微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解.doc

第9章习题9-11 判定下列级数的收敛性：(1) （a0）； (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) 解：（1）该级数为等比级数，公比为,且,故当,即时，级数收敛，当即时，级数发散. （2） 发散.（3）是调和级数去掉前3项得到的级数，而调和级数发散，故原级数发散.（4）而,是公比分别为的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知收敛，即原级数收敛.（5）于是 故,所以级数发散. （6） 不存在，从而级数发散.（7） 级数发散.（8） ，故级数发散.2 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）都收敛，且其和分别为1和，则收敛，且其和为1+=.（2） 故级数收敛，且其和为.（3）,而，故级数发散.（4）,而,故不存在，所以级数发散.3 设 (Un0)加括号后收敛，证明亦收敛证：设加括号后级数收敛，其和为S.考虑原级数的部分和，并注意到，故存在,使又显然对一切成立，于是，是单调递增且有上界的数列，因此，极限存在，即原级数亦收敛. 习题9-21 判定下列正项级数的收敛性：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ；(5) (a0); (6) (a, b0);(7) (a0); (8) ；(9) ； (10) ;(11) ; (12) ；(13) ； (14) ;(15) ; (16) 解：（1）因为而收敛，由比较判别法知级数收敛. （2）因为，故原级数发散. （3）因为，而发散，由比较判别法知，级数发散.（4）因为,而是收敛的级数,由比较判别法知,级数收敛.（5）因为 而当时，收敛，故收敛; 当时，= 发散，故发散; 当时，故发散;综上所述，当时，级数发散，当时，收敛. （6）因为而当时, 收敛，故收敛; 当时，发散，故而由, ,故也发散; 当时，故发散;综上所述知，当时，级数发散;当b1时，级数收敛. （7）因为 而发散，故级数发散. （8）因为而收敛，故级数收敛.（9）因为由达朗贝尔比值判别法知，级数发散.（10）因为，由达朗贝尔比值判别法知，级数发散. （11）因为 ,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为，由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.（13）因为由 知由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.（14）因为，由柯西根值判别法知级数收敛.（15）因为而是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛. （16）因为而与（12）题类似地可证级数收敛，由比较判别法知级数收敛.2 试在(0，+)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ; (2) 解：（1）因为由达朗贝尔比值判别法知，当时，原级数发散;当时，原级数收敛;而当时，原级数变为调，它是发散的.综上所述，当时，级数收敛. （2）因为,由达朗贝尔比值判别法知，当即时，原级数发散;当即时，原级收敛.而当即时，原级数变为，而由知发散，综上所述，当时，级数收敛.习题9-31 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ; (2) ;(3) ; () ;(5) ； (6) ;(7) 解：（1）这是一个交错级数, , 由莱布尼茨判别法知.又，由,及发散，知级数发散，所以级数条件收敛.（2）因为,故 而收敛，故亦收敛，由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.（3）因为而级数收敛，由比较判别法知收敛，因此，级数绝对收敛.（4）因为而收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛，从而级数绝对收敛. （5）因为,而级数收敛的等比级数;由比值判别法，易知级数收敛，因而收敛，由比较判别法知级数收敛，所以原级数绝对收敛. （6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因发散，故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛. （7）因为由比值判别法知收敛()，从而由比较判别法知收敛，所以级数，绝对收敛. 2 讨论级数的收敛性(p0)解：当时，由于收敛，故级数绝对收敛.当时，由于 ,由莱布尼茨判别法知交错级数收敛，然而，当时，发散，故此时，级数条件收敛. 综上所述，当时，原级数条件收敛;当p1时，原级数绝对收敛.3 设级数及都收敛，证明级数及也都收敛证：因为 而由已知及都收敛，故收敛，从而收敛，由正项级数的比较判别法知也收敛，从而级数绝对收敛.又由及,以及收敛，利用数项级数的基本性质知，收剑，亦即收敛.习题9-41 指出下列幂级数的收敛区间：(1) (0!=1)； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因为，所以收敛半径，幂级数的收敛区间为.（2）因为，所以收敛半径.当x=e时，级数，此时，因为是单调递增数列，且1,从而，于是级数当x=e时，原级数发散. 类似地，可证当x=-e时，原级数也发散(可证),综上所述，级数的收敛区间为(-e,e).（3）因为,所以收敛半径为r=2.当时，级数是收敛的p一级数（p=21）;当x=-2时，级数是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数的收敛区间为-2,2.（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令，则.当时，即时，原级数绝对收敛.当时，即时，级数发散，从而发散，当时，级数变为;当时，级数变为;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.综上所述，级数的收敛区间为-1,1.（5）此级数为（x+2）的幂级数.因为.所以收敛半径，即时，也即时级数绝对收敛.当即或时，原级数发散.当时，级数变为是收敛的交错级数，当x=0时，级数变为调和级数,它是发散的.综上所述，原级数的收敛区间为-4,0).（6）此级数（x-1）的幂级数故收敛半径.于是当即时，原级数绝对收敛. 当即或时，原级数发散. 当时，原级数变为是调和级数，发散. 当时，原级数变为，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为.2 求下列幂级数的和函数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r=1.设,则 又当x=1时，原级数收敛，且在x=1处连续. （2）所给级数的收敛半经r=1，设,当时，有 于是又当时，原级数发散.故 （3）可求所给级数的收敛半径为1. 令 令,则 所以;所以且.当时，级数为和,它们都收敛.且显然有.故.（4）可求得所给级数的收敛半径为r=1且时，级数发散，设,则于是,即.所以 3 求下列级数的和：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）考察幂级数，可求得其收敛半径 ，且当时，级数的通项，因而，故当时，级数发散，故幂级数的收敛区间为（-1，1）.设，则令,则.再令,则.故，从而有.于是 取，则.（2）考察幂级数，可求得收敛半径r=1，设令,则.即 .于是 ，从而取则 （3）考察幂级数，可求得其级数半经为r=1,因为 令，则.所以,于是 取，得. （4）考察幂级数，可求得其收敛半径r=1. 设 则.又设则.从而,取，则习题9-51 将下列函数展开成x的幂级数：(1) ; (2) ； (3) ; (4) ； (5)解：（1） （2） （3） （4） （5）