武汉二中2015年分配生考试数学试题(word版有答案).doc

2015年武汉二中分配生考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（共10小题，共30分）1.规定“”为有序实数对的运算，如下所示：（a，b）(c，d)=(ac+bd，ad+bc).若对任意实数a，b都有（a，b）（x，y）=（a，b），则（x，y）为（ ）A.(0，1) B. (1，0) C. (-1，0) D. (0，-1)解：依题意：ax+by,ay+bx=a,b，恒有ax+by=aay+bx=b=x=1y=0，选B.2.用“”、“O”、“ ”分别表示三种物体的重量.若，则、O、这三种物体的重量比为（ ）A.2：3：4 B. 2：4：3 C. 3：4：5 D. 2：5：4 解：令a=，b=，c=，令k=ab=b-ca=ca+b=a+b-ca+b=c=a+b-c = 2c=a+b = k=ca+b=12令a=x，b=2x，则c=3x2，a：b：c=1:2:32=2:4:3，选B3.如图，在ABC中，AB=AC，D、E分别为边AB、AC上的点，DM平分BDE，EN平分DEC.若DMN=110，则DEA=（ ）A.40 B. 50 C. 60 D.70选A.4.对左下方的几何体变换位置或视角，则可以得到几何体是（ ）解：B5.某台球桌为如图所示矩形ABCD，小球从A沿45角出击， 恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC=( )A.1：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 3：5解：选C6.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 解：第一次变换后y=-x2-x+2，第二次变换后y=-x2+x+2，选C.7.某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=分别如图1，图2所示：如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用（ ）个鸡蛋.A.3000 B.2700 C.2500 D.2400解：4x82.5%+5x78%+6x80%=2000即330x+390x+480x=200000，x=1664x+5x+6x=15x=2490，选C.8. 如图在RtABC中，ACB=90,BAC=30，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E，设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）分析：取CE的中点M，考虑CDE的大小变化，M与AB相切时最小，CDAB时圆最大，选C.9.已知点A（）、B（）均在抛物线上，若，则（ ）A. B. C. D. 的大小不能确定 解：抛物线开口向上，对称轴为x=-1，考虑x2-1与x1-1的大小，即可比较x2+12-x1+12=x2-x1x1+x2+2=x2-x13-a0x2-1x1-1，fx2fx1选B.10.设I是ABC的内心，r是其内切圆半径，R是其外接圆半径.若AI的延长线交ABC的外接圆于点P，则=( )A. 2Rr B. C. D. 解：延长BO交O于D，作IHAC于H，证明RtDPBRtAHI即可选A.二、填空题（共6小题，共18分）11.罗马数字有7个基本符号，它们分别是，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000.罗马数依靠着7个符号变换组合来表示的如，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是 .填52.12.如图，直线y=x与直线分别与双曲线交于A、B两点，则k= .填2.13.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率是 . 2514.在下表中，我们把第i行第j列的数记为（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当ij时，=1；当ij时，=0，例如：当i=2，j=1时，按此规定，= 1 ；表中的25个数中，共有 15 个1.计算= .15、现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间.如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的半分比是 .填写：35%或65%16、 如图，ABC内接于O，AB+AC=12，ADBC于点D，AD=3，则O面积的最大值为 .解：易得ABAC=AD2RAB+AC=122ABAC，ABAC362RAD36，R6，填36三、解答题（共9题，共72分）17、（本题6分）解方程：2x2-4x+3=2x2-2x解：令t=x2-2x，则2t+3=2t，整理得2t2+3t-2=0解得t=-2或t=12，x2-2x+2=0（无解）或x2-2x-12=0解得x=26218、（本题6分）在平面直角坐标系中，将直线y=kx+3绕原点逆时针旋转90刚好经过点（-2，1），求不等式kx+3x+2的解集解：原直线经点0,3，该点绕原点逆时针旋转90后为点-3,0，又旋转后的直线经过点-2,1易得新直线解析式为y=x+3，旋转前的直线解析式为y=-x+3-x+3x+2的解集为x12.19、（本题6分）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面作图，可以得到四边形的“好线”：如图1，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过O作OEAC交CD与点E，则直线AE即为一条“好线”.（1）试说明图1中的直线AE是“好线”的理由；（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当的说明（不需要说明理由）.分析：（1）设AE与OC的交点是F要说明直线AE是“好线”,根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积,只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积则根据两条平行线间的距离相等,结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积,再根据等式的性质即可证明；（2）根据两条平行线间的距离相等,只需借助平行线即可作出过点F的“好线”（1）设AE与OC的交点是F因为OEAC,所以SAOE=SCOE,所以SAOF=SCEF,又因为,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,所以直线AE平分四边形ABCD的面积,即AE是“好线”（2）连接EF,过A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则AE为一条“好线”AGEF,SAGE=SAFG设AG与EF的交点是O则SAOF=SGOE,又AE为一条“好线”,所以AE为一条“好线”20、（本题7分）如图，A是直线l：y=3x上一点，ABl于点A，交y轴正半轴于B(0，2).（1）求A点的坐标；（2）将OAB沿着AB翻着至O1AB，则直线O1B的解析式为: ； 将OAB沿着OA翻着至OAB2，则直线OB2的解析式为: ； 将OAB绕O点顺时针旋转90至OA3B3，则直线A3B3的解析式:_. (第(2)问直接写出答案，不写过程.)解：（1）作AHy轴于H，设Aa,3a，由AHBOHA有AH2=HOHB即a2=2-3a3a，解得：a=45，A45,125（2）y=43x+2；y=43x；y=3x-621、（本题7分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4.现作如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1、2、3、4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘.（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部和边界）的概率；（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程？若不存在，请说明理由.解：（1）正方形四个顶点的坐标分别是A（-2，2）；B（-2，-2）；C（2，-2）；D（2，2），列表得：a 1 2 3 4b1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）M点的坐标所有的情况有共16种，其中落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所以M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率是416=14；（2）若使点M落在正方形ABCD面上的概率为34，则只有4个点不在正方形内部，所以可把正方形ABCD向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度即可22、（本题8分）如图，O的弦AB=4，C是优弧的中点，点D是劣弧上任意一点，过D作O的切线，与O在点A、B处的切线AM、BF分别交点E、F，CE、CF与弦AB分别交于点G、H.（1）求证：AC平分MAB；（2）求GH的长度.（1）证明：易得MAC=ABC=BAC，得证.（2）过E作AB的平行线交CA、CD的延长线于P、Q.则P=BAC，由（1）知MAC=BAC，P=BAC=PAEEA=EP=ED，同理ED=EQ，EP=EQ设CD交AB于S，由PQAS易得GA=GS，同理HS=HBGH=12AB=124=2.23.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点B在第一象限内，E、F分别是OA、AB上的点，将AEF沿EF翻折，使点A恰好落在线段BC上的点D处.经过抛物线T：y=ax-14ax+49a+4（a0）顶点P的每一条直线总平分矩形OABC的周长，若点P在线段DE上，AF的长为整数，且抛物线T与线段EF有两个不同的交点，求实数a的取值范围.解：设抛物线T的顶点PxP,yP.则xP=-14a2a=7，yP=49a+4a=4a+49，经过抛物线T的顶点P的每一条直线总平分矩形OABC的周长P即为矩形OABC的中心，也是DE的中点，OA=2xP=14，OC=2yP=8a+98.OE=m，则AE=14-m=DE点P在线段EF的上方，抛物线T与线段EF有两个不同的交点，只能有抛物线开口向下（否则无交点），从而a024.（本题10分）如图，在四边形ABCD中，B=90，ADBC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD交于点G，DFEF.设AG=x，DF=y.（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当AD=11时，求AG的长度；（3）若半径为EG的E与半径为FD的F相切，则此时E的半径为 .解：（1）AE=2，AG=x，EG=x+4AGBF，GFAB=EGEA，即GF=ABEGEA=4x+42=2x+4EAG=DFG=90，AGE=FGDAGEFGDDFEA=GFGA，即y2=2x+4x，即：y=4x+4x，其中0x12.（2）由（1）知DF=y=4x+4x，GF=2x+4，DG=4x+4x2+2x+42=21+4x.AD=11，AG=x，GD=21+4x.x+21+4x=11，整理得：x-9x2+8=0易得x=1是方程的根，则x-1是多项式x-9x2+8的一个因式，从而易得：x-9x2+8=x-1x2-8x-8=0x-1=0或x2-8x-8=0，x=1或x=4+26（负数根舍去）（3）依题意，FD=FG，DGF与EAG均为等腰直角三角形.EG=2EA=22.25.（本题12分）如图1，抛物线y=14(x-m)的顶点A在x轴的正半轴，与y轴交于点B，连接AB，若tanOAB=12.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将图1中的抛物线沿对称轴向下平移n个单位长度，新抛物线的顶点为P，它与直线AB相交于M、N两点，连接PM、PN.探究：当n取何值时，MPN=90；（3）如图3，P为直线AB上一动点，经过P点的直线交