多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法.pdf

2 0 0 8 年6 月 电大理工 S t u d yo f S c i e n c ea n dE n g i n e e r i n g a tR T V U 第2 期总第2 3 5 期 多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法 邢航 阜新高等专科学校 阜新1 2 3 0 0 0 摘要在实际问题和科学实验中很多现象的发生或变化是多个因素共同作用的结果 因素之间有些 相互没有影响 有些是交互影响的 针对不同情况可以通过试验利用数学模型分析和解决这些问题 文章 论证了多因素方差分析建模的条件和基本原理以及受各因素影响的显著性检验方法 关键词数学模型方差分析离差平方和随机 误差 0 引言 方差分析是在随机干扰存在的情况下 把因 素变化所产生的影响分离出来进而做出因素变 化对研究对象是否有显著性影响的推断 在实际 问题中很多现象的变化是多因素共同作用的结 果 多因素方差分析是利用数学模型的可分解 性 从总变异中分解出条件误差 组间 和随机 误差 组内 并进行对比 从中找出影啊试验 结果的主要因素 我们主要研究二因素方著分析 数学模型的建立与显著性检验 二因素方差分析 中 分因素之间无交互影响和有交互影响 即在 试验中分不重复试验和重复实验两个方面 下面 论述无交互影响不重复试验的二因素方差分析 数学模型建立及假设检验 l 建立数学模型 首先假设所有试验数据都来自同一正态总 体 对试验彳 曰两个因素进行考察 二者试验 地位平等 A 因素有a 个不同水平A l 一2 A 口因素有b 个不同水平岛局 既 A B 之 间无交互作用 对水平的每种组合0 锄进行一 次独立试验 共得口6 个试验结果姒卢1 2 a j l 2 功 试验结果所得数据如表1 表I方差分析样本数据 占 口l 如 岛 X I I X t 2 X I j 局l 恐2 恐 X nX 设 X b X o X 西 X 曲 X jX I x j 风平均值Z b Z X 2 l 爻t X b X t X 曲 夏 z 一呓辫 否1 r 其中x 与兰扎产l 2 6 一 i I bx f 1 2 口 1 设置 是服从正态分布 船 G 2 的总体中 抽取的样本 假定彳 B 不存在交互作用 假定劫叩玎 s 玎 2 s u o a 2 O 1 2 a j l 2 6 其中 表示4 哆 条件下的理论期望值 B 基金项目 辽宁省教育厅高等学校科学研究皋会资助项目 2 0 0 8 D 0 2 8 素一4 以 4 以 值 因一 均 己 万方数据 7 4 电大理工总第2 3 5 期 表示随机误差 且相互独立 E h 1 得 2 去善萎 3 7 去 H l 2 6 M i I 一9 i l 2 口 I 1 i l 令 o I i p i 一p p a 一p 称口 为因素A 的第i 个水平的效应 为因素 乃的第 个水平的效应 分别表示因素A B 的 各个水平的影响的程度 显然有关系式 岛 o 4 将砌进行分解 隹i j 讧七伐t 七p j 七l 睡一讳t 一悻j 七p 令 6 q 弘q 一弘i 一啦七t l 称为A i 和B j 的交互效应 而对二因素无重 复试验方差分析 假设任意A i 和B 之间不存在 交互效应 即全部6 矿 o 这样岫分解式可写为 地 旷 廿B 综上所述 可得二因素无重复试验方差的数 学模型 K q 岛 岛 f 1 2 口 l 2 b 窆q o 圭绣 o 1 1 j l 6 j N 0 盯2 且相互独立 其中 盯2 a U l 2 a j l 2 6 均 为未知参数 2 显著性检验 对于二因素无交互方差数学模型 1 5 的检 验主要是检验两个因素彳与B 的影响是否显著 要判断因素彳的影响是否显著等价于检验 假设 H o l a l a 2 a o 0 要判断因素曰的影响是否显著等价于检验 假设 0 2 pl J 2 触 检验上述假设的基本原理是将总离差平方和分 解为各因素导致的离差平方和及随机误差导致 的离差平方和 具体方法如下 设定 x X 矿一1 A 一万台 由 6 有 置 江l 2 a 6 置J j 1 2 b 隅 6 Z 2 2 i 1 S n 口 b E j 2 7 l 鼹E 墨厂墨 一牙 j 贾 2 i 1j i 其中鼢称为因素彳的效应平方和 表示因素么 的水平变化引起的影响 鼢称为因素B 的效应 平方和 表示因素B 的水平变化引起的影响 踊称为误差平方和 表示试验的随机误差影响 总离差分解后的公式为 蹈 瓯 2 2 隅 鼹厅 S S E 8 I 1j l 上式表明总离差的平方和分解为二因素的 影响 组间 和随机误差影响 组内 的离差平 方和 在 8 成立时 利用关于正态分布平方和分解 的C o c h r a n 定理 可证明凰I 与凰2 分别成立时 的鼢 鼢 跣及M s s 的分布规律 C o c h r a n 定理 X I X 2 X n 为刀个相互 独立的服从标准正态分布的随机变量 Q 卢l 2 幼是某些X I X 2 X n 线性组合 的平方和 其自由度分S S A 别为d i l 2 0 一U X 川 一口 问 1 6 1 一口 万方数据 第2 期邢航 多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法 7 5 如果 Q I Q g X 2 刀 且凶 如 斗诹 稍 则9 0 f l 2 k 其中 并且Q 珐 Q k 相互独立 在 8 成立的条件下i 利用C o c h r a n 分解 定理 可证明在仅有凰l 成立时 有 娶X 2 口一1 6 一1 仃 擘 x 口一1 9 口 且它们相互独立 从而有统计量 尼 老 葡S S 两A a 而 i 忡 l 口 l x 6 1 1 0 4 九 S 口一l X 6 一1 所以对给定的显著性水平瓯查F 分布表 得 临界值尼 口 1 口 1 6 1 当乃 几时 拒 绝凰l 因素A 影响显著 反之 接受凰I 因 素彳影响不显著 同理 可得在仅有 0 2 成立时因素口影响是 否显著的检验方法 综上所述 可得到二因素无交互影响试验方 差分析数学模型显著性假设检验的统计分析结 果如表2 表2无交互影响 因素方差分析统计决断 表2 中的各项指标利用表l 中的样本数据计 算 可使用下面的简捷式 鼢 伪一尸 溉 国一尸 跣镏一9 一幽十尸 1 1 s s l R P g 丢喜c 喜五 Q 丢害c 喜五 尸 去c 喜鼽 2 R 置 i lj R 3结语 本文论述了二因素无交互作用方差分析数 学摸型的建立方法 并论证了利用C o c h r a n 分解 定理对各因素影响的显著性进行假设检验的方 法 事实上还有很多生产实际和科学实验方面的 问题是二个以上的因素影响且交互作用的 均可 利用数学模型进行分析和检验 其原理是相通的 本文不在赘述 参考文献 l 欧贵兵 刘清国 概率统计及J e 应用 北京 科学出版社 2 0 0 7 2 0 0 2 2 8 2 梅国平 袁捷敏 毛小兵等 概率论与数理统计 匕京 科 学出版社 2 0 0 7 2 3 4 2 5 4 3 王松桂 陈敏 陈立萍等 线性统计模型 北京 高等教育 f j I 版社 1 9 9 9 1 3 8 1 6 1 4 1 王孝玲 教育统计学 第二版 j 二海 华东师范大学出版 社 2 0 0 1 1 8 4 1 9 2 5 戴明强 李J 丁 军 杨鹏飞 数学模型极其应用 北京 科学 j 版社 2 0 0 7 l 9 6 郭嗣琮 陈刚 不规则介质采场模糊流的数学模型 辽宁 工程技术大学学报 2 0 0L 2 0 5 6 6 6 6 6 8 万方数据 多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法 作者 邢航 作者单位 阜新高等专科学校 阜新 123000 刊名 电大理工 英文刊名 DIANDA LIGONG 年 卷 期 2008 2 被引用次数 1次 参考文献 6条 参考文献 6条 1 欧贵兵 刘清国 概率统计及其应用 2007 2 梅国平 袁捷敏 毛小兵 概率论与数理统计 2007 3 王松桂 陈敏 陈立萍 线性统计模型 1999 4 王孝玲 教育统计学 2001 5 戴明强 李卫军 杨鹏飞 数学模型极其应用 2007 6 郭嗣琮 陈刚 不规则介质采场模糊流的数学模型 期刊论文 辽宁工程技术大学学报 2001 05 本文读者也读过 2条 本文读者也读过 2条