北京工业大学线性代数第一章第五节.ppt

第五节行列式按一行 列 展开 一 余子式 代数余子式的概念二 行列式按行 列 展开法则 2 三阶行列式与二阶行列式的关系 3 数余子式的乘积之和 3阶行列式等于它的第一行元素与自己的代 说明 上述结论对于n阶行列式的任意一行也成立 猜想 4 阶行列式中 把元素 称为 而 的代数余子式 在 所在的第 行和第 列划去后 留下来的 阶行列式称 的余子式 记作 如 一 余子式与代数余子式 定义 为元素 5 式和一个代数余子式 行列式的每个元素分别对应着一个余子 注 6 一个n阶行列式 如果其中第 例如 引理 行所有 元素除 外都为零 那末这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积 即 二 行列式按行 列 展开法则 7 当aij位于第一行第一列时 又 从而 证明 8 把D的第i行依次与第i 1行 i 2行 1行对调 得 若aij位于第i行第j列 9 把D的第j列依次与第j 1列 j 2列 1列对调 得 10 11 中的余子式 在 中的余子式 也是 在 12 于是有 13 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 证 定理 14 15 用行列式按行 列 展开法则可将行列式降阶 将计算1个三阶行列式转换为计算3个二阶行列式 一个n阶行列式按行 列 展开后 得到n个n 1阶行列式 可以减少计算量 如 说明 16 计算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性质将行列式的某一行 列 许多元素化成0 然后再按这一行 列 展开 这样继续下去 总可以将一个高阶行列式的求值问题转化成2阶行列式的求值问题 从而大大简化了计算 为了尽量避免分数运算 尽可能选择1或 1所在的行 或列 把该行 或列 的许多元素化成0 然后按该行 或列 展开 说明 17 例1 18 例2 计算行列式 书P22例1 5 2 解 19 例3 证明 证 按行列式第一行展开 左端 20 用数学归纳法可以证明 21 例4 计算阶行列式 解 22 问题 把下述3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式相乘再相加 结果如何呢 说明 3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式乘积之和等于0 猜想 n阶行列式也有类似结论 0 把D中的第2行元素换成第1行元素 得下述行列式 按第二行展开 23 行列式D的任一行 列 的元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 定理 设 把D中的第j行元素换成第i行元素 得下述行列式 24 0 由于行列式的行与列的地位对称 因此也有 将该行列式按第j行展开 得 25 如上两个定理可以写成 26 证 用数学归纳法 例5 证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 27 看n阶范德蒙行列式 假设 1 对于n 1阶范德蒙行列式成立 按第1列展开 并把每列的公因子 提出 就有 28 n 1阶范德蒙德行列式 说明 范德蒙行列式在许多实际问题中出现 我们可以用公式 1 立即写出它的值 29 例6 计算行列式 解 30 例7 设n阶行列式 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数