数学与建筑学的关系 文科数学论文.doc

浅谈数学与建筑学的关系 1234102班 白云昊浅述数学与建筑学的关系 a Brief Analysis about the Relationship between Mathematics and Architecture摘要：本文通过对世界范围内多个著名建筑的简要分析，说明了这些建筑在建构过程中对数学知识-例如比例，曲线和抽象数学-的应用，体现了数学与建筑学的密不可分的关系，也将结论延伸至整个美学范围内，说明了数学在美学的发展历史中不可替代的贡献。ABSTRACT: By a brief analysis of the famous buildings all over the world, this article indicates that in the process of constructing, they used a lot of mathematical knowledge, such as the proportion of curves and abstract mathematics. it reflects the close relationship between Mathematics and Architecture, and extends the conclusion to the whole aesthetic range, indicating the irreplaceable contribution to the history of the development of the aesthetics.关键词：数学 建筑学 美KEY WORDS: Mathematics Architecture Beauty正文： 进入大学，初识建筑学的时候，我自作主张地认为，建筑学应该隶属于艺术学的范畴，从此的职业生涯，应该与数学扯不上关系了，但是在接下来的学习中，通过对大学数学的进一步了解，以及在平时建筑学习中的一点一滴体会，我深深地感受到，建筑学与数学，是深深联系并影响的，要想成为一个出色的建筑师，不具备基本的数学知识，是做不到的。 建筑形式美的法则是各个时代、民族各种类型的建筑都必须遵守的。这种法则中包含着丰富的数学知识, 例如面的比例, 黄金分割以及种种潜在的几何关系等等。人们对这些诉诸视觉的形式要素, 感到赏心悦目, 因此乐于接受和欣赏。当人们在直觉之中对形式美产生美感时, 才会由表及里进一步汲取形式美所蕴藏着的丰富的内容。从埃及金字塔谈起 数学与建筑的亲缘关系一直可追溯到古埃及时代。在尼罗河三角洲南面的埃及，错落有姿地散布着八十多座金字塔。这是奴隶制帝王一一法老的陵墓。这些金字塔大约建于公元前二千五百年左右。尽管当时的人们还没有完整的数学知识，却给后人留下了一串奇妙的数字和一个神秘的图形。 我们以最大的齐奥普斯金字塔为例，高为146.5 米, 正方形的地基边长为230米, 用230万块经过磨光的平均每块重量约2.5吨的石灰岩石叠成, 是金字塔建筑艺术中的顶峰之作, 被誉为古代七大奇迹中的奇迹。 那时的尺度单位是库比特。1库比特约为63.58厘米, 这是当时埃及国王的肘部到手指尖的长度。地球的平均半径是6375公里, 这个数字的百万分之一正好是1库比特。地基边长230米换算成以库比特为单位是362, 这个数字与一年的天数极为接近。塔高的10亿倍约等于从地球到太阳的平均距离。地基边长与高度之比的两倍正好等于3.14，这真是一个令人惊奇的数字。 圆周率的这一比值直到公元前七百年左右才被求得。前后相差近两千年。金字塔高度的平方约为21462，其每一侧面三角形的面积约为21481, 两个数字几乎相等。从金字塔的方位看，塔的四个侧面分别指向正东，正南，正西，正北。误差不超过0.5度。塔基东南角与西北角的高度误差仅2.7厘米。底面边长误差只有20厘米。这样的精确度使现代建筑也望尖莫及。不借助于数学能行吗？ 金字塔是一个十分奇特的形体，一个抽象几何形体一一正四棱锥体，这种形体似乎太简单甚至太单调了。然而，它却明确地显示为人的创造物。 自然界有球形、圆锥形、圆柱形、多面体等却未曾有过这样的正四棱锥体。这种形体方正规范而显得庄严肃穆，径纬分明而显得至高无上。这种严整的图形, 配以庞大的体积并赋以带有宗教色彩的主题, 给人造成了心理上的某种压力, 显示出法老的超人力量。因此正四棱锥形的金字塔标志着埃及在西方率先进入阶级社会成为庞大帝国统治者们的精神象征。 金字塔作为一个大型的建筑, 其艺术价值与这个正四棱锥体密切相关。面对着巨大的金字塔, 观赏者始终只看见金字塔四个面中的某一面一一统一的等腰三角形平面。这个尖顶封闭的等腰三角形平面, 不会以任何方式唤起对其背后事物的深度感, 使得具有功利目的的空间造型完全退到了次要位置, 而且给人以稳定和坚固的感觉, 显得庄严和崇高。可以说, 古埃及人的建筑理想在金字塔这个墓穴的形状上得到了最纯粹的体现。数、数比与建筑数与数比在数学上一般未必具有审美价值, 一旦把它们恰当地渗入艺术品之中, 能使艺术品的美得到升华。比如“九” 这个数, 早在古希腊就被赋予丰富的属性, 缅怀一种“崇高” 的情感。中国的天坛中的圆丘, 从某种角度看, 可以说是数字“ 九” 的奇妙堆砌。圆丘的上层中央是一块圆形石板, 名为太极石, 围绕这块石块镶嵌着九块扇形石板, 其外一圈圈环砌, 共九圈。从中心向外, 里外圈石板数相差九块。上下分三层, ,朴间一层的第一圈, 较上层的最外圈（第九圈）多出九块石板, 其余各圈之差亦为九块, 也砌九圈。下层亦然。这种数字组合, 象征天有九重的说法, 故每层石板数都是九的倍数。其它还有许多九的倍数, 如石栏杆的条数,每个台阶的级数等等。揭示这种建筑中所蕴含的数字“九” 的神秘, 颇具美学价值。我国著名作家秦牧曾在抒情散文天坛幻想录中对“九夕”作了详细阐述, 从天有九重, 想到地有九州, 佛教有九喻, 诗歌有九章, 九歌，得出结论：数字“九” 原是先民用来作为事物极致的形容词。数比对于建筑形体的美有着不可忽视的作用。建筑物的各部分之间, 如高度与宽度、宽度与长度之间, 若能构成一种适当的比例, 则能使各部分之间呈现出一种对称、和谐。对于大型的建筑群体, 数比关系的潜在作用尤为突出。例如, 中国的故宫的美正是体现在对数比关系的合理运用上。它的建筑结构是以展现严肃、方正、井井有条的数字规则为基准的。这种建筑群, 就单个建筑而论虽显低矮、平淡, 但就整体来看则结构方正、透巡交错、气势雄浑, 形成对称中仍有变化, 多样中保持统一的风貌。人们公认的一种美的数比当推“ 黄金分割”。黄金分割显示出了事物的匀称美, 是建筑结构美的一个形式要素。埃及的金字塔, 印度的秦姬陵, 法国的巴黎圣母院和中国的承德避署山庄烟雨楼等都与黄金分割有着不解之缘。以希腊建筑家菲狄亚斯设计的巴特农神庙为例, 整个庙宇, 玉阶巨柱, 画栋镂檐, 蔚为壮观。它是世界上唯一被誉为至高无上而没有争议的古建筑, 是希腊众多庙宇建筑中最伟大最精巧的杰作。那无与伦比的数学整数式柱列, 那完美超群的黄金分割式立面, 对欧洲乃至全世界的建筑都产生过巨大的影响。从神庙可以看出陶立克和爱奥尼两种柱式系列都明显地体现出了优美的儿何规则, 确是永不凋谢的艺术精品。由这些柱列所构成的比例极端匀称的巴特农神庙已成为世界性的研究课题。一些专家认为, 神庙之所以如此壮丽和谐, 是因为它的高、宽、柱间距等都符合黄金分割律所画出的特定的几何图形, 而由这些特定的几何图形建造出来的建筑总是美的。那巍峨屹立的大理石柱廊, 不仅以黄金比分割了整个庙宇, 而且使柱廊高与整个神殿高之比也为黄金数使神庙上下、前后比例合度、浑然一体。 今天, 建筑设计师仍有意识地运用黄金分剖等比例, 创造出一个个方正而不呆板, 规则而富于变化的新颖建筑。例如, 加拿大的多伦多电视塔, 高达533.3米, 犹似一柄长剑直刺蓝天, 令人叹为观止。为什么这座目前世界上最高的建筑丝毫不给人以平直单调之感觉？原来是建筑师在335米到365米的高度上巧妙地设计安装了一个外形似轮胎的筒状七层建筑。这个建筑正好在整个塔高的黄金分割点上, 使美的比例和美的圆环面溶为一体, 甚为壮现。圆锥曲线与建筑 圆锥曲线是用一个不过圆锥面顶点的平面截这个圆锥面所得到的曲线, 一般有圆、椭圆、双曲线和抛物线之分。圆锥曲线的表现性就存在于其本身的结构之中。直接分析这些曲线本身的特有结构, 有助于了解审美主体在欣赏建筑美时所造成的不同审美感受。 圆之所以被认为是平面图形中最美的, 是因为圆具有完全转动的对称性, 显示出一种绝对的对称与和谐, 使整体与部分显得十分协调。这种过于强的对称性使圆形具有一种不变的曲率, 而这种不变的曲率又由圆形仅有的一种结构条件所决定, 即“ 圆形轨道上的所有点离中心点的距离相等” 。显然, 这种图形使我们感到完美无缺、稳定凝重。例如, 北京的天坛之所以成为宗教建筑中一枝独特的奇葩, 就是因为恰当地运用圆形来体现人们对天象季节关系的认识和伦理观念。它是古代人“ 天圆地方” 宇宙观的直接反映, 是人们盼望“ 风调雨顺、国泰民安” 的一种精神寄托。进入天坛, 仿佛来到了一个圆的世界。天坛中的主要建筑，圆丘、皇弯宇和析年殿, 均为圆形平面。祈年殿与圆丘间的隔墙为一半圆, 甚至连内外围墙的北面也建成圆孤状。祈年殿和皇弯宇, 都是圆顶殿宇。特别是祈年殿是一个圆形的殿,不仅外部的台基圆、平面圆, 而且内部的构件和装饰彩绘也都是圆形的。殿顶还有圆球一只, 馏满黄金。可见, 圆形在天坛主要建筑的构图中占有主导地位, 是整个建筑群和谐统一的重要因素。这种圆形的平面和立面空间的构图布局, 使精神物质化为一体而颇切合主题,使建筑风貌别具一格而令人美不胜收。 与圆形相比较, 椭圆、双曲线和抛物线的曲率就有变化, 而这种变化又是由椭圆、双曲线和抛物线的结构条件所决定的。如椭圆的结构条件是：椭圆形轨道上的点到两个定点（焦点）的距离之和为定长。这就是说, 椭圆是两种结构经过互相商量妥协之后的产物。因此,从曲线的柔和性角度看, 椭圆形避免了圆形的僵硬呆板, 显得飘拂轻盈、婀娜多姿。 观看过由米开朗基罗设计的圣彼得大教堂的人, 无不为这座把庞大的体积与自由上升的运动微妙地结合所折服。通过分析, 这种表现效果的产生依赖于椭圆形所具有的固有特征。如构成圆顶外围的两个组成部分是从同一个圆形中截取下来的, 因此, 它们都具有圆形曲线所特有的稳固性。但是, 这两部分曲线又是从较大的圆形中截取的, 使得圆心位置A、B偏离。这样的两个部分连接在一起就不会形成一个半圆。在交接处出现的一个尖点S, 在哥特式建筑中是任其暴露的, 而米开朗基罗设计的这一拱顶, 却是隐蔽的, 它被一层顶棚所遮盖。这样一来, 不但丰富了外部的儿何结构层次, 而且使左右两部分曲线看上去好像连在一起似的, 但又不象同一个半圆那样显得僵硬。由于左右两部分的连结体现了两种不同曲率之间的合解而具有一种椭圆性质, 所以显得特别柔和优美。但又不完全具有椭圆的特征而仍透露出了圆形曲线所将有的稳固性。整个拱顶也由于突破了圆形的封闭性而给人以向上伸展的运动感。 双曲线虽然也是由两种结构交织而成的产物, 但是具有与椭圆相距甚远的特性。从双曲线的结构条件“双曲线轨迹上的点到两个定点的距离之差为定长”可知, 这种曲线能向着四方无限伸展。因此, 它特别适合于高速公路的建筑, 随着公路向远方的延伸, 曲线的曲率变化由大渐小并趋向于零。其中最出色的例子是那些立体交通枢纽, 几乎每一个都具有真正的美学价值。它是建筑师们恰到好处地运用各种曲线, 有意识地设计出来的壮丽建构。抽象数学与建筑 抽象数学是相对于古典数学而言的, 它是以向量、矩阵等代表数来研究数的运算规律和性质的学科。抽象数学的分支众多, 如群论、拓扑学等等。 建筑中的装饰艺术的美与数学中的群论联系密切。即便是在遥远的古代, 虽然还没有数学中的“群” 的观念, 但对称性以及对称花样已散见于各民族的装饰艺术之中。例如, 在1924年由数学家波尔亚证明的平面上共有十七种对称图样之前, 西班牙的阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地绘制出了这十七种不同的图样。这一例子说明了数学与建筑有着一种微妙的渊返关系, 不仅数学增添了建筑的美, 而且建筑也增添了数学的美。 拓扑学是研究拓扑变换（一对一的连续变换）下图形的不变性和不变量的学科。素描抽象艺术的建筑与拓扑学也是不无关系的。近年来, 建筑界有一种追求“ 应物象形” 的趋势,这是一种雷同于文艺复兴时期富有人情味的艺术风格。例如, 美国田纳西州的吉它形音乐博物馆, 纽约航空港展翅欲飞的鸟形候机楼, 澳大利亚悉尼港的蚌壳式歌剧院等都是别有风味的象形建筑。这类建筑因其结构上的复杂性而增加了技术上的困难性。显然。在这类建筑中数学功能的显示除了繁琐复杂价数学计算外, 运用拓扑变换也是一个十分重要的手段。建筑师只有在拓扑变换这个内在的心理意识指挥下, 才有利于对象形模式作出宏观控制, 达到形似和神似的有机结合的审美效果。“ 人类是按照美的规律改造世界的” 。尽管不同时期的人们对审美标准有所不同, 但对美与数学的密切关系却是公认的。人们认为探求比例的和谐, 形状的雅致与人们欣赏美、追求美的活动始终紧密相联, 至于一些历史遗留的数学比例之谜更使人难解其妙。前些年, 考古学家在玻利