第6课时 间接证明.doc

第6课时 间接证明教学目标：1. 结合已经学过的数学实例,了解反证法是间接证明的一种基本方法;2. 了解反证法的思考过程和特点.教学重点：用反证法证明简单的问题教学难点：反证法教学过程：一. 问题情境1.复习: 直接证明：1.综合法 2.分析法 2.在数学必修2中,证明命题“在长方体中,与是异面直线”时,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.(详见课本)2. A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎. 则C必定是在撒谎，为什么？二建构数学 间接证明：是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。反证法是一种常用的间接证明方法. 合理的推理 “若p则q”为真 “P且q”为假 导致逻辑矛盾 肯定条件p否定结论 q 归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾.反证法的过程包括以下三个步骤：（1） 反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；（2） 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3） 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.适宜使用反证法的情况: （1）结论以否定形式出现； （2）结论以“至多-，” ，“至少-” 形式出现； （ 3）唯一性、存在性问题； （4） 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。三数学运用例1.求证:正弦函数没有比小的正周期.(课本例1)例2.证明： 不是有理数.(课本例2)变式练习：证明：不能为同一等差数列的三项. 证明：假设、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足=+md =+nd n-m得：n-m=(n-m) 两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2 左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确. 即 、不能为同一等差数列的三项.例3. 已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 .证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0. 同理可证：b 0, c 0.变式练习: 设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立.备用题: 已知函数，请用反证法证明没有负数根.证法1：设存在，满足，则.又，所以，即与假设矛盾,故方程没有负数根.证法2：设存在，满足,（1）若，则，所以与矛盾.（2），则，所以与矛盾,故方程没有负数根.四.回顾小结：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论. 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.五. 推理与证明作业6（间接证明）答案:1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 .假设三内角都不大于60度；假设三内角都大于60度； 假设三内角至多有一个大于60度； 假设三内角至多有两个大于60度.2.用反证法证明：“f(n)被3除余1”，应假设_ . f(n)被3除余数不是1，即f(n)=3m（m）或f(n)=3m+1（m）3.设大于0，则3个数：，的值 _ . (填序号) 都大于2 ; 至少有一个不大于2 ; 都小于2 ; 至少有一个不小于2 .4.求证：无论为何值，关于x的一元二次方程与方程至少有一个方程有实根.证明：假设上述两方程都无实根，则，化简得显然满足该不等式组的实数m不存在.因此假设错误, 当时，所给两方程至少有一个有实根.5.设数列是公比为的等比数列，是它的前项和.（1）求证：数列一定不是等比数列；（2）数列能是等差数列吗？请判断并说明理由.证:（1）略 （2）时，是；时，不是.6.已知正数成等差数列，且公差，求证：不可能是等差数列.7设函数中，均为整数，且均为奇数. 求证：无整数根.证明：假设有整数根，则而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数,或同时为偶数，为奇数，当为奇数