模型分析模型分析 模型检验模型检验 模型应用模型应用 模模 型型 准准 备备 了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的 搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征 形成一个形成一个 比较清晰比较清晰 的的 问题问题 数学模型 华中科技大学管理学院 模模 型型 假假 设设 针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的 作出合理的作出合理的 简化的假设简化的假设 在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中 模模 型型 构构 成成 用数学的语言用数学的语言 符号描述问题符号描述问题 发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法 尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 数学模型 华中科技大学管理学院 模型模型 求解求解 各种数学方法各种数学方法 软件和计算机技术软件和计算机技术 如结果的误差分析如结果的误差分析 统计分析统计分析 模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析 模型模型 分析分析 模型模型 检验检验 与实际现象与实际现象 数据比较数据比较 检验模型的合理性检验模型的合理性 适用性适用性 模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 数学模型 华中科技大学管理学院 数学建模的全过程数学建模的全过程 现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型 现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答 表述表述 求解求解 解释解释 验证验证 归纳 演绎 表述表述 求解求解 解释