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第29卷第8期大 学 物 理Vol 29 No 8 2010年8月COLLEGE PHYSICSAug 2010 收稿日期 2009 12 21 基金项目 安徽省教学改革示范专业和教育部高等学校特色专业建设点项目资助 作者简介 倪致祥 1955 男 上海市人 阜阳师范学院物理与电子科学学院教授 主要研究方向为理论物理 近代物理学中重大发现的再探索 连载 近代物理学中重大发现的再探索 连载 巴耳末公式的再探索 倪致祥 阜阳师范学院 物理与电子科学学院 安徽 阜阳 236041 摘要 在科学方法论的指引下 通过数据分析重新得到了氢原子光谱的巴耳末公式 所经历的探究过程为大学生创新能 力的培养提供了典型的案例 关键词 光谱线 再探索 巴耳末公式 中图分类号 O 433 O 56213 文献标识码 A 文章编号 100020712 2010 0820061205 1 问题的背景 很久以前 人们就发现炽热的固体 如灯丝 焦 碳等会发光 所发出的光经过色散系统 如棱镜 光 栅等后 被分解为不同颜色的单色光 这些单色光按 波长 或频率 的大小依次排列 所形成的图案称为 光谱 后来 又发现炽热的液体 如钢水等也会产生光 谱 然而 加热稀薄的气体或金属蒸气时 所得到光 谱中只含有一些不连续的亮线 人们把这种光谱称 为明线光谱 图1 1 明线光谱中的亮线叫做谱线 不同谱线对应于不同波长的光 为了便于区分 把原 先含有各种色光的光谱叫做连续光谱 图1 典型光谱图 上图为连续光谱 下图为明线光谱 在固体或者液体中 原子处于凝聚状态 而在金 属蒸气中 原子处于游离状态 因此从产生的条件分 析 可以推断出明线光谱是由游离原子发射的 所以 也叫原子光谱 原子光谱提供了原子内部的信息 是 我们了解原子结构的一个窗口 在一般情况下 光谱 中同时包含明线光谱和连续光谱 进一步的观察表明 不同元素所产生的明线光 谱互不相同 每种原子都有其独特的光谱 犹如人的 指纹 一样 因此 人们把明线光谱的谱线又称为 相应原子的特征谱线 利用原子的特征谱线可以鉴 别物质的组成成分 这种确定物质组成成分的方法 称为光谱分析 太阳中含有氢和氦等元素 就是通过 对太阳光谱的分析知道的 原子光谱的重要应用引起了物理学家的高度重 视 人们急切地想知道这些谱线的位置和强度分布 有没有一定的规律 有什么样的规律 2 从最简单的原子开始研究 不同的原子有不同的光谱结构 探究原子光谱 的规律 需要找一个突破口 俗话说 吃柿子捡软的 捏 在可以选择的时候 科学家总是在最薄弱的地方 下手 氢原子是最简单的原子 从氢原子光谱入手 便于找出揭开原子光谱规律的线索 1853年 瑞典科学家埃格斯特朗 A J Ang2 strom 1825 1898年 发现氢原子光谱在可见光区 有4条谱线 它们的波长和强度如表1所示 2 表1 氢原子光谱的实验结果 谱线颜色波长 强度 H 红 6 562110最强 H 深绿 4 860174次强 H 青 4 340110次弱 H 紫 4 101120最弱 62 大 学 物 理 第29卷 由上表可以看出 这4条谱线的间隔和强度都 向短波方向递减 但这仅仅是定性的结果 物理学是 高度定量化的实验科学 3 我们需要的是定量 的规律 定量地说 氢原子谱线的波长不连续 可以用一 个离散的函数 即数列来描述 这些谱线是数列中的 某些项 我们的问题是找出这个数列的一般形式 并 指出这4条谱线的波长 在数列中的位置 即序号 n 用数学语言来描述 就是要求出上述谱线数据所 满足的数列 n n 表1中所列出的光谱线数据是光谱线规律的表 现形式 如何才能从这4个波长的数据中发现所蕴 涵的规律呢 这就要在分析的基础上进行去伪存 真 去粗取精 由此及彼 由表及里的思考 下面我们 来分析影响波长数据的各种因素 从中寻找决定规 律的关键因素 波长是个长度 描述长度总要有一个单位 同一 物体的长度在不同的单位下数值不同 因此单位制 是影响波长数值的一个因素 长度是测量出来的 任 何测量不可避免地会出现误差 显然误差也是影响 波长数值的一个因素 此外 不同的谱线对应不同的 波长 谱线的序号同样是影响波长数值的因素 在单位制 测量误差和谱线的序号等因素中 容 易想到谱线的序号是决定谱线波长的主要因素 而 单位制和测量误差都是次要因素 如果能够把这两 个次要因素的影响去掉 光谱线的规律就容易显现 出来 首先设法去掉单位制这个次要因素的影响 描 述长度离不开数值和单位 长度的量度不能没有单 位 唯一的方法是选取一个适当的单位 使之对数值 结果的影响减小 物理学中常常用与现象有关的特 征量作为单位 来减小或者消除单位制的影响 这种 单位称为自然单位 在我们的问题中一共有4个波 长 无法确定哪一个为特征量最好 这时可以逐一试 探 由此得到表2 表2 自然单位下的氢原子光谱 谱线名称以nm为单位以 为单位以 为单位以 为单位以 为单位 H 656121011600 04411511 97011350 0211 H 486107411185 19911119 960101740 729 3 H 434101011058 251101892 888 701661 388 9 H 4101120101944 955 201843 739 801624 982 9 下一个任务是消除测量误差的影响 由于只知道测量值而不知道真值 也就无法计算绝对误差和相对误 差 但是在上面的表中 我们能够看出有些数是由一个比较简单的有理数和小偏差组成的 如表3所示 表3 氢原子光谱数据的数值分析 谱线名称 以 为单位 以 为单位 以 为单位 以 为单位 H 116 01000 0441135 01000 0211 H 11185 2 01000 0011112 01000 0401 H 1 H 1 按照当时的实验条件 实验误差不会超过 0 000 1 因此表3中的小偏差都在实验误差的范围 之内 而按照牛顿的观点 自然喜欢简单性 4 因此 除去小偏差之后的简单的有理数很可能是真实规律 的体现 而小偏差反映了误差 应该去掉 由于原始 数据只有4个 因此在上表中我们只要取4个最简 单的独立的有理数数据 结果如表4所示 表4 除去小偏差后的氢原子光谱数据 谱线名称以 为单位 以 为单位 以 为单位 以 为单位 H 116 8 51135 27 20 H 1112 28 25 H H 1 第8期 倪致祥 近代物理学中重大发现的再探索 连载 63 表4中的数据分布在不同的单位中 不便于进 一步处理 可以把这些数据的单位统一化 考虑到 8 5 27 20 32 27 32 27 28 25 200 189 立刻得到以 为单位时 除去小偏差后各谱线波长 的数值表 表5 表5 除去小偏差后以 为单位的氢原子光谱数据 谱线名称波长以 为单位位的数值 H 8 5 H 32 27 H 200 189 H 1 现在 我们已经成功地消除了单位制与误差的影 响 简化了波长数值的表示形式 下一步工作就是确 定波长与序号n之间的关系 由于4条谱线是相继 的 应该对应波长数列中相邻的4项 究竟是哪4项 满足什么公式 还需要对所得结果进一步分析 表5中的数值都是有理数 其分子分母都是自 然数 可以进行因子分解 分解后看到前3个分子中 都有公因子2 3 可以提取出来 以便显现波长随着 序号的变化 而分母中两项有公因子3 3 我们猜想 这也是第一项分母的一个因子 也提取出来 得到更 简单的结果 见表6 表6 提取公因子后的氢原子光谱数据1 谱线名称 波长以 为单位的数值 提取公 因子后 考虑相 继性后 H 23 5 27 527 5 H 25 33 4 124 6 H 23 52 33 7 25 725 7 上表中的最后1列是考虑到谱线的前3个波长 对应于数列中的相继3项 对提取公因子后的结果 进行观察 结果提示我们这3条谱线分别对应于数 列中的第5 6 7项 于是 我们可以假设以 为单位时 波长满足 一般规律 n 8 27 f n n 1 其中函数f n 满足条件 f 5 27 f 6 24 f 7 25 2 上面问题中的待定函数f n 有无数种可能的 选择 由于需要满足3个条件 最简单的是取二次多 项式 f n An 2 B n C 3 代入条件 2 后可以解出f n 2 n 2 25n 102 即 以 为单位时 波长为 n 8 27 2n 2 25n 102 n 4 这个结果是否正确 谁说了都不算 实践是检验 真理的唯一标准 我们可以利用谱线H 的波长 来进行检验 由相继性可知波长 对应的序号为n 8 代入公式 4 后 得到 8 10 9 1 由于以 自身为单位时 谱线H 的波长 1 所以上面的 结果不正确 问题出在哪儿呢 回顾整个探索过程 发现理 由最不充分的一环是表6中分母公因子的提取 为 什么一定是27 而不是9或者3呢 现在我们取9 为分母公因子来进行尝试 得到表7 表7 提取公因子后的氢原子光谱数据2 谱级名称 波长 以 为单位的数值 提取公 因子后 考虑相 继性后 H 23 5 32 5 32 5 H 25 33 4 3 42 12 H 23 52 33 7 52 21 52 21 提取公因子后的结果提示我们这3条谱线分别 对应于数列中的第3 4 5项 于是 我们可以假设以 单位时 波长满足一般规律 n 8 9 n 2 f n 5 其中 f 3 5 f 4 12 f 5 21 6 同样地 取二次多项式 3 为待定函数 可以解 出f n n 2 4 即以 为单位时 波长为 n 8 9 n 2 n 2 4 7 这个结果是否正确 可以用谱线H 的波长来进 行检验 由相继性可知与 对应的序号为n 6 代 入公式 7 后 得 6 1 这表明修改后得到的结 果式 7 是正确的 现在恢复原单位 得到 n n 2 n 2 4b n 3 8 这就是著名的巴耳末 瑞士数学家 J J Balmer 1825 1898年 公式 上述公式中的基数b 可以通过公式计算与实 验测量的比较得到 如表8 64 大 学 物 理 第29卷 表8 氢原子光谱线波长公式计算与实验测量的比较 谱线 名称 实验值 nm公式值基数b 平均基 数b 理论值误差 H 65612109b 5364156136415596561206 01004 H 486107416b 12364155636415594861079 01005 H 434101025b 21364156836415594331999 01011 H 410112036b 32364155136415594101129 01009 在上表中的理论值是由平均基数b 364 559 nm代 入公式 8 之后求得的 理论计算与实验结果的最 大相对误差约为1 400 00 到此 物理学家的探究工作还没有结束 由已知 的实验数据归纳出一个公式 再凭这些数据来证明 公式的正确性显然不够 一个科学规律的确立还需 要经过更严格的检验 科学上最有说服力的证明是 理论预言 按照巴耳末公式 应该还有n 7和n 8 等谱线 它们的波长分别为 396 998 nm 388 896 nm 在此期间 哈更斯和沃格尔成功地拍摄到了恒 星的光谱 发现氢原子光谱可以从可见光区域扩展 到紫外区 并在紫外区中的确发现了公式 8 中所 预言的这些谱线 这才最终肯定了巴耳末公式的科 学性 后来 人们把满足上述公式的谱线集合称为氢 原子光谱的巴耳末系 3 结果的推广 进一步的实验表明 在紫外区中除了巴耳末系 外 还有别的谱线 这就产生了一个新的问题 氢原 子光谱线的一般规律是什么 众所周知 个性中包含着共性 对于整个氢原子 光谱来说 巴耳末公式只是一个特例 其中蕴涵着更 普遍的规律 然而公式 8 是从实验数据分析中得 到的 没有现成的理论可以用来演绎 现在仅仅发现 一个这样的经验公式 也无法进行归纳 在信息不充 分的情况下进行科学探索 单纯依靠抽象的逻辑思 维 很难取得突破 这时科学家往往依靠灵活开放的 形象思维 摆脱逻辑形式的限制 产生各种奇思妙 想 来推测可能的规律性 从形式上看 以公式 8 为特例的波长表达式 有无穷多个 例如 n n k n k 4b n kn 2 n 2 4b n n 2 n 2 kb n n 2 k n 2 4b 9 要从无数种可能的推广形式中猜出一个恰好符 合实际的规律 在一般人的眼里简直是大海捞针 可 是在科学家的眼里 符合实际的规律必然有其与众 不同的地方 这个独特之处就是美 5 借助于对科 学美的直觉欣赏 人们已经发现了许多科学规律 在 物理学中 美通常意味着简洁 对称与和谐 为了凸 显出所蕴藏的普遍规律 我们需要把巴耳末公式改 造为更加简单并且对称的形式 考虑到巴耳末公式中分子分母都包含变量n 2 可以约化为 n 1 1 4 n 2b 10 上式又可以简化为 1 4 b 1 4 1 n 2 R 1 4 1 n 2 n 2 11 其中 为单位长度内所包含波长的个数 即波数 而 R 4 b 1 096 775 8 10 7m 1 称为里德伯 瑞典 J R Rydberg 1854 1919年 常量 将式 11 写成比较对称的形式 R 1 2 2 1 n 2 n 2 12 容易看出 式 12 是下面一般形式的一个特例 R 1 m 2 1 n 2 n m 13 当公式 13 中的参数m 2时 就回到了巴耳 末公式 我们要问 自然数2凭什么特殊 为什么m 不能等于其他的自然数 例如1或者3呢 也可以 把这些问题反过来提 如果m等于1或者3时会出 现什么情况 经过简单的计算 发现当m 1时 由 公式 13 可以得到一个新的光谱线系 其波数分 别为 82 258 5 97 491 6 102 823 105 291 106 631 位置处于紫外线区域 而当m 3时 也得到一个新 的光谱线系 波数为 5 331 57 7 799 32 9 139 83 9 948 12 10 472 7 其位置处于红外线区域 这两组光谱线都不在可见 光区域内 难怪我们在过去的实验中没有发现 经过实验物理学家的努力工作 1908年帕邢在 红外线波段发现了与公式 13 中m 3对应的光谱 线系 称为帕邢系 1914年莱曼在紫外线波段发现 了与公式 13 中m 1对应的光谱线系 称为莱曼 系 以后布拉开和普丰德又在远红外线波段内发现 了与m 4和m 5对应的两个光谱线线系 实验观 测证实了推广形式 13 的正确性 后来人们把它称 为广义巴耳末公式 也称里德伯方程 第8期 倪致祥 近代物理学中重大发现的再探索 连载 65 4 新的问题 在上面的探索中 我们发现了描述氢原子光谱 线波长 波数 的一般规律 取得了初步的成功 但 是还留下了许多问题 主要问题有 1 氢原子光谱线的强度有什么规律 2 为什么氢原子光谱线的波数恰好满足广义 巴耳末公式 其背后的原因是什么 3 其他原子光谱有没有类似的公式 是什 么形式 这些新的问题还等待着我们去进一步探索 和发现 附录 巴耳末公式的发现经过 2 巴耳末自己没有说明他是怎样发现这个公式的 有人 查考了他当年的手稿并根据旁人的回忆 判断他有这样的一 段经历 1 开始 巴耳末也是采用在谱线间找谐和关系的办法 后来感到这个不符合谱线的实际情况 终于摒弃了这一方案 2 他借助几何图形领悟到谱线波长趋近于某一极限 又从几何图形推测出平方关系 经过反复校核 确定埃格斯 特朗的数据最为精确 并找到了这个共同因子 3 后来 他得到哈根拜希教授之助 将建立的公式与紫外 区的5根氢谱线核对 证明也是正确的 这才有把握公之于众 参考文献 1 卢德馨 大学物理学 M 2版 北京 高等教育出版 社 2003 380 2 郭奕玲 沈慧君 物理学史 M 2版 北京 清华大学 出版社 2005 1442150 3 赵凯华 定性与半定量的物理学 一 J 大学物理 1988 7 10 36 4 英 牛顿 自然哲学之数学原理 M 王克迪 译 西 安 陕西人民出版社 武汉 武汉出版社 2001 447 5 杨振宁 美与物理学 J 物理 2002 4 193 Rediscovery of Bal mer formula N I Zhi2xiang School of Physics and Electronic Science Fuyang Teachers College Fuyang Anhui 236041 China Abstract In this paper we re2obtain the Balmer formula of the hydrogen atom spectrum bymeans of the data analysis under the guidance of the scientific methodology This exploring process can be acted