高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课后导练 新人教B版选修2-1.doc

2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课后导练基础达标1.已知点o(0，0)，a(1，-2)，动点p满足p3p，则p点的轨迹方程是（ ）a.8x2+8y2+2x-4y-5=0 .8x2+8y2-2x-4y-5=0.8x2+8y2+2x+4y-5=0 .8x2+8y2-2x+4y-5=0答案：a2.已知直线l:2x+4y+3=0，p为l上的动点，o为坐标原点，点q分线段op为1两部分，则点q的轨迹方程为（ ）a.2x+4y+1=0 .2x+4y+3=0.2x+4y+2=0 .x+2y+1=0答案：3.到点（，）的距离等于3的动点m的轨迹方程是（ ）.(x+1)2+(y+2)23 .(x+1)2+(y+2)2.(x-1)2+(y-2)23 .(x-1)2+(y-2)2=9答案：b4.弦经过抛物线y2=2px的焦点,则该弦的中点的轨迹是( )a.抛物线 b.椭圆 c.双曲线 d.直线答案：a5.线段ab的长度是10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则ab中点p的轨迹方程是_.答案：x2+y2=256.已知平面上有两定点a、b，ab2a，平面上一动点m到a、b两点距离之比为2，则动点m的轨迹方程为_.答案：3x23210x3207.已知b(-3，0)、c(3，0)，abc中bc边上的高的长为3，求abc的垂心h的轨迹方程.解析:设h的坐标为(x，y)，则a点的坐标为(x，3)或(x，-3).当a的坐标为(x，3)时，abch，kabkch=-1,即=-1（x3）.化简整理得y=x2+3（x3）.x=3时，y=0也适合此方程，所以方程y=x2+3为所求轨迹方程.当a的坐标为(x，-3)时，同理可得h的轨迹方程为y=x2-3.总之，abc的垂心h的轨迹方程是y=x2+3或y=x2-3.8.已知abc的顶点b、c的坐标分别为(-1，-3)、(3，5)，若点a在抛物线y=x2-4上移动，求abc的重心p的轨迹方程.解析:设abc的重心p的坐标为(x，y)，顶点a的坐标为（x1，y1），则y1=x12-4.由重心坐标公式得代入y1=x12-4得3y-2=(3x-2)2-4.化简整理得9x2-12x-3y+2=0.又直线bc的方程为，即y=2x-1.由得或a、b、c三点不在一条直线上，p、b、c三点不共线.轨迹中应去掉点(，)和(，-).故abc的重心p的轨迹方程是9x2-12x-3y+2=0(x且x).综合运用9.线段ab与cd互相垂直且平分于点o，ab2a，cd2b，动点p满足pppcpd，求动点p的轨迹方程.解析：以ab的中点o为原点，直线ab为x轴建立直角坐标系,如右图所示.设p（x,y）,又a（-a,0）、b（a,0）、c（0，-b）、d（0,b），由题设知|pa|pb|=|pc|pd|.=.化简得x2-y2=为所求.（证明略）10.等腰直角三角形abc中，a=90，bd是ac边上的中线，aebd交bc于点e，用坐标法证明adb=cde.证明:建立坐标系如右图所示，设ab=ac=a，则在坐标系中各点坐标是a(0，0)、b(0，a)、c(a，0)、d(，0).由斜率公式得kbd=-2.由已知aebd，得ae所在的直线方程是y=x.e点的坐标(x0，y0)满足解得kde=2.也就是tancde=2.而tanadb=tan(180-cdb)=-tancdb=-kbd=-(-2)=2，tancde=tanadb.又cde和adb都是锐角，cde=adb.11.过点p(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于a点，l2交y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程.解析：如右图，设点m的坐标为(x，y).m为线段ab的中点，a的坐标为(2x，0)，b的坐标为(0，2y).l1l2，且l1、l2过点p(2，4)，papb，kpap.而kp(x1)，p，=-1(x1).整理，得x+2y-5=0(x1).当x=1时，a、b的坐标分别为(2，0)、(0，4),线段ab的中点坐标是(1，2)，它满足方程 x+2y-5=0.综上所述，点m的轨迹方程是x+2y-5=0.12.已知直角坐标平面上点q（2，0）和圆c：x2+y2=1，动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数（0），求动点m的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解析：设切点为n，则|mn|=|mq|.于是|mo|2-r2=（|mq|）2.将m（x，y）代入上式，得x2+y2-1=2（x-2）2+2y2，整理得（2-1）（x2+y2）-42x+（1+42）=0.当=1时，方程为x=，表示一直线.当1时，方程为（x）2+y2=1+，表示一个圆.拓展探究13.已知a、b、c是直线l上的三个定点，其中ab的长为a，bc的长为c.动点pl，但p与l在确定的平面内，且恒有apb=bpc，求动点p的轨迹.解析：如右图，以ac为x轴，以b为坐标原点建立直角坐标系.设p点的坐标为（x，y）.由已知apb=bpc，得.设a（-a，0），c（c，0），a0，c0.则|pa|=，|pc|=.将其代入得根，化简，得（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0.