高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析.docx

1绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立几何解释：用向量a，b分别替换a，b.当a与b不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边若a，b共线，当a与b同向时，|ab|a|b|，当a与b反向时，|ab|a|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式定理1的推广：如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac|ab|bc|.当点B不在点A，C之间时：点B在点A或点C上时，|ac|ab|bc|；点B不在点A，C上时，|ac|ab|bc|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值含绝对值不等式的判断与证明已知|Aa|，|Bb|，|Cc|.求证：|(ABC)(abc)|s.|(ABC)(abc)|(Aa)(Bb)(Cc)|(Aa)(Bb)|Cc|Aa|Bb|Cc|.因为|Aa|，|Bb|，|Cc|，所以|Aa|Bb|Cc|s.所以|(ABC)(abc)|s.含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明1设a，b是满足ab|ab| B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：选Bab0且|ab|2a2b22ab，(ab)2a2b22ab0，|xa|，|ya|.求证：|2x3y2a3b|.证明：|2x3y2a3b|2(xa)3(yb)|2(xa)|3(yb)|2|xa|3|yb|a恒成立，求a的取值范围解：由题意知a|x1|x2|对任意实数恒成立，amin.|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3.min3.a0时，右边等号成立；当ab|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当ab0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确2不等式1成立的充要条件是()Aa，b都不为零Bab0Cab为非负数Da，b中至少有一个不为零解析：选B原不等式即为|ab|a|b|a2b22aba2b22|ab|abbc，则有()A|a|b|c| B|ab|bc|C|ab|bc| D|ac|ab|解析：选Da，b，cR，且abc，令a2，b1，c6.|a|2，|b|1，|c|6，|b|a|c|，故排除A.又|ab|2，|bc|6，|ab|bc|，故排除B.又|ab|3，|bc|5，|ab|ab|.4设|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不可能比较大小解析：选B当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2.当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.5不等式|x1|x2|a恒成立，则a的取值范围为_解析：若使不等式|x1|x2|(|x1|x2|)max.因为|x1|x2|x1(x2)|1，故a1.故a的取值范围为(1，)答案：(1，)6设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_解析：|xa|xb|ax|xb|(ax)(xb)|ab|2，|xa|xb|2对xR恒成立，故解集为(，)答案：(，)7下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|a|b|；2(ab0)；|x1|x2|1.其中恒成立的是_(把你认为正确的序号都填上)解析：logx10lg xlg x2，正确；ab0时，|ab|a|b|，不正确；ab0时，与同号，2，正确；由|x1|x2|的几何意义知|x1|x2|1恒成立，正确综上可知正确答案：8已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321，即|x5y|1.9设f(x)x2xb，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：f(x)f(a)x2xa2a(xa)(xa1)，|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a1|xa|2|a|12|a|22(|a|1)，|f(x)f(a)|2(|a|1)10设函数y|x4|x3|.求：(1)y的最小值；(2)使ya有解的a的取值范围；(3)使