81周期运动.doc

振盪力學p11/11振盪8.1週期運動 振盪或振動是一種重覆一連串固定的運動物體在某固定路徑來來回回。倘振盪是在確定時間間隔重複運動，這種運動稱為週期運動或諧運動。頻率f是每秒的振盪次數。單位為赫Hertz (Hz)。週期或周期T 是一次完整振盪所須的時間。單位是秒second (s)。倘周期與振幅無關，這種運動稱為等時運動。r例8-1 NONABOABx(-)x(+)v(-)v(-)v(+)v(+)a(-)a(-)a(+)a(+)是在O點附近沿直線AB振動的物體。O點是平衡位置，即粒子在該位置所受的淨力為零。試分析物體N的加速度、速度和位移。解在週期運動中，加速度、速度和位移三者均須要週期性地改變各自的量值和方向。其中位移和加速度兩者的方向必須相反，否則物體會向單一方向移動而永不折返。q週期運動中，加速度a與位移x的最簡單關係自然是 a -x 。這種運動稱為簡諧運動。所有週期運動，不論多複雜，都可以考慮為由很多簡單的周期運動組合而成。這簡單的運動就是簡諧運動。8.2簡諧運動 定義利用加速度的量值和方向寫出。若一物體的加速度與它離開某固定點的距離成正比，而方向總是指向該點，那麼這種運動就是簡諧運動。深入分析簡諧運動時，須考慮粒子沿圓形 x2 + y2 = A2 ：半徑為A，中心為(0,0) 。粒子並且以線速度v和角速度w 移動。粒子在x-軸上的投影的運動就是簡諧運動。若運動由(A, 0)點出開始，而q = wt投影在x-軸上的位置x = A cos qx = A cosw t投影沿x-軸的速度vx = -v sinqvx = -v sinw t投影沿x-軸的加速度ax = -aC cosqax = -aC cosw t固此，ax和x兩者的關係是上面的結果亦可以利用ax = d2x/dt2求得。按定義，粒子沿x-軸的投影的運動是簡諧運動。當中A是振幅而T是週期。其中w 在這時稱為簡諧運動的角頻率。簡諧運動的自然頻率或固有頻率f是簡諧運動公式的總結對於初始時，x最大值而v為零的情況。對於初始時，x為零而v最大值的情況。ax的最大值 = Aw2 當x = A時vx的最大值 = Aw 當x = 0時r例8-2 作簡諧運動的粒子在距離平衡位置0.03 m以及0.04 m的地方，速度分別是0.04 m s-1和0.03 m s-1。求(a) 振盪的振幅(b) 週期以及(c) 當粒子通過平衡位置時的速度。解(a) 0.04 = w(A2 - 0.032) 和0.03 = w(A2 - 0.042)A = 0.05 m 和 w = 1 s-1 (b) T = 2p/w T = 2p s(c)當x = 0時，vv = w(A2 - 0) v = (1)(0.05) = 0.05 m s-1.q8.3旋轉矢量模型 每一個簡諧運動是可以理想成一個圓周運動的投影。這數學模型稱為旋轉矢量模型。透過這模型，可以輕易地讀出兩個簡諧運動的相位差。加速度會領先速度相位90o，而 速度會領先位移相位90o。FPI 113 圖 8.6, 8.7FPI 114 例題 3a8.4回復力 必有一淨力作用在簡諧運動的物體才會加速運動。同時此力須與-x成正比。這種力稱為回復力。考慮一回復力F施於質量m的物體，並符合以下方程式其中k 是正的常數。然後，質量m的加速度a會是按定義，這運動是簡諧運動。比較a = -w2x角頻率w 公式 周期T 和自然頻率f 公式是 和 r例8-3 質量0.2 kg的粒子正進行周期為2.0 s和振幅為0.05 m的簡諧運動。作用在粒子最大淨力是多少？解(a) a = - w2x and T = 2p/w最大(a) = (2p/T)2A = 0.50 m s -2 ，最大(F) = 0.01 Nqr例8-4 以下哪些力與位置的函數在位移很小的時候可以是簡諧運動？略加解釋。(a) F = -5x2、(b) F = 2x、(c) F = -3x + x2、(d) F = -x/(1-x) 解(a)和(b)兩個函數均不是回復力。兩者的力方向並不會永遠與位移方向相反。只有(c)和(d)兩個函數在位移很小的時候可以是簡諧運動。對於(c)，x2項在細小x下相對-3x項可以忽略。固此，其F函數是回復力。對於(d)，在細小x下F = -x(1 + x + )。固此，其F函數亦是回復力。q8.5簡諧運動的例子 水平質量彈簧系統放置質量m的小盒子在光滑桌面上。再用力常數分別為k1和k2的兩條已伸長輕彈簧在小盒子兩邊拉，如圖所示。設e1和e2 分別為兩條彈簧初始的伸長。所以k1e1 = k2e2將盒子由平衡位置O移一細小距離A，然後放開。某時刻，盒子在距平衡位置O右方x處。取向右方向為正。作用在盒子的淨力SF = k2(e2 - x) + -k1(e1 + x)SF = -k2x -k1x + k2e2 -k1e1ma = -(k2 + k1)x按定義，這運動是簡諧運動。比較a = -w2x角頻率w 公式 另 垂直質量彈簧系統質量m保持靜止並連接到一未伸長力常數為k的輕彈簧空出的一端。輕彈簧的另一端則固定。原點O設於平衡位置，而R是釋放質量的位置。取向下為正。設e是彈簧在平衡位置時的伸長。然後，mg = ke設l是質量由R量起可到達的最低位置。重力勢能損耗 = 彈性勢能增益mgl = 0.5kl2ke = 0.5kl 即 l = 2e因此，伸長e亦是這振盪的振幅。 某時刻，質量在距平衡位置O下方y處。作用在質量的淨力SF = mg - k(e + y)ma = -ky按定義，這運動是簡諧運動。比較a = -w2x角頻率w 公式 即 r例8-5 盒子光滑面托盤30oaNmgsin輕托盤首先與相連的輕彈簧放置在光滑斜面上。將0.05 kg的小盒子放在托盤上後，彈簧壓縮了0.1 m，如圖所示。(a) 求細小振盪的周期。(b) 倘盒子亦在進行簡諧運動，盒子的最大振幅是多少？解(a) mgsin30o = ke 0.05*10*0.5 = k*0.1 k= 2.5 N m-1T = 2p(m/k) = 2p(0.05/2.5) = 0.889 s(b) 設N為托盤作用在盒子上的法向力。倘振幅是最大，振動會剛好將盒子振起，即N = 0。.這情況只會發生在托盤向下加速時。 SF = ma m gsin - N = ma因此，這情況會當a = gsin時發生。而硬幣簡諧運動的最大加速度亦只可以是gsin。所以Aw2 =gsin A = 0.10 mq單擺單擺是一條非常長的線和細小的錘所組成。線的長度是l而錘的質量是m。將錘拉開一段小距離然後放開。設立如圖的x-軸，原點為O。當錘在位置P時，沿x-方向施於錘的力是Fx = -mg sin q當 q 很少時( 15o)，x會近乎水平而sin q q Fx = -mgq ma = -mg(x/l)按定義，這運動是簡諧運動。比較a = -w2x角頻率w 公式 即 r例8-6 某單擺的錘初位移是1 cm，而單擺長2 m。 求錘位移x的運動方程。解A = 0.01 m因此，x = A cos wt = 0.01cos (2.24t)q8.6自由振盪的能量 任何機械振盪必須包括兩部份：慣性部份以存儲動能、和回復部份以存儲勢能。但是運動的週期卻不一定與之有關，例如：單擺。不須作功克服阻力作功，即無阻尼的振盪稱為自由振盪。系統的總能量E是E = PE + KE =常數能量隨位移x.的變化：總勢能PE = 1/2 kx2其中k是系統回復部份的力常數。動能KE = 1/2 mv2其中m是系統的慣性部份。但是 而且 k = mw2KE = 1/2 mw2(A2 - x2) = 1/2 k(A2 - x2)總能量E = PE + KE = 1/2 kA2圖線表示能量隨時間t的變化：總勢能PE = 1/2 kx2 = 1/2 k(A coswt)2 = 1/2 kA2 cos2wt動能KE = 1/2 mv2 =1/2 m(-Aw sinwt)2 = 1/2 kA2 sin2wt總能量E = PE + KE = 1/2 kA2圖線表示r例8-7 略繪垂直質量彈簧系統的彈性勢能隨時間變化的圖線。彈簧在平衡位置的伸長為e而系統的振幅為A。解qr例8-8 略繪垂直質量彈簧系統的重力勢能隨時間變化的圖線。彈簧在平衡位置的伸長為e而系統的振幅為A。設平衡位置時，質量的重力勢能為零。解qr例8-9 略繪垂直質量彈簧系統的總勢能隨時間變化的圖線。彈簧在平衡位置的伸長為e而系統的振幅為A。設平衡位置時，質量的重力勢能為零。(FP I 112)垂直彈簧解q8.7阻尼運動 定性分析不像無阻尼運動，很多時若不輸入能量，振盪中的物體振幅會逐漸下降。阻尼運動分為三類。微阻尼運動，物體的振幅會逐漸下降，同時週期會緩緩上升。過阻尼運動，物體會在一段時間後才回復到平衡位置。臨界阻尼運動，物體會在最短時間(約T/4)回到平衡位置。r例8-10 略繪以下振盪系統的位移時間圖線(a) 微阻尼(b) 過阻尼、和(c) 臨界阻尼解q阻尼會損耗能量，但某些情況下是非常有用的。例如動圈式電錶指針的臨界阻尼是利用了電磁力為阻尼力、而汽車懸掛系統震動吸收器的臨界阻尼是利用了液體黏滯力為阻尼力。8.8受迫運動 定性分析若施加一週期力於振動系統上，系統會隨之震盪，而且頻率與驅動力的頻率相同初始時，會有一個過渡期。此時能量會不斷傳入受驅動系統。過渡期完結時，輸入功率會相等於輸出功率。振盪的輸出功率可以是阻尼力或驅動力所作的負功。振幅方面則與驅動頻率有關。當驅動頻率與受驅動系統的固有頻率相等時，受驅動系統的振幅會到達最大值，就是發生了共振。例如小朋友盪鞦韆。在共振發生時，功率傳輸是最有效的，而驅動力永遠對系統作正功。這時，力與振盪物體的速度永遠同相。即力會領先位移相位90o。倘驅動力的頻率比受驅動系統的自然頻率低很多時，驅動力與振動物體位移會差不多同相。但是倘驅動力的頻率比受驅動系統的自然頻率高很多時，驅動力與振動物體位移會差不多反相。r例8-11 巴爾通擺 這組合體是由若干套有塑料環的紙錐擺所組成。驅動擺是一重擺錘。所有擺懸掛在同一根繩上。.哪一個錐擺的振幅最大？略加解釋。解錐擺Q 錐擺Q由虛線量起的長度與驅動擺的相同。因此，它的固有頻率與驅動擺的頻率相同。從而發生了共振。qr例8-12 已知受驅動系統的固有頻率是fo。略繪(a) 微阻尼的受驅動系統的振幅、(b) 微阻尼的受驅動系統的相滯；及(c) 受驅動系統的振盪頻率隨驅動系統的頻率fa而變化的圖線。解(a) (b) (c) q8.9共振的例子 機械共振一般而都想避免。例如塔康馬海峽大橋(Tacoma N