有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线.pdf

2 0 1 2年 第 5 1卷第 9期 数 学通 报 5 7 有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线 张俭 文 河北省秦 皇岛市第五中学0 6 6 0 0 0 根据文 直线 z 及其平行线被有心 圆锥 曲 线 L 截 得 弦 的 中 点 和 曲线 L 的 中心 都 在 同一 直 线 z 上 直 线 叫有 心 圆锥 曲线 L 关 于 直线 Z的共 轭直 径 有 心 圆锥 曲线 中类 西 摩松 线 的 内容 是 在 中心为 0的圆锥 曲线 L上任取 三点 A B c 曲 线 L关 于直线 B C C A AB 的共轭 直径 分别 为 O D O E 0F 在 曲 线 L上 取 异 于 A B C的一 点 P 作直 线 P M OD PN O E P Q O F 直线 P M 与 BC PN 与 C A P Q 与 AB 的交 点 分 别 为 M N Q M N Q 三 点 共 线 这 条 直 线 叫 圆锥 曲 线 L上 ABC关 于 点 P 的类 西 摩 松 线 在 平 面 直 角坐标 系 中 有心 圆锥 曲线 L 的方 程 为 m x n y 一1 其 中 m 都不等于零 且 至少有一个 大 于 零 AB C 各 顶 点 坐 标 分 别 为 A z Y B 2 Y 2 C z 3 Y 3 点 P 坐 标 为 P o Y o X ABC关 于点 P 的类 西摩 松 线方 程 为 一 告 Y 一k x 一 1 z 1 其 中i 一0 1 2 3 k为类西摩松线 的斜率 当m a b 其 中 口 b O 有 心 圆锥 曲线 L是 椭 圆 其参 数 方程 为 z a c o s 0 y b s i n 0 P A B c各点的坐标满足 一 a c o s 0 y 一 b s i n 0 1 可写 成 Y 一专 6 s i n 0 一 c一 一1 窭 COSa 1 co s 0 2 一 一 2 当 m a 一 一一6 其 中 a 0 6 O 有 心 圆 锥曲线 L是双曲线 其参数方程为 一寺n t t 一 6 一t 叫 P A B C各点的坐标满足 z 一 1 十 一 丢 6 t l t 1 u7 j B 一 1 6 一 一 些 z一一 1 n t 7 a t t t t 4 1 2 3 3 本 文介 绍有 心 圆锥 曲线 上 四点 的两种 不 同形 式 的类 西 摩松线 图 1 图 2 1 有心圆锥 曲线上四点的第一种形式类西摩松线 定 理 1 在 中 心 为 的 圆锥 曲线 L 上 任 取 A A A A 四点 在 曲线 L上 任 取 一 点 P 点 P关 于 A A z A A z A3 A A A1 A Al Az 的类西摩松线分别为 z z l z 曲线 L关于 l 5 8 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 9 期 z z z 的共轭直径分别为 O E OF O G O H 过 点 P作直线 P M O E P M O F P M O G PM 7 O H PM 与 l P M2与 t P M3与 l 3 PM 与 Z 的交 点依 次 为 M M M3 M 则 M M2 M3 M4四点在 同一 直线 上 见 图 1 图 2 证 明 有 心 圆锥 曲线 L是 椭 圆 a c o s 0 b s i n 其 中 a 6 O 该 椭 圆上 P A Az As A4 各 点 坐标 满 足 z a c o s 0 Y b s i n 0 其 中 i 一 0 1 2 3 4 直线 z 的方 程为 一 6 s i n 0 一 c一 1 塞 CO SIN a l l co s 0 1 03 Oo 2 l 一 一 I 十 一 一 由于 O E是椭圆关于 z 的共轭直径 P M OE 直 线 P M 的方 程为 一 6 s i n 一 一 b 1 c o百s 0 1 t 0 2 0 3 0 o a c o s O o 设点 M 坐 标 为 M z Y 解 由 直 线 z P M 的方程所组成的二元一次方程组得 z 一 1 n 3 c 0 s 0 C O S 0 c o s O z 0 3 2 0 0 一 c o s O 1 0 2 一 O o 一 c o s 0 2 0 3 一 O o 一 C O S l 0 3 一 O o y 一 6 3 s i n s in 0 s i n O 0 z 0 3 2 0 o 一 s i n O l 0 2 0 0 一 s i n 0 2 0 3 一 O o 一 s i n O 1 0 3 0 o 设点 M 的坐标为 M z Y 仿照点 M 的 坐标直接写 出点 M2 的坐标 z 2 1 n E 3 c o s O o C O S O i c o s 0 2 0 4 2 0 0 一 c o s O 2 0 3 一 O o 一 c o s O 3 0 4 一 O o 一 C O S 口 z 0 4 一 O o j y b E 3 s i n 0 s in 0 s in O z 0 s 0 4 2 0 0 一 s i n 0 2 0 3 一 O o 一 s i n O 3 0 4 一 O o 一 s i n O 2 0 4 一O o z 2 一z 1 一 1 口 c o s 一c o s O l c o s O 1 0 2 一O o c o s 0 o c o s O 0 3 一 一 c o s 0 3 0 4 一 O o C O S 0 2 0 3 0 4 2 0 0 一 C O S 0 1 0 2 0 3 2 0 0 一 1 i n s i n 0 1 2 0 2 2 0 3 一4 0 o 0 1 2 0 2 0 4 2 m 一一 m 一 一 0 1 2 0 3 0 4 2 0 0 S 1 n 一 一 2 S 1 n 一 一 一 s i n 0 1 0 2 0 3 0 4 2 0 0 CO S 口 2 3 2 0 c os i n O z 2 0o s i n 0 1 0 2 0 3 0 4 2 0 0 2 一 l 一 6 s i n 0 4 一s i n 0 1 十s i n 1 0 2 一 O o s i n 0 2 一 s i n 0 1 0 3 一O o 一 s i n 0 3 一 s i n 0 2 0 3 0 4 2 0 0 一 s i n 1 0 2 0 3 2 一 n c s 0 1 1 2 0 2 2 0 3 1 0 4 一 4 0 0 一 0 1 2 0 2 0 4 一2 0 0 COS COS 一 一一 一 0 1 2 0 3 2 0 o COS 一 一 下 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 2 0 0 bSi n c os 一 0下 2 0 3 2 0 0 一丝 鱼 一一2 b 0下 2 mO 0C O S C O S Z o s l n L 一一 一一 0 一 0 0 一 0 0 1 0 2 0 3 0 4 2 0 o s 1 n Ts 1 n Tc 0 s 一 由于 0 0 0 0 4 O o 都在 0 2 r r 范围内 0 O o 0 0 有 i n堕 鱼 o i n O S i n v a o M M2 k为 两 点所 在直 线 的斜率 b E 1 C O S l 0 2 0 3 0 4 2 0 j a s i n O 1 0 2 0 3 0 4 2 0 0 M M2 两点所在直线 的斜率 k的表达式关 于 对 称 由此 可 知 Mz与 Ms M3 与 M 两点所 在 直线 的斜 率 都 等于 k 因此 M1 M2 M3 M4四点在同一直线上 M1 M2 M3 M4 四点所 在 直 线 叫椭 圆上 四点 A Az A A 关 于 椭 圆上 一 点 P 的类 西摩 松 线 利 用 点 M 或 Mz 一 易一 n z 二 一 z 一 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 9期 数 学通 报 5 9 的坐 标 写 出该直 线 的斜截 式 方程 为 一 b 1 q c o s O 0 2 O a 0 4 2 0 0 z a s i n O 0 3 一 2 0 0 名 3 C O S O o4 s in 0 0 4 2 0 c 1 z 一o o s O 一 C OS 0 1 0 2一 O o 一 C OS 0 1 0 3一 O 0 一 C OS 0 1 一 一 C o s O 2 0 3 一 O o 一 C O S 十 0 4 0 0 一 c o s O 一 O o 十 c o s O 一 2 0 0 十 c o s 一 2 0 o C O S 一 2 0 0 q C OS 1 2 0 4 2 0 0 3 c o s 0 2 十 0 4 3 0 0 这个 二元 一 次方 程也 关 于 0 0 0 0 对 称 叫椭 圆上 四点 A A A A 关 于 该 椭 圆 上一 点 P 的 类西摩松线方程 有心圆锥 曲线 L是双曲线 z一 a t t Y 一 去 6 一 其中a O 6 0 0 点 P A A z A A 各点坐标满足 z 一妄口 t i y 一 去6 一 其中i 0 1 2 3 4 直线 z 的方程为 一 丢 6 i o 1 一 警等 z 一 I Z j n t 7 由于 O E是 双 曲线关 于 z 的共 轭 直 径 PM1 O E 直线 P M 的方程为 一 号 o 一 z 一 寺n 0 q t ff 设 点 M 坐 标 为 M x Y 解 由直 线 z P M1的方程 所组 成 的二元 一 次方 程组 得 言 3 善 t 7 一 1 t 2 t 1 t 3 t 2 t 3 I t 1 t 2 t 3 t o 1 t 2 t 3 一 t o 1 t o t t t 2 t 3 一 言b 3 一 十 蚤 一 垒 垒 二 t o 1 t 2t a 设点 M2 的坐标为 z z Y 仿照点 M 的 坐标 直 接写 出点 M 的 坐标 z 2 一 言 3 t o 萎 一 t 2 t 3 z t 4 t 3 t 4 t 2 t 3 t 4 t o 2 t 3 t 4 一t o t 0 t t 2 t 3 t 4 2 一 言b 3 一 to 墨 f 一 一 t 2 t 3 t 2 t 4 t 3 t 4 l t 2 t 3 t 4 I t 0 t 2 t 3 t 4 一t t 0 t 5 t 2 t 3 t 4 将 与 z 相减 将上面 的 z x 表 达式对 应项 之 差提 公 因式 t 一t 再 通 分 利 用 分 组分 解 法分 解 因式 得 x 2 一 z 1一 a t 4一 t 1 t i t 2 t 3 t 1 t 4 1 一 t o t l t 2 t 3 4 t 2 t 3 t 1 t t i t 4 t i t 2 t 3一 t o 8 t 1 t 2 t 3 t 4 一 a 0 一 t 2 o t 3 f 4 一 t 1 l t 2 t 3 t 4 一t 8t t l t 2 t 3 t 4 将 Y 与 Y 相减 经过相同的运算步骤得 b t 0一 t 2 一 t 3 4一 t 1 1 t 2 t 3 t 4 t 一 8 1 t 2 t 3 t 4 一 设 M1 M2 两点所在直线的斜率为 k 由于 t o t 2 0 t o t 3 0 t 4 一t 1 O 所 以 6 一 二 一 x 2 一 Lz 1 a t l t 2 t 3 t 4 一 t k的 表达 式关 于 t t 2 t t 对 称 同理 可 证 M2 与 Ma 与 M 两点所在直线的斜率都等于 直线 M1 M2的斜率 k 因此 M M2 Ma M 四点 在 同一 直 线 上 M1 M2 M4四点 所 在 直 线 叫 双 曲线 上 四点 A A A A 关 于 双 曲线 上 一 点 P的类 西摩 松 线 利用 点 M 或 M 的坐标 写 出该 直线 的斜 截式 方 程为 Y 一 z 一 3 t 一 一 1 二 z 一 二 3 十芘 一 2 口 1 一 t 1 t 2 t 3 t 4 2一 t l t 2 t 1 t 3 t l t 4 2 t 3 t 2 t 4 t 3 t 4 一t 1 t 2 t 3 t 2 t 3 t 4 t 3 t 4 t 1 t 4 t 2 t 1 4 t lt 2 t a t 4 这 个 二元 一次 方 程 也 关 于 t t t t 对 称 叫 双 曲线上 四点 A A A A 关于该双 曲线上一点 P的类西摩松线方程 定理 1中 M M2 M3 M4 四点所在直线统称有心 圆锥 曲线上四点 A A As A 关于该 有心 圆锥 曲线上一 点 P 的类西摩 松 线 定理 1还可 以继 续推 广 定理 2 在 中心 为 0 的 圆 锥 曲线 L 上 任 取 6 O 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 9期 A A A A A 五点 在 曲线 L上 任取一 点 P 点 P关于其 中任意四点 的类西摩松线分别为 z z l l l 过 点 JP依 次作 曲线 L 关于 直线 z z z z z 的共 轭 直 径 的 平 行 线 P P M P P M4 P M5 P M1与 Z P M2 与 Z 2 P M 与 Z 3 P M4 与 厶 P 与 l 的 交 点 依 次 为 M M2 M3 M4 Mr 则 M M2 M M4 五点在 同一直线上 这条 直 线 叫 有 心 圆锥 曲 线 上 五 点 A A A A A 关于点 P的类西摩松线 往下依此类 推 可 以一直推 广 下去 本文 不再 赘述 2 有心圆锥曲线上四点的第二种形式类西摩松线 运 用坐标 法 易 证 在 平 面 内取 四点 A B C D 其 中任 何 三 点不 共 线 则 线段 AB 与 CD B C 与 D A C A 与 B D 的 中点 连 线 相 交 于 一 点 并 被 该点平分 利用这个结论介绍如下定理 定理 3 在 中心为 0的有心圆锥曲线L上取 四点 A B C D 在 曲线 L 所 在 的平 面 内 取 一 点 P 过 点 P作 曲线 L 关 于 直 线 AB 与 C D BC与 D A C A 与 B D 的共 轭 直 径 的 平 行线 PE 与 P F P G与 PH P M 与 PN 直 线 AB 与 P E C D 与 P F B C 与 P G D A 与 PH C A 与 P M BD 与 PN 的 交 点 分 别 为 E F G H M N 线 段 E F G H M N 的 中 点 分 别 为 U V w 线 段 AB 与 C D B C与 D A C A 与 B D 的 中点 连 线 的交 点 为 点 0关 于点 j的 对称 点 为 K 线 段 P K 的 中 点 为 Z 则 U V w Z四点共 线 见 图 3 图 4 图 3 如果说定理 l的证明侧重于有心圆锥曲线上 三 角形 的类 西 摩松 线 方 程 的应 用 则 定 理 3的 证 明将侧 重 于 应用 文 中的 证 明方 法 和技 巧 在 定 理 3中 由 A B C D 和 P 各 点 坐标 只应 用 中点 坐标 公式 即可得 到点 z 的坐标 将 定 理 3与 有 心 圆锥 曲线 上 三角 形 的类 西摩 松 线 进 行 比较 二 者 及 其证 明过 程 应 该 有 内在 相 同 之 处 现 将 定 理 3 的证 明介绍 如下 I璺I 4 有 心 圆锥 曲线 L 的 方 程 可 统 一 写 成 mz n y 一1 其中 都不 等于零 且至少有一个 大 于零 A B C D 四点 坐 标 分 别 为 A z B z 2 Y 2 C Lz 3 Y 3 D 4 Y 4 点 P 坐 标 为 P z Y 应 用 文 中 的方 法 由 A B 两点 坐 标 导 出直线 AB 和 曲线 L关 于直 线 AB 的共轭 直 径 的斜 率分 别 为 L m z zz nyl Y2十 l 庀 邶一一 干 雎一 m Xl X2 ny l Y2 一 十 l 直线 AB P E的方程分别为 y 一一 竽2二 z z 一一 干 z 一 一一 m xl y z x 2 y 1 X X 0rex1 x z n y l Y 2 q 1 3 3 一一 点 E 坐标是 由直 线 AB PE的方程 所组 成 的 方 程 组 的解 利 用下 面 的两个 等式 m 1z 1 Y 2 z 2 Y 1 rex1 z2 一 n y 1 Y 2 1 一 2 rexl Lz 2 一n y 1 Y 2 1 z 1 rex1 2 一 n y 1 Y 2 n y1 z1 y 2 z2 Y 1 一 z 2 用加 减 消元法 解 出 F 去 z o z l z 2 一 o rex l z 2 一n y 1 Y 2 一 n y 0 z 1 Y 2 2 Y 1 Y E 一 y o Y l 十Y 2 Y o m x 1 z 2 一n y l Y 2 一 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 9期 数 学通报 6 1 T I I Y S 0 z l y 2 2 1 同理 可 得点 F 的坐标 F 一 去 z 0 z 3 4 一 o rex 3 z 4 一n y 3 Y 4 一 n y o 3 Y 4 z 4 3 Y F 1 E y o y 3 y 4 4 y 0 mx 3 Iz 4 一n y 3 Y 4 一 19 1 3 7 0 z 3 4 4 Y 3 由中点坐 标公 式 得线段 E F 的 中点 己 的 坐标 z u一 2 z 一 T o m x z 舭s z n y l y 2 一n y 3 y 4 一 n y z 1 y 2 2 Y 1 z 3 Y 4 4 x 4 y 3 u一 2 十 m x z 眦 z n yl Y2 一n y 3 y4 一7 脚 z1 y2 十z2 Y1 z3 Y4 4 3 I 3 用 同样 的方 法得 W 的坐 标 z v一 2 z z z m r z 一z z s n y l y 4 一 n y 2 Y 3 一n y o X l Y 4 4 2 7 4 Y l q x 2 y 3 x 3 Y 2 Yv 一 2 y m x z 眦z s n y 1 一 2 Y 3 一眦 z 4 Y 1 z Y 3 z 3 Y 2 z w一 2 z z 一 z m x z z 一 n y 1 Y 3 一 n y 2 y 4 一n y o y 3 z 3 Y 1 z 2 Y 4 x 4 Y 2 Yw 一 2 m x z s z n y l Y 3 一 2 Y 4 一眦 o z y 3 z 3 Y 1 z 2 Y 4 z 4 Y 2 己 V w 三点 坐标 所 满 足 的直 线 方 程 可 统 一 写 成 一 1 喜 一 1 4 x i 其 中 k分别 为 U w 三 点坐 标 所满 足 的直 线 方 程 的斜 率 k k k w k u 一一 y o mx 1 7 C 2 mx 3 z 4 一n y 1 Y 2 一n y 3 Y 4 一 D I T 0 l y 2 3 9 2 Y l 3 Y 4 lz 4 Y 3 0 rex l 2 mz 3 z 4 一 n y 1 Y 2 一 n y 3 Y 4 n y o z 1 2 z 2 Yl 4 lz 3 Y 4 4 Y 3 y 一 o mx 1 4 4 m 2 3 一n y 1 Y 4 一n y z Y 3 一mi 0 z 1 y 4 z 4 y 1 z 2 3 z 3 Y 2 z o mx z 4 mz 2 3 一 n y1 Y 4一 n y2 Y 3 n y o 1 Y 4 z 4 Y 2 Y 3 z 3 Y 2 k w二 一 0 rex 1 z 3 m 2 z 4 一n y 1 y 3 一n y 2 y 4 一 z z 0 z 1 y 3 z 3 y 1 2 Y 4 4 Y 2 o mz 1 3 m z2 z4一 n y1 3一 n y2 4 n yo l Y3 4 2 7 3 y z2 Y4 z4 Y2 为了证 明 己 V两 点坐标 所满 足 的方程 是 同一 方程 只须证 明 k 一是 比较 k k 的表达式得 lz 2 4 mz 3 z 4 一 n Y Y