高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 文.ppt

9 8圆锥曲线的综合问题 课时3定点 定值 探索性问题 内容索引 题型一定点问题 题型二定值问题 题型三探索性问题 思想方法感悟提高 思想与方法系列 练出高分 题型一定点问题 1 求椭圆的标准方程 解设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 题型一定点问题 解析答案 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 解析答案 思维升华 解由题意设p 0 m q x0 0 m x1 y1 n x2 y2 设l方程为x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 解析答案 思维升华 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得l方程为x ty 1 过定点 1 0 即q为定点 思维升华 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 1 求椭圆e的方程 跟踪训练1 解析答案 解析答案 返回 即qc qd 所以q点在y轴上 可设q点的坐标为 0 y0 当直线l与x轴垂直时 设直线l与椭圆相交于m n两点 解当直线l与x轴平行时 设直线l与椭圆相交于c d两点 解析答案 解得y0 1或y0 2 所以 若存在不同于点p的定点q满足条件 则q点坐标只可能为 0 2 当直线l的斜率不存在时 由上可知 结论成立 当直线l的斜率存在时 可设直线l的方程为y kx 1 a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 解析答案 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 点b关于y轴对称的点b 的坐标为 x2 y2 解析答案 返回 题型二定值问题 题型二定值问题 解析答案 解析答案 思维升华 证明由题意可得a1 2 0 a2 2 0 设p x0 y0 由题意可得 2 x0 2 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 1 求动点q的轨迹c的方程 跟踪训练2 解析答案 解依题意知 点r是线段fp的中点 且rq fp rq是线段fp的垂直平分线 点q在线段fp的垂直平分线上 pq qf 又pq是点q到直线l的距离 故动点q的轨迹是以f为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 2x x 0 2 设圆m过a 1 0 且圆心m在曲线c上 ts是圆m在y轴上截得的弦 当m运动时 弦长ts是否为定值 请说明理由 解弦长ts为定值 理由如下 取曲线c上点m x0 y0 m到y轴的距离为d x0 x0 解析答案 返回 题型三探索性问题 例3 2015 湖北 一种画椭圆的工具如图1所示 o是滑槽ab的中点 短杆on可绕o转动 长杆mn通过n处的铰链与on连结 mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动 且dn on 1 mn 3 当栓子d在滑槽ab内作往复运动时 带动n绕o转动 m处的笔尖画出的椭圆记为c 以o为原点 ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 1 求椭圆c的方程 题型三探索性问题 解析答案 解因为om mn no 3 1 4 当m n在x轴上时 等号成立 同理om mn no 3 1 2 当d o重合 即mn x轴时 等号成立 2 设动直线l与两定直线l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分别交于p q两点 若直线l总与椭圆c有且只有一个公共点 试探究 opq的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 消去y 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因为直线l总与椭圆c有且只有一个公共点 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 所以当k 0时 s opq的最小值为8 综合 可知 当直线l与椭圆c在四个顶点处相切时 opq的面积取得最小值8 思维升华 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 解抛物线y2 8x的焦点为椭圆e的顶点 即a 2 跟踪训练3 解析答案 解析答案 返回 解设a x1 y1 b x2 y2 p x1 x2 y1 y2 解析答案 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 设t t 0 q 4 m 4k 解析答案 4k2 3 4m2 解析答案 则1 t 0 t 1 返回 思想与方法系列 思想与方法系列 20 设而不求 整体代换 解析答案 规范解答解由于c2 a2 b2 2 点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点 连结pf1 pf2 设 f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m m 0 求m的取值范围 解析答案 解设p x0 y0 y0 0 pf1 pf2 解析答案 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解设p x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 返回 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 思想方法感悟提高 1 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定点的探索与证明问题 1 探索直线过定点时 可设出直线方程为y kx b 然后利用条件建立b k等量关系进行消元 借助于直线系的思想找出定点 2 从特殊情况入手 先探求定点 再证明与变量无关 方法与技巧 1 在解决直线与抛物线的位置关系时 要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况 2 中点弦问题 可以利用 点差法 但不要忘记验证 0或说明中点在曲线内部 3 解决定值 定点问题 不要忘记特值法 失误与防范 返回 练出高分 又a2 b2 c2 所以b2 12 1 2 3 4 5 解析答案 2 是否存在平行于oa的直线l 使得直线l与椭圆c有公共点 且直线oa与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 解析答案 解假设存在符合题意的直线l 1 2 3 4 5 解析答案 因为直线l与椭圆c有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以不存在符合题意的直线l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解由已知 点c d的坐标分别为 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 解当直线ab的斜率存在时 设直线ab的方程为y kx 1 a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 解析答案 当直线ab斜率不存在时 直线ab即为直线cd 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2 过点的动直线l交椭圆c于a b两点 试问 在坐标平面上是否存在一个定点q 使得以线段ab为直径的圆恒过点q 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 解析答案 当l与y轴平行时 以线段ab为直径的圆的方程为x2 y2 1 1 2 3 4 5 解析答案 故若存在定点q 则q的坐标只可能为q 0 1 下面证明q 0 1 为所求 若直线l的斜率不存在 上述已经证明 a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 2 过圆o上任意一点p作椭圆e的两条切线 若切线都存在斜率 求证两切线斜率之积为定值 1 2 3 4 5 解析答案 证明设点p x0 y0 过点p的椭圆e的切线l0的方程为y y0 k x x0 整理得y kx y0 kx0 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 1 2 3 4 5 解析答案 解方法一 1 设s x y 为曲线 上任意一点 依题意 点s到f 0 1 的距离与它到直线y 1的距离相等 所以曲线 是以点f 0 1 为焦点 直线y 1为准线的抛物线 所以曲线 的方程为x2 4y 方法二设s x y 为曲线 上任意一点 1 2 3 4 5 解析答案 依题意 点s x y 只能在直线y 3的上方 1 2 3 4 5 化简 得曲线 的方程为x2 4y 2 曲线 在点p处的切线l与x轴