陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例1典型例题素材 北师大版必修5.doc

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例1典型例题素材 北师大版必修51、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度解：如图所示，a、b两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到c点时，测得bco =，aco =，bca =bcoaco =由题意，知bac =，abc =在abc中，由正弦定理，得：=，即有ac = =6在直角三角形aoc中，有：oc = accos= (6)= 9设步行速度为x米/分，则x = 34.7即此人步行的速度为4.7米/分2、某海轮以30海里/小时的速度航行，在a点测得海面上油井p在南偏东，向北航行40分钟后到达b点，测得油井p在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达c点，求p、c间的距离解：如图，在abp中，ab = 30= 20，apb =，bap =，由正弦定理，得：=，即=，解得bp =在bpc中，bc = 30= 40，由已知pbc =，pc = (海里)所以p、c间的距离为海里3、已知的周长为，且求边的长；若的面积为，求角的度数解：由题意及正弦定理，得，两式相减，得由的面积，得，由余弦定理，得，所以4.某人在m汽车站的北偏西20的方向上的a处，观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶。公路的走向是m站的北偏东40。开始时，汽车到a的距离为31千米，汽车前进20千米后，到a的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达m汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达b处。在abc中，ac=31，bc=20，ab=21，由余弦定理得cosc=,则sinc =1- cosc =, sinc =,所以 sinmac = sin（120-c）= sin120cosc - cos120sinc =在mac中，由正弦定理得 mc =35 从而有mb= mc-bc=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达m汽车站。5.在某点b处测得建筑物ae的顶端a的仰角为，沿be方向前进30m，至点c处测得顶端a的仰角为2，再继续前进10m至d点，测得顶端a的仰角为4，求的大小和建筑物ae的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在acd中， ac=bc=30， ad=dc=10， adc =180-4， = 。因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30=15， 在rtade中，ae=adsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设de= x，ae=h在 rtace中,(10+ x) + h=30在 rtade中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 rtace中,tan2= 2=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为ae=8，由题意，得bac=， cad=2，ac = bc =30m , ad = cd =10m在rtace中，sin2= 在rtade中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，ae=adsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m6.某巡逻艇在a处发现北偏东45相距9海里的c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿ab方向经过x小时后在b处追上走私船，则cb=10x, ab=14x,ac=9,acb=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以bc = 10x =15,ab =14x =21,又因为sinbac =bac =38,或bac =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.7.我舰在敌岛a南偏西相距12海里的b处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）解：如图，在abc中由余弦定理得：bc=ac+ ab-2abac cosbac= 20+ 12-21220 (- )=784bc=28我