第5章 VAR模型分析.doc

第5章 VAR模型分析51 引论 考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系。假设的时间路径受的现期值与过去值影响，的时间路径受的现期值与过去值影响： （5.1.1） （5.1.2）这里假设：（1）是平稳的；（2）是白噪声扰动，标准差分别为；（3）是不相关的。方程（5.1.1），（5.1.2）构成了一阶向量自回归(VAR)。方程（5.1.1），(5.1.2)称为结构式VAR，简记为SVAR,。这个系统反映了之间的相互反馈。如，是变化一个单位对的当期影响，是变化一个单位对的影响。注意：分别是对和的更新（或冲击）。当然，若不为零，有间接的当期影响，如，不为零，对有间接当期影响。这样的系统可以捕捉反馈影响。方程（5.1.1），（5.1.2）不是导出型 (约化型) 方程，因为，对有当期影响，且对有当期影响。但可以将这方程系统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面形式 或 （5.1.3）这是 ，前乘可得到标准形式的VAR 这里定义是向量的第i个元素，是矩阵中的i行j列元素，是向量中的第i个元素，则（5.1.3）可写为 （5.1.4） （5.1.5）方程（5.1.4），(5.1.5)称为标准型的VAR。这时误差项和是两个冲击的组合。由,可计算如下: (5.1.6) (5.1.7)由于是白噪声过程，所以， 因此，是序列无关的，也是序列无关的，且分别有零均值,常量方差。冲击的协方差矩阵为由于 （5.1.7）一般来说（5.1.7）不为零，所以是序列相关的，即两个冲击是相关的。当时（即对没有当期影响，对也没有当期影响），是序列不相关的。由于中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下 52 估计和识别 考虑下面多维自回归过程 （5.2.1）这里向量，截距向量，系数矩阵，误差向量。矩阵含有n个参数，每个都含有个参数，所以，有个参数需要估计。通常，这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化。然而，由于目标是找出这些变量之间的相关关系，并不是作短期预测。加入一些不适当的零限制会损失重要的信息。而且，解释变量之间也可能有共线性，对单个系数的t-检验对于简化模型不一定非常可靠。 由于方程（5.2.1）的右边只包含滞后变量，且误差项是序列无关的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的。 识别 为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子。由于VAR过程中的反馈，方程（5.1.1），（5.1.2）不能直接估计，原因在于相关，相关。标准估计方法要求解释变量与误差项无关。注意，在估计标准型VAR（5.1.4），（5.1.5）中，不存在这样问题。OLS能提供中两元素的估计，中4个元素的估计。而且，从两个回归中获得残差，可以得到的方差，协方差的估计。问题在于是否能重新得到由方程（5.1.1），（5.1.2）所提供的信息。换句话说，对于（5.1.4），（5.1.5）构成的VAR模型的OLS估计，原来的方程组（5.1.1），（5.1.2）是否是可识别的？如果我们比较方程组（5.1.1），（5.1.2）中参数的个数与方程组(5.1.4), (5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程（5.1.1），（5.1.2）施加一些必要的限制，否则就是不可识别的。方程(5.1.4), (5.1.5) 有9个参数需要估计，6个系数的估计和3个参数的值。而结构方程(5.1.1), (5.1.2)中包含10个参数。，。总之，结构方程（5.1.1），（5.1.2）中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程，方程（5.1.1），（5.1.2）是不足识别(underidentified)的。 识别模型的一种方法是Sims(1980)提出的在结构模型中施加“识别限制”的估计策略，即采用递归方程组型式。在Sims的方法中，根据有关的经济模型来选取VAR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数，这时结构方程变为 （5.2.2） 同样（5.1.6），（5.1.7）变为 限制意味着，对有当期影响，但的一步滞后影响。加入这个限制（也许是由于特殊的经济模型），得到了一个恰好识别系统。限制也意味着，可由下式给出 用前乘结构方程组，给出 或 （5.2.3）利用OLS估计这个方程组，就会得到这里 由于，则和，因此， 因此，我们把得到的9个估计出来的参数，代入上方9个方程中，并解出。这时可以利用、的估计和关系式，求出的估计。 限制意味着，对没有当期影响，在（5.2.3）中，都影响的当期值，而只有影响的当期值。只是对的冲击。按照这种三角形式分解残差的方法称为Choleski分解。 在n个变量的VAR中，B是nn矩阵（有n个回归残差，n个结构冲击），要有个限制加入到回归残差和结构冲击中。因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有个值等于零。 VAR模型的假设检验 1、变量个数的选择 一般来说，VAR模型中可以包含很多变量，但每加入一个变量，就要增加np个需要估计的参数，从而减少了假设检验的自由度，所以模型中变量不应包含太多变量。 模型变量的选择方法根据相关的经济理论选择一组相关变量。 2、模型滞后长度的检验 首先，用自由度允许的最大滞后长度估计VAR模型，提出最后几个滞后项的系数为0的零假设； 其次，根据零假设的约束，用同样观测序列样本估计带约束的VAR模型；再次，分别计算无约束VAR和带约束VAR模型的残差的协方差矩阵u和r，构造出检验上述零假设的似然比统计量： 式中：T估计模型所用观测值的个数； c无约束VAR模型中每个方程的参数个数； q带约束VAR模型中约束的个数。 最后，根据似然比统计量的值和分布的临界值，判断是否拒绝零假设。 3、VAR模型选择的AIC和SBC准则 将单变量模型选择的AIC和SBC准则推广到多变量，则有： AIC=Tlog|+2N SBC=Tlog|+Nlog(T)式中：|模型残差的协方差矩阵的行列式； N模型全部方程的参数总个数。 5.3 脉冲反应函数自回归有运动平均表示，向量自回归也有向量运动平均表示（VMA）。向量运动平均表示是Sims(1980)方法的一个主要特征，我们可以分析VAR中变量受冲击的时间路径。为了说明，仍然采用二变量一阶VAR为例 (5.3.1)通过迭代，可得下面表示 （5.3.2） （5.3.3）结合（5.3.2）和（5.3.3）可有 为了简化上式，我们可以定义矩阵，其中的元素为： 因此，运动平均表示可写成的形式 或 为了考察和之间的关系，运动平均表示是非常有用的。中元素给出了对的冲击效果的时间路径。四个元素是影响乘数。如，系数是的一个单位变化对的即时影响。同样，元素和是的一个单位变化对的影响。和也表示的一个单位变化对的影响。的单位脉冲的累积效果可通过对脉冲反应函数系数的求和来获得。如，n期之后，对的效应是。因此，n期之后，对的效应的累积之和是 令，得到长期乘数。因为我们假设是平稳的，所以，对所有j, k有 收敛（有限） 系数都被称为脉冲反应函数，画出脉冲反应函数的图形（横轴为i，纵轴为）直观上给出了对各种冲击的反应程度。原则上，如果知道结构方程（5.1.1）,(5.1.2)中所有系数，就能找出冲击的时间路径，做脉冲反应分析。 然而，由于被估计的VAR是不可识别的。系数和方差协方差矩阵不足以识别这个结构方程。因此，为了识别脉冲反应，对这个VAR系统必须加入一些限制。一种识别限制是利用Choleski分解，使对没有当期影响，即令。误差项可被分解成 （5.3.4） （5.3.5）对给定，和，可利用（5.3.4），（5.3.5）计算，。在按Choleski分解限制的系统中，对没有直接影响，但冲击对、有当期影响，所以这种分解对这系统产生了非对称性。由于这个原因，（5.3.4），（5.3.5）被称为变量的一个次序（ordering）。冲击直接影响和，但冲击并不影响。这时通常说是“在因果关系上先于” 。 在Choleski分解中，如果限制，而不是，情况会怎样？在实际中，研究者如何决定哪种分解时最适合的？一些情况下，要有理论支持一个变量对其它变量没有当期影响。但通常没有这种先验知识，而是由于识别的需要，对系统加上一些限制结构。次序（Ordering）的重要性取决于和的相关系数，这里。现在假设由估计的模型得到的一个值，使。在这种情况下，Ordering是不重要的。如果，则由（5.17）式，都为零。这时（5.3.4），（5.3.5）变成。如果=1，有一个冲击对两变量有当期影响。在的假设下，（5.3.4）（5.3.5）变为。若假设有。通常研究者需要检验的显著性。如在单变量模型中，可以使用正态分布检验零假设=0。若有100个观测值且，则认为显著。如果显著，通常的程序是使用特殊的Ordering来获得脉冲反应函数。这个结果与通过选取相反的Oedering获得的脉冲反应函数相比较。如果得出的结果存在很大差异，则需要对变量之间关系做进一步检验。5.5 方差分解 下面我们用结构VAR模型的向量运动平均形式（VMA）来考虑预测误差，这可以将预测误差的方差分解成不同的部分。虽然，VMA和VAR模型包含同样信息，但通常用序列来描述预测误差。我们考虑， 即 则 ，向前n步预测误差是 只考虑其中的一个序列，则有 的向前n步预测误差的方差： 随着n的增加，预测误差的方差也增加。把向前n步预测误差的方差分解成不同的部分，按照不同的冲击占的不同比例是 和 如果冲击不能解释的预测误差方差，在这种情况下，与无关，这时称是外生的。如果冲击能解释全部的预测误差的方差，这时完全是内生的。为了识别，必须对矩阵进行限制。在Choleski分解 中，解释了的所有一步预测误差方差。如果采用另一种次序（Ordering），解释了的所有一步预测误差方差。这种由于次序不同带来完全不同的效果，但在长期预测水平上，这种不同效果逐渐减弱。在实际中，分析各种预测水平下的方差分解是重要的。当n增加时，方差分解应当收敛。如果相关系数显著不为零，通常的做法是在各种不同的次序（Ordering）下求出方差分解。 脉冲反应分析和方差分解都是分析经济变量之间相互关系的有用工具。如果各扰动项之间相关性很小，在各种次序（Ordering）下会得到基本相同的脉冲反应和方差分解。当然，许多当期的经济变量有时是高度相关的，所以还需要作进一步的分析。 5.6 Granger 因果关系 Granger原因与外生性是两个不同的概念。对于两变量和来说，的外生性，是指当期值不影响当期值。而Granger原因是指的过去值对的影响，因此，Granger原因实际上测量的是的过去值是否有助于预测的未来值。 如果 则没能改进的预测性能，所以不是的Granger原因。 虽然不是的Granger原因，但是可以不是外生的。由于Granger因果关系检验是确定一个变量的滞后项是否包含在另一个变量的方程中。对于n 个变量的VAR 这里截距项的参数,= 滞后算子多项式,中的系数由表示，是白噪声扰动，可以是相关的，方差、协方差矩阵用矩阵表示。因为表示变量关于变量的滞后值的系数，所以如果多项式的所有系数等于零，则变量不是变量的Granger原因。在具有个滞后项的两变量模型中，不是的Granger原因当且仅当的系数均为零。或者说，如果没有改进的预测效果时，那么不是的Granger原因。如一个二维阶VAR,检验Granger原因的直接方法是使用标准的F检验来检验限制条件 检验一个变量是否可以加到VAR模型中, 可以用“分块外生性检验”。 Granger原因检验的多维扩展称之为“分块原因检验”。如，在三个变量，的VAR模型中，要确定一个变量(如)是否是系统中其它变量和的Granger原因，需要检验的滞后值是否是出现在或的方程中。实质上,分块外生性限制了在和的方程中的所有滞后值为零。这种跨方程的限制，通常使用似然比检验。利用，的滞后值来估计关于和的方程，并计算。去掉的滞后值后再估计关于和的方程，并计算。然后，求出似然比统计量： 这个统计量有（自由度是限制方程中限制参数的个数,因为在两个方程中，分别都去掉了的p个滞后值）分布。由于无限制的的方程或无限制的的方程包含了，的p阶滞后和一个常量，所以。57 Granger原因和货币供给变化70年代后期，人们通常认为“货币的波动反映了未来的价格水平和实际产出的相关信息”。事实上，主张实施积极的货币政策的理由是“货币供给的现期值与未来的价格水平和实际产出之间有着系统关系。”但是，有大量文献说明：这个关系在70年代后期不成立。Friedman和 Kuttner(1992)分析了货币的波动能否有助于预测产出的波动。考虑VAR方程：名义产出对数的变化依赖于本身的过去值、名义货币供给和政府支出的对数变化的过去值。 当存在的过去值时，货币供给能否解释名义产出未来值？Friedman和 Kuttner(1992)使用了货币供给的几种度量（基础货币，和各种短期利率），对不同的样本期估计了三个变量的VAR。对于1960：21979：2，检验零假设“基础货币不是的Granger原因”的F统计量值是3.68。在1%的显著水平上，货币是的Granger原因。但是在1979：31990：4期间F-统计量值仅为0.82。因此，在通常显著水平下，货币不是产出的Granger原因。直到1979：2，在1%的显著水平上，货币是名义产出的Granger原因,以后这种原因不存在了。为了更好的理解这三个变量之间的相互关系，Friedman和 Kuttner也报告了方差分解的结果。在1960：21979：2期间，解释了27%的的预报误差方差。在1979：31990：4期间，解释了10%的的预报误差方差。无疑，货币供给变化在预测名义产出的将来值上，其作用在减少。58 Blanchard-QuahBlanchard 和Quah(1989)提出一个获得结构 VAR的方法。他们的目的是重新考虑 Beveridge 和Nelson(1987)关于把实际 GNP分解成暂时的和永久的部分的分解方法。他们给出了一个宏观经济模型，使实际GNP受需求供给冲击影响。按照自然率假说，需求冲击对实际GNP没有长期影响。在供给方面，生产冲击对产出有长期影响。利用二维 VAR模型, Blanchard 和Quah说明了如何分解实际GNP并识别出需求供给冲击。看一个一般的例子。假设我们想要分解一个I(1)序列，比如 分解成暂时和持久部分。假设有第二个变量也受同样两个冲击的影响，现在假设 是平稳的。如果省略截距项，和的二维运动平均表示 (BMA)有下面形式 (5.12.1) (5.12.2)或 这里和是不相关的白噪声扰动，方差为常数。C(L)是滞后算子多项式，的系数是。为了方便，方差、协方差下面的角标被省略，并且冲击被标准化为。如果令为扰动的方差、协方差矩阵，有 为了利用Blanchard和Quah方法，至少有一个变量是非平稳的（因为I(0)变量没有持久部分）。但使用这种方法，两个变量必须用平稳形式。Blanchard 和Quah方法并没有把冲击，与，直接联系起来，而是把和看作是内生的，而，代表外生变量。在他们的例子中，是实际GNP的对数，是失业，是总需求冲击，是总供给冲击。的系数代表总需求冲击对实际GNP对数的变化的时间路径的脉冲反应。把分解成持久部分与平稳部分的关键是假设其中一个冲击对序列有暂时影响。正是这种短期和长期效应，可以由估计的VAR模型中识别出结构扰动项。例如：Blanchard和Quah假设了总需求冲击对GNP没有长期影响。如果GNP不受需求冲击的长期影响，则冲击对的累积效应一定等于零。因此，（5.12.1）中的一定满足： 由于这对任何可能的都成立，则一定有 （5.12.3）因为无法观测需求冲击和供给冲击，要从估计的VAR模型中识别出来。假定变量是平稳的，则存在VAR表示： （5.12.4）或 这时VAR的残差是扰动和的组合。 由于是的向前一步预测误差，并且是的向前一步预测误差，而和的二维运动平均表示（BMA）（5.12.1）中的向前一步预测误差是，的向前一步预测误差是 这两种表示的预测误差应是等价的，所以， （5.12.5） （5.12.6）我们得到 如果是已知的，那末由回归残差可识别出。Blanchard和Quah利用（5.12.4）、二维运动平均表示BMA和长期限制（5.12.3），给出了四个限制条件，可识别出四个系数。由VAR的残差可求出的估计值。四个限制条件如下： 限制1：由（5.12.5）和意味着的方差是 限制2：同样由（5.12.6）有 限制3： 限制4：为了使冲击对和没有长期影响（仅有暂时影响），可以推出限制条件 由这4个限制条件可得到4个方程来识别 实例：实际汇率变动和名义汇率变动的分解Enders 和L