高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.3 二项式定理课件 理.ppt

第三节二项式定理 知识梳理 1 二项式定理 a b n 其中右端为 a b n的二项展开式 2 二项展开式的通项公式第k 1项为 tk 1 3 二项式系数 1 定义 二项式系数为 k 0 1 2 n 2 二项式系数的性质 特别提醒 1 二项展开式形式上的特点 1 项数为n 1 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为n 3 字母a按降幂排列 从第一项开始 次数由n逐项减小1直到零 字母b按升幂排列 从第一项起 次数由零逐项增加1直到n 2 二项式系数与展开式项的系数的异同在tk 1 an kbk中 是该项的二项式系数 与该项的系数是两个不同的概念 前者只是指 只与n和k有关 恒为正 后者还与a b有关 可正可负 3 二项展开式中 偶数项的二项式系数与奇数项的二项式系数的关系 小题快练 链接教材练一练1 选修2 3p37习题1 3a组t5 2 改编 二项式的展开式中 常数项的值是 a 240b 60c 192d 180 解析 选a 二项式展开式的通项为tr 1 令6 3r 0 得r 2 所以常数项为 2 选修2 3p37习题1 3a组t4 2 改编 二项式 2a3 3b2 10的展开式中各项系数的和为 解析 令a 1 b 1 得 2 3 10 1 答案 1 感悟考题试一试3 2015 陕西高考 二项式 x 1 n n n 的展开式中x2的系数为15 则n a 4b 5c 6d 7 解析 选c 二项式 x 1 n n n 展开式的通项公式为tr 1 令n r 2 则 15 解之得r 4 n 6 故c正确 4 2015 天津高考 在的展开式中 x2的系数为 解析 所以当r 2时 x2的系数为 答案 5 2014 全国卷 x a 10的展开式中 x7的系数为15 则a 用数字填写答案 解析 因为所以解得a 答案 6 2014 全国卷 x y x y 8的展开式中x2y7的系数为 用数字填写答案 解析 因为 x y 8的展开式的通项为tk 1 0 k 8 k n 当k 7时 当k 6时 t7 x2y6 28x2y6 所以 x y x y 8的展开式中x2y7的项为x 8xy7 y 28x2y6 20 x2y7 故系数为 20 答案 20 考向一二项展开式的应用 典例1 1 2016 商丘模拟 设复数 i是虚数单位 则 a ib ic 1 id 1 i 2 设a z 且0 a 13 若512016 a能被13整除 则a a 0b 1c 11d 12 解题导引 1 根据待求式结构特点 联系二项展开式 逆用二项式定理求解 2 将512016分解成含有13的倍数的因式的形式 规范解答 1 选d 1 x 2015 1 i2015 1 1 i 2 选d 由于51 52 1 又由于13整除52 所以只需13整除1 a 0 a 13 a z 所以a 12 规律方法 1 逆用二项式定理的关键根据所给式的特点结合二项展开式的要求 使之具备二项式定理右边的结构 然后逆用二项式定理求解 2 利用二项式定理解决整除问题的思路 1 观察除式与被除式间的关系 2 将被除式拆成二项式 3 结合二项式定理得出结论 变式训练 2016 成都模拟 487被7除的余数为a 0 a 7 则展开式中x 3的系数为 a 4320b 4320c 20d 20 解析 选b 因为487被7除的余数为a 0 a 7 所以a 6 所以展开式的通项为令6 3r 3 可得r 3 所以展开式中x 3的系数为 6 3 4320 加固训练 2016 武汉模拟 若能被7整除 则x n的值可能为 a x 4 n 3b x 4 n 4c x 5 n 4d x 6 n 5 解析 选c 当x 5 n 4时 1 x n 1 64 1 35 37 能被7整除 故选c 考向二二项式系数的性质或各项系数和 典例2 1 2015 湖北高考 已知 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为 a 212b 211c 210d 29 本题源自a版选修2 3p37a组t8 2 2015 全国卷 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32 则a 本题源自a版选修2 3p40a组t8 1 解题导引 1 利用二项式系数的性质 二项式系数之和为2n 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 2 求出 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项 从而确定a的值 规范解答 1 选d n 3 7 10 二项式系数之和为210 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 所以奇数项的二项式系数和为29 2 由已知得 1 x 4 1 4x 6x2 4x3 x4 故 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax 4ax3 x 6x3 x5 其系数之和为4a 4a 1 6 1 32 解得a 3 答案 3 母题变式 1 若本例题 2 条件 x的奇数次幂项 变为 奇数项 则a的值是 解析 由 2 解析得 a x 1 x 4的展开式中的奇数项分别为a 6a 4 x2 a 4 x4 所以其系数为a 6a 4 a 4 32 解得a 3 答案 3 2 若本例题 2 条件 x的奇数次幂项 变为 各项 32 变为 128 则实数a的值为多少 解析 由题意令x 1 得 a 1 1 1 4 128 解得a 7 易错警示 解答本例题 2 会出现以下错误 1 项的系数 与 二项式系数 混淆而致误 2 奇数次幂项 与 奇数项 混淆而致误 规律方法 1 赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式 对于a b的一切值都成立 因此 可将a b设定为一些特殊的值 在使用赋值法时 令a b等于多少时 应视具体情况而定 一般取 1 1或0 有时也取其他值 如 1 形如 ax b n ax2 bx c m a b r 的式子 求其展开式的各项系数之和 只需令x 1即可 2 形如 ax by n a b r 的式子 求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 二项展开式各项系数和 奇数项系数和与偶数项系数和的求法一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 的展开式中 1 各项系数之和为f 1 2 奇数项系数之和为a0 a2 a4 3 偶数项系数之和为a1 a3 a5 变式训练 2016 石家庄模拟 已知 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7的展开式中x4的系数是 35 则a1 a2 a3 a7 解析 因为tr 1 x7 r m r 所以 所以当x 1时 a0 a1 a2 a6 a7 0 当x 0时 a0 1 所以a1 a2 a3 a7 1 答案 1 加固训练 1 2016 长春模拟 若 x2 1 x 3 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a3 x 2 3 a11 x 2 11 则a1 a2 a11的值为 a 0b 5c 5d 255 解析 选c 令x 2得a0 5 令x 3得a0 a1 a2 a11 0 所以a1 a2 a11 a0 5 2 设 1 x n a0 a1x a2x2 a3x3 anxn 若a1 a2 a3 an 63 则展开式中系数最大的项是 a 15x2b 20 x3c 21x3d 35x3 解析 选b 在 1 x n a0 a1x a2x2 a3x3 anxn中 令x 1可得a0 a1 a2 a3 an 2n 令x 0可得a0 1 依题意得 2n 1 63 解得 n 6 所以展开式中系数最大的项为x3 20 x3 3 若 2x 3 3 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a3 x 2 3 则a0 a1 2a2 3a3 解析 令x 2得a0 1 令x 0得27 a0 2a1 4a2 8a3 因此a1 2a2 4a3 14 因为所以a3 8 所以a1 2a2 3a3 14 a3 6 所以a0 a1 2a2 3a3 1 6 5 答案 5 考向三展开式中的特定项或项的系数的确定与应用 考情快递 考题例析 命题方向1 二项展开式中的特定项或项的系数问题 典例3 2015 重庆高考 的展开式中x8的系数是 用数字作答 本题源自a版选修2 3p40a组t8 2 解题导引 展开式中x8为第3项 直接利用通项公式展开即可求出x8的系数 规范解答 由二项式定理可知所以展开式中x8的系数是 答案 命题方向2 多项式展开式中的特定项或项的系数问题 典例4 2015 全国卷 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 a 10b 20c 30d 60 解题导引 先将三项式变形为二项式 再用通项公式求解 规范解答 选c x2 x y 5 x2 x y 5 令y2的项为t3 x2 x 3 y2 其中 x2 x 3中含x5的项为所以x5y2的系数为 30 一题多解 解答本题 还有以下解法 选c 利用组合知识求解 在 x2 x y 5的5个因式中 2个取因式中x2 剩余的3个因式中1个取x 其余因式取y 故x5y2的系数为 30 技法感悟 1 求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 1 利用通项公式将tk 1项写出并化简 2 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出k 3 代回通项得所求 2 求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法 1 对于三项式问题 一般先变形化为二项式 再用通项公式求解 或用组合知识求解 2 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题 一般对某个因式用通项公式 再结合与其他因式相乘情况求解特定项 或根据因式连乘的规律 结合组合知识求解 但要注意适当地运用分类思想 以免重复或遗漏 3 对于几个多项式和的展开式中的特定项问题 只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项 再求和即可 题组通关 1 2016 洛阳模拟 的展开式中的常数项为 a 32b 34c 36d 38 解析 选d 的展开式的通项为tk 1 令12 4k 0 解得k 3 的展开式的通项为tr 1