湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 4.7 相交线导学案 华东师大版 .doc

1 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 4 74 7 相交线导学案相交线导学案 华东师大华东师大 版版 目标 概览 本节我们将讨论相交线及相交线的特例垂直关系 相交线的性质等等 它对我们今后的几何 研究有很重要的作用 在本节中我们的学习目标为 垂线概念 用三角尺 量角器或身边其他材料过一点画一条直线的垂线 点到直线的距离及其度量 用一些简单的数学语言叙述某些几何图形的位置关系 同角度 内错角和同旁内角概念 在比较简单的图形中区分它们是由哪两条直线 被哪一 条直线所截而形成的 使用工具提高作图能力 思考 交流 如图是 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会的会标 它是 由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形 你能运用三角板把它画出来吗 学法 指津 把两根木板钉在一起 旋转木条 这样两根相交就是两条相交直线的形象 当转动到相交所 成的角都是 90 时 我们称这两条直线互相垂直 通过冲操作发现两条直线互相垂直的关系 并 通过作图了解在同一平面内 经过直线外或直线上一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 利用 这些形象的工具 我们还可以研究三根木条钉在一起时所形成的同位角 内错角 同旁内角 知识 导学 知识点一 重点 垂线的定义及性质 我们已经知道两条直线相交 只有一个交点 如果直线 ab cd 相交于 o 把直线 cd 绕着点 o 旋转到特殊情况 当所构成的四个角中有一个是 90 时 其他三个角也变为直角 此时直线 ab cd 互相垂直 记作 ab cd 它们的交点 o 叫做垂足 垂直是相交的特殊情况 思维升华 为什么两条相交直线相交所成的角有一个是90 时 其他角也变成90 呢 2 知识点二 难点 垂直公理 在同一平面里 经过直线外或直线上一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 如图 a dcb 直线 ab 与直线 bc 垂直 记作 ab bc 垂足为 b 我们可以发现过 a 点只有一条直线 ab 与直 线 bc 垂直 同时 我们也可以发现 连结 ab ac ad 的线段中 ab 最短 因此 我们把线段 ab 叫做点 a 到直线 bc 的垂直线段 它的长度是点 a 到直线 bc 的距离 方法规律 实践是检验真理的唯一标准 垂直公理是基本事实 是不需要证明的 它是其 它一切定理的基础 而且对它的理解也较简单 但是使用它的时候往往又是不经意间疏忽了 知识点三 重点 三线八角 的理解 两条直线相交所成的角中有对顶角 邻补角 如果在一个平面内有一条直线l与两条直线 a b 相交呢 我们称之为直线l分别截直线 a b 于点 p 点 q 两条直线被另一条直线所截可以 形成八个角 如图所示 l a b 同位角 1 与 5 都处于直线l的同侧 直线 a b 的同一方 这样位置的一对角就是同位 角 内错角 3 与 5 都处于直线l的异侧 直线 a b 的内面 这样位置的一对角就是内错角 1 2 3 4 5 6 7 8 3 同旁内角 4 与 5 都处于直线l的同侧 直线 a b 的内面 这样位置的一对角就是同旁 内角 思维升华 你在图中不能找出其他的同位角 内错角 同旁内角吗 技巧 解悟 一 考查垂线定义及相交线的应用 例 1 已知 p 是直线l外一点 则下列说法中 正确的是 a 过点 p 作直线l的垂线 垂足为 d 直线 pd 是点 p 到直线l的距离 b 过点 p 作直线l的垂线段 pd 则 pd 是点 p 到直线l的距离 c 过点 p 作直线交直线l于点 d 则线段 pd 的长是 p 到直线l的距离 d 过点 p 作l的重线段 pd 则线段 pd 的长是点 p 到直线l的距离 解析 运用点到直线l的距离的定义 注意点 p 到直线l的距离是过点 p 作直线l的垂线 垂足为 p 垂线段 pd 的长才是点到直线的距离 答案 d 例 2 如图过 a 点画直线 ab ac ad 分别与直线l相交于 b c d 其中 ac l于点 c 在 下列说法中错误的是 a 过点 a 有且只有一条直线 ac 垂直于直线l b 线段 ab ac ad 中 线段 ac 最短 根据是两点之 间线段最短 c 线段 ab ac ad 中 线段 ac 最短 根据是垂线段 最短 d 线段 ac 的长 最点 a 到直线l的距离 解析 根据经过直线上或直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 故 a 正确 b 中所说 ac 最短的根据是垂线段最短 c d 均正确 答案 b 例 3 如图 ab bc bd ac 垂足分别为 b d 图中共有 直角 它们是 a bcd 4 点 c 到 ab 所在直线的距离是线段 点到 ac 的距离是线段 线段 ab 的长表示 的距离或 的距离 解析 根据垂直定义 点到直线的距离是从这一点到这条直线的垂线 这一 点与垂足之间的垂线的长 注意思维的发散性 答案 图中有 3 个直角 它们是 abc adb bdc 点 c 到 ab 所在直线的距离为线段 cb 的长 点 b 到 ac 的距离是线段 bd 的长 线段 ab 表示点到直线 bc 的距离或 a b 两点间的距离 二 考查 三线八角 的应用 例 1 如图所示 1 与 4 是 角 1 与 3 是 角 2 与 d 是 角 3 与 d 是 角 4 与 d 是 角 4 与 b 是 角 解析 运用对顶角 邻补角 同位角 内错角 同旁内角的定义来判断 答案 1 与 4 是邻补角 1 与 3 是对顶角 2 与 d 是内错角 3 与 d 是同旁内 角 4 与 d 是同位角 4 与 b 是同位角 e 例 2 如图 a d abc 与 是同位角 abc 与 是同旁内角 b c abc 与 是同旁内角 adb 与 是内错角 abd 是 是内错角 adc 与 的内错角 能力 拓展 综合题 a b d c b de c f a 1 2 3 4 5 例 1 如图 长方体 abcd a b c d 请你至少写出五组互相垂直的线段 解析 在空间的立体图形中找互相垂直的线段 要注意空间观念 答案 线段 ab 与线段 bc 线段 ab 与线段 bb 线段 ab 与线段 cc 线段 ab 与线段 a d 线段 ab 与线段 b c 方法规律 异面垂直 即不在同一平面内的直线也有垂直现象 例 2 如图所示 a o e 在同一直线上 ob平分 aoc aob doe 90 问 cod 与 doe 之间有什么关系 试说明理由 c d 解析 垂直的应用体现在它的综合性质上 b 答案 cod 与 doe 相等 理由如下 aob doe 90 a o e doe 是 aob 的余角 aoe 180 aob boc cod doe 180 bod cod 90 cod 是 boc 的余角 又 ob 平分 aoc aob boc doe cod 等角的余角相等 名师点拨 这是一道经典例题 其变式已在本书前面也经研究 请同学们作比较解析 探究 体验 开放题 例 1 如图 在铁路 直线 l 旁有一李庄 现在在铁路线上建立火车站 为使李庄人乘车方 便 火车站应建在什么位置 请画图表示出来 解析 这是一道生活中的几何应用题 我们可用点到 直线的距离及垂线段最短的性质解决 答案 经过李庄到铁路线的垂线 其中的垂足即为火 d zb a d c b c 6 车站修建的位置 经验技巧 垂线为最短及点到直线的距离的应用无处不在 我们体育课上老师测量我们的立 定跳远的成绩等都是点到直线的距离的应用 探究题 例 2 平面上三条直线可以把平面分成几个部分 考虑几种可能的情况 如果要使答案变化成唯一 可追加什么条件 至少写出两个追加条件 如果平面上两两相交的几条直线呢 解析 根据三条直线的位置关系来讨论 此题开放性很强 根据特殊情况进行探索出一般规律 答案 四部分或六部分或七部分 如图所示 可追加 3 条直线最少 多 可把平面分成几部分 3 条平行线可把平面分成几部分 3 条共点直线可把平面分成几部分 3 条直线仅有两个交点可把平面分成几部分 3 条直线 如果有两个交点可把平面分成几部分 1 条直线把平面分成 2 部分 2 条直线把平面分成 4 部分 3 条直线把平面分成 7 部分 4 条直线把平面分成 11 部分 n 条直线两两相交把平面分成 1 部分 2 1 nn 习题 解疑 p162 练习 点 b 在直线 ac 上 点 d 在直线 ac 外 7 直线 ac 与直线 ad 相交于 a 点 d 是直线 ad 与直线 cd 的交点 也是直线 ad 与直线 bd 的 交点 又是直线 bd 与直线 cd 的交点 直线 db 直线 ac 垂足为 b 过点 d 有且只有一条直线与直线 ac 垂直 注意锐角三角形中 ab 边上的高在三角形内部 直角三角形中 ab 边上的高是三角形的一条 边 cb 钝角三角形 ab 边上的高在三角形的外部 按照垂直定义画图 注意理解 c 到线段 ab 所在直线的距离是过 c 点向线段 ab 所在直线引垂线的第一线段的长度 p165 练习 同位角有 4 对 它们是 1 与 3 2 与 4 5 与 7 6 与 8 内错角有 2 对 它 们是 2 与 7 3 与 6 同旁内角有 2 对 它们是 2 与 3 6 与 7 与 1 是同位角的是 4 与 1 是内错角的是 2 与 1 是同旁内角的是 5 p166 习题 4 7 根据垂线及垂直定义 点到直线的距离的定义 2 与 c 是直线 bc 与 de 被直线 fc 所截得的同位角 1 与 3 是直线 ab 与 fc 被直线 de 所截得的内错角 c 与 b 是直线 ab 与 fc 被直线 bc 所截得的同旁内角 同位角 1 与 5 12 与 10 内错角 2 与 8 4 与 11 同旁内角 3 与 8 3 与 11 自主 评价 基础题 在同一平面内 经过直线外或直线上一点 与已知直线垂直 8 直线外一点到这条直线的垂线段的 叫做这点到这条直线的距离 如右图 acb 90 cd ab 于点 d 则点 a 到线段 bc 的距离等于线段 的长 点 c 到 ab 的距离等于线段 的长 点 a 到点 b 的距离等于线段 的长 这里 ac ab ac cd 用 或 填空 如图 ab cd ef 相交于点 o 且 ab cd 如果 boe 2 coe 则 aof bof 如图 在 a b 1 2 中同位角有 内错角有 同旁内角有 如右图 直线ab和cd相交于点o 且 1 2 30 则 aoc a 105 b 75 c 105 或 75 d 无法确定 右图中能与 b 构成同位角的有 a 3 个b 4 个c 5 个d 6 个 图中的同旁内角有 a 1 对b 2 对c 3 对d 4 对 9 下列说法错误的是 a 1 和 2 是内错角b 1 和 4 是同位角 c 2 和 4 是内错角d 2 和 3 是同旁内角 如下图 过点 b 画出直线 ac 和 bc 的垂线 过点 c 画出直线 ab 的垂线 如图 画 aob 的角平分线 oc 在 oc 上截取 op 3cm 过点 p 作 oa ob 的垂线 垂足分别 为 e f 量出线段 pe pf 的长度 精确到 0 1cm 并比较 pe pf 的大小 如图 直线 ab cd 于点 o 射线 oe 将 aod 分成的两个角 aoe doe 的度数之比为 3 2 求 coe 的度数 自主 评价 答案点拨 10 有且只有一条直线 解析 垂直公理 长度 解析 注意是垂线段的长度叫点到直线的距离 线段与距离分属于几何与代数两大 系统 ac cd ab accd 解析 点到直线的距离是垂线段最短的性质 60 120 解析 可以计算出 coe 30 boe 60 运用对顶角 邻补角性质