勾股定理及方程思想的综合应用.ppt

勾股定理的方程思想 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 勾股定理的常见表达式和变形式 在直角三角中 如果已知两边的长 利用勾股定理就可以求第三边的长 那么如果已知一条边长及另两边的数量关系 能否求各边长呢 感受新知1 AB的中垂线DE交BC于点D AD BD BC 3 BD CD AD CD 3 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 AB的中垂线DE交BC于点D 连结AD 则AD的长为 x 3 x 感受新知2 在直角三角形中 已知两边的数量关系 设其中一边为x 利用勾股定理列方程 解方程 求各边长 基本过程 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边AC 6cm BC 8cm 现将直角边沿直线AD折叠 使点C落在斜边AB上的点E 求CD的长 6 6 例1 解 在Rt ABC中AC 6cm BC 8cm AB 10cm 设CD DE xcm 则BD 8 x cm 由折叠可知AE AC 6cm CD DE C AED 90 解得x 3 CD DE 3cm BE 10 6 4cm BED 90 在Rt BDE中由勾股定理可得 8 x 2 x2 42 例1 练习 在 九章算术 中记载了一道有趣的数学题 今有池方一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 始与岸齐 问水深 葭长各几何 这道题的意思是说 有一个边长为1丈的正方形水池 在池的正中央长着一根芦苇 芦苇露出水面1尺 若将芦苇拉到池边中点处 芦苇的顶端恰好到达水面 问水有多深 芦苇多长 请解这道题 例2 有一个边长为1丈的正方形水池 在池的正中央长着一根芦苇 芦苇露出水面1尺 若将芦苇拉到池边中点处 芦苇的顶端恰好到达水面 问水有多深 芦苇多长 例2 解 设水深x尺 则芦苇长 x 1 尺 由题意 得x2 52 x 1 2 有一个边长为1丈的正方形水池 在池的正中央长着一根芦苇 芦苇露出水面1尺 若将芦苇拉到池边中点处 芦苇的顶端恰好到达水面 问水有多深 芦苇多长 解得 x 12 答 水深12尺 芦苇长13尺 5 x 1 x 1 例2 思考1 1 如图 铁路上A B两点相距25km C D为两村庄 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E 使得C D两村到E站的距离相等 则E站应建在离A站多少km处 解 设AE xkm 则BE 25 x km根据勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2又DE CE AD2 AE2 BC2 BE2即 152 x2 102 25 x 2 x 10答 E站应建在离A站10km处 x 25 x 思考1 在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子 其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处 另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处 如果两个猴子经过的距离相等 问这棵树有多高 A B C D 思考2 A B C D 解 如图 D为树顶 AB 5m BC 10m 设AD长为xm 则树高为 x 5 m AD DC AB BC DC 10 5 x 15 x 在Rt ABC中 根据勾股定理得 解得x 2 5 答 树高为7 5米 x 5 2 5 5 7 5 102 5 x 2 15 x