双曲线的定义及其标准方程课件.ppt

双曲线及其标准方程 1 椭圆的定义 2 引入问题 复习 MF1 MF2 2a 2a F1F2 0 如图 A MF1 MF2 常数 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 常数 差的绝对值 MF2 MF1 常数 双曲线在生活中 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 1 2a F1F2 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 2a 0 双曲线定义 思考 1 若2a F1F2 则轨迹是 2 若2a F1F2 则轨迹是 说明 3 若2a 0 则轨迹是 MF1 MF2 2a 1 两条射线 2 不表示任何轨迹 3 线段F1F2的垂直平分线 如何建立适当的直角坐标系 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 对称 简洁 求曲线方程的步骤 双曲线的标准方程 1 建系 以F1 F2所在的直线为x轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2 设点 设M x y 则F1 c 0 F2 c 0 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 若建系时 焦点在y轴上呢 看前的系数 哪一个为正 则在哪一个轴上 2 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 1 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 问题 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 1 过双曲线的焦点且垂直x轴的弦的长度为 2 y2 2x2 1的焦点为 焦距是 练习巩固 3 方程 2 x2 1 y2 1表示双曲线的充要条件是 2 1 方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线 练习巩固 题型二利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1 x 3 2 y2 9外切 且与圆C2 x 3 2 y2 1内切 求动圆圆心M的轨迹方程 名师点评 利用定义法求双曲线的标准方程 首先找出两个定点 即双曲线的两个焦点 然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差 或差的绝对值 是否为常数 这样确定c和a的值 再由c2 a2 b2求b2 进而求双曲线的方程 2020 1 29 21 可编辑 课本例2 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例3 课本第54页例 已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 答 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 例2 如果方程表示双曲线 求m的取值范围 解 名师点评 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据 在应用时 一是注意条件 PF1 PF2 2a 0 2a F1F2 的使用 二是注意与三角形知识相结合 经常利用正 余弦定理 同时要注意整体运算思想的应用 跟踪训练 1 对双曲线定义的理解双曲线定义中 PF1 PF2 2a 2a F1F2 不要漏了绝对值符号 当2a F1F2 时表示两条射线 解题时 也要注意 绝对值 这一个条件 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 2 双曲线方程的求法求双曲线的标准方程包括 定位 和 定量 定位 是指除了中心在原点之外 判断焦点在哪个坐标轴上 以便使方程的右边为1时 确定方程的左边哪一项为正 哪一项为负 定量 是指确定a2 b2的值 即根据条件列出关于a2和b2的方程组 解得a2和b2的具体数值后 再按位置特征写出标准方程 易错警示双曲线定义运用中的误区 常见错误 1 利用双曲线定义 PF1 PF2 8求 PF2 时 易忽略绝对值号 而错选A 2 根据双曲线的定义可得到答案C 但由于双曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是c a 6 4 2 而 PF2 1 2 不合题意 所以应该舍去 造成错误的原因是忽略双曲线的相关性质 没有检验 PF1 PF2 10 F1F2 造成的 解析 双曲线的实轴长为8 由双曲线的定义得 PF1 PF2 8 所以 9 PF2 8 所以 PF2 1或17 因为 F1F2 12 当 PF2 1时 PF1 PF2 10 F1F2 不符合公理 两点之间线段最短 应舍去 所以 PF2 17 答案 B 失误防范 运用双曲线的定义解决相关问题