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三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明【摘要】本文通过分析一个悖论的产生原因，叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识；然后由旋度的定义出发，给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。【关键词】坐标系 单位矢量 悖论 旋度表达式一、对三个常用坐标系的认识题目：将位于球坐标下的P点处的矢量，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下悖论： 请在分析产生此悖论原因的基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。1、悖论的产生：在直角坐标系下的表达式为：所以为点处的矢量。然后再将在球坐标下表出所以，此时的是点处的矢量此时，即在点处与大小相等，方向相同。产生悖论的原因：将在球坐标系中的最初的矢量经过球坐标表出变换为直角坐标表出，再变换为球坐标表出这一变换过程之后，P点在球坐标系下的位置已经改变，由此产生了；但是，点处的已经不等于P点处的，因为它们的方向不相同。2、对三个常用坐标系下单位矢量的认识 2.1、直角坐标系下的单位矢量在直角坐标系中，三个单位坐标矢量在确定了直角坐标系的前提下是常矢量，不随坐标内的点的变换而变化。因此，一般需判断一矢量是否为常矢量时，常将其用直角坐标系的单位矢量表出，由此进行判断。2.2、柱坐标系中的单位矢量如果确定一个圆柱坐标，其单位矢量是常矢量，大小、方向确定；而单位矢量则不是常矢量。由知：是随着的变化而变化的。2.3、球坐标系中的单位坐标如果确定了一个球坐标系，其单位矢量都不是常矢量。由知：随的变化而变化，随的变化而变化。因此，在取球坐标上某些点时，有可能使，如本题中的点。2.3、另一悖论。在球坐标系下的点处的矢量，经过球坐标表出变换为直角坐标表出，再变化为球坐标表出这一变换过程，可以得到。证明思想与前面的证明相同。二、矢量旋度表达式的推演与证明1、 题目直接从旋度的定义出发，给出符合逻辑的矢量旋度表达式的推演新证明方法和完整过程。2、 推演与证明建立直角坐标系，设为区域上的类函数由环量密度的定义及Stokes公式的向量形式：可知：利用积分中值定理可知由于在M点连续，从而我们可以得到环量密度的计算公式： （1）或 （2）由（1）式可见其中为向量与的夹角，因而当，即取与
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