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第九章第九章 光子晶体光子晶体 Photonic Crystal 及其应用及其应用 9 1 光子带隙结构 光子带隙结构 Photonic Band Gap structure 1 1 光子带隙结构及其主方程光子带隙结构及其主方程 周期性的电介质结构周期性的电介质结构 光子晶体 光子晶体 PBG结构结构 rar 电磁波方程电磁波方程 0 0 B E t D H t D B 0 0 f f J ED HHB r r 0 00 光频区光频区 若介质为各向异性若介质为各向异性 可为张量可为张量 1 r r 对于单色波对于单色波 ti erEtrE ti erHtrH 可求出 可求出 2 2 0 1 r r H rH r rc i E rH r r 主方程主方程 Master Equation r 比较周期势场中的比较周期势场中的 Schrodinger方程 方程 2 2 2 V rrEr m V raV r 1 2 rar rH c rH r 能隙能带 E光子能隙光子能带 2 c 都应遵从 都应遵从Bloch 定理 定理 略去略去 的下标的下标 PBG结构中光的传播归结为求解主方程 结构中光的传播归结为求解主方程 1 2 rH c rH r 这是一个矢量函数这是一个矢量函数 的的本征方程本征方程 rH 如果引入算符如果引入算符 1 r 则方程即 则方程即 2 rH c rH 算符的性质 算符的性质 2 1 Hermitian是厄米算符 是线性算符 坐标空间 坐标空间 3 3 3 3 1 1 1 d rFG d rFG d rGF d rFGF G GF 为任意矢量函数为任意矢量函数 GF 这里我们用到了这里我们用到了 BAABBA 为什么用为什么用 的方程而不用的方程而不用 的方程 是因为这样一来的方程 是因为这样一来 所得到的本征方程中对应的算符不是所得到的本征方程中对应的算符不是 Hermitian 如用如用 的方程 的方程 非横场 因之 之后将采非横场 因之 之后将采 用用 的本征方程 的本征方程 H D E 0E 2 2 主方程的平面波展开解主方程的平面波展开解 由由 rar 可可Fourier展开 展开 iG r G G re 3 1 iG r G cell d rr e rH 由由Bloch定理定理 及横场条件及横场条件 0H 1 2 i K G r G G H rhe e 其中其中 0eKG 且且 KG KG 2 e 1 e 形成右手系形成右手系 3 e 代入方程代入方程 2 2 1 H rH r c 11 2 2 2 1 1 2 2 GG iG ri K Gri K G r G GG GG G h e h eee hc h e 在在 坐标系中计算坐标系中计算 2 KG e KG 1 e G rGKi G G rGKi GGG G i G e h h c e eh eh GKie rG 2 2 2 1 1 2 1 2 1 11 2 2 2 1 1 3 2 2 GG iG ri K Gri K G r G GG GG G h e h ei KG eee hc h e 21 2 1 2 1 1 2 2 GG iG ri K Gri K G r G GG GG G h e h ei KGee hc h e 21 2 1 2 1 1 2 2 GG i G K Gri K G r G GG GG G h e h i KGee hc h e 2 GKG e GKG 1 e 在在 坐标系中计算坐标系中计算 21 21 1 2 11121 1 21222 2 2 GG G G G GG G i G K Gri K G r G G h e eh e ee i GKGi KG h eeh eee h ee hc 21 21 1 2 11121 1 3 21222 2 2 GG G G G GG G i G K Gri K G r G G h e eh e ee GKGKGe h eeh eee h ee hc 21 21 1 2 21221 1 11122 2 2 GG G G G GG G i G K Gri K G r G G h eeh eee GKGKG h e eh e ee h ee hc 1 2 1 2 12221 1211 2 2 G G G GG G i G K Gri K G r G G h eeee GKG KG he ee e h ee hc 比较两边系数比较两边系数 KGG KG 左 右 11 22 2 12221 2 G 1211 GG G GGG hh eeee KG KG hhce ee e 11 G G GG 1 其中其中 的的Fourier展开式的系展开式的系 数中对应数中对应 项项 GG 这是一个无穷维本征值问题 只能用数值方法求解并这是一个无穷维本征值问题 只能用数值方法求解并 只计算有足够精度的有限个平面波项 只计算有足够精度的有限个平面波项 本征方程给出了本征方程给出了 的关系即的关系即色散曲线色散曲线 dispersion relation 因之可以得到因之可以得到能带结构图能带结构图 k 为了求解本征方程为了求解本征方程 必须先求出系数必须先求出系数 矩阵矩阵 它是 它是 的的Fourier变换 有两个办法变换 有两个办法 得到得到 1 G G 1 r 1 G G 1 直接求 直接求 函数的函数的Fourier变换变换 1 r 13 11 i G Gr G G cell d re r 2 先求出 先求出 的的Fourier变换变换 r 3 1 i G Gr G G cell d rr e 然后由然后由 组成的矩阵再求逆矩阵 得组成的矩阵再求逆矩阵 得 1 G G G G kr 3 光子晶体中的缺陷光子晶体中的缺陷 defect 当周期性有部分受到破坏时 即出现所谓 缺陷 当周期性有部分受到破坏时 即出现所谓 缺陷 影响到其能带结构影响到其能带结构 设设非周期非周期的变化为的变化为 则介电常数为 则介电常数为 r rr 11 V r r rrrrrr 主方程改为主方程改为 2 2 1 V rH rH r rc 可用类似微扰的方法处理可用类似微扰的方法处理 4 各向异性光子晶体的本征方程各向异性光子晶体的本征方程 此时此时 不再是标量函数 而是一个张量函数不再是标量函数 而是一个张量函数 当然当然 也是一个张量函数也是一个张量函数 r r 1 r 注意在推导本征方程时不能改变注意在推导本征方程时不能改变 的位置顺序 最的位置顺序 最 后得 后得 1 G G 11 22 1 1 2 2221 2 1 1 1211 G GG GGG GGG G GG G hh eeee KG KG hhc eeee 系数矩阵中 每一个元素最终都是标量系数矩阵中 每一个元素最终都是标量 9 2 19 2 1 D 2D 2 D 3D 3 D D 光子晶体光子晶体 倒易格子和布里渊区倒易格子和布里渊区 The reciprocal lattice and Brillouin zone 倒易格矢倒易格矢 reciprocal lattice vector 123 Glbmbnb 原胞格矢 原胞格矢 primitive lattice vector 123 aaa 补充知识补充知识 123 231 312 2 2 2 baa baa baa 123 aaa Brillouin Zone 以某一倒易格点为原点以某一倒易格点为原点 连结相邻的各倒易格矢连结相邻的各倒易格矢 作各作各 连结矢量的垂直平分面连结矢量的垂直平分面 这些平面围住的这些平面围住的 包含原点在包含原点在 内的区域称内的区域称布里渊区布里渊区 只需研究该区内的只需研究该区内的 即可 其他倒易空间中的即可 其他倒易空间中的 都都 可由这个区的可由这个区的 加上加上 来得到来得到 k k kG aa 2 a 2 a a a 1 D 2 D 1 1 D 光子晶体 多层膜 光子晶体 多层膜 只考虑光垂直电只考虑光垂直电 介质分界面的传介质分界面的传 播播 当介质的当介质的 时 用多层膜分界面上的反射波时 用多层膜分界面上的反射波 叠加可说明对某些频率的光波呈现高反叠加可说明对某些频率的光波呈现高反 从光子能带的观点看 这些频率是落在带隙之内 这从光子能带的观点看 这些频率是落在带隙之内 这 种频率的光是不能在晶体中传播的种频率的光是不能在晶体中传播的 12 Z KK 典型能带图典型能带图 GaAs 11 22 130 2 10 8 da da Brillouin区 z k aa 特点 特点 1 只要 只要 1 D光子晶体总是有能隙出现光子晶体总是有能隙出现 12 2 差别越大 差别越大 gap越大越大 12 3 若有缺陷 在带隙会出现 缺隙模 场分布若有缺陷 在带隙会出现 缺隙模 场分布 于缺陷周围于缺陷周围 各向异性各向异性1 D光子光子 晶体的能带图实例晶体的能带图实例 1 2 2 31042 3195292 3409 7 2910 2414 44 xyz 二套能带对应不同的偏振的传播模式二套能带对应不同的偏振的传播模式 k a 10 5 2 2 D 光子晶体 圆柱方阵 介质方阵 圆孔方阵光子晶体 圆柱方阵 介质方阵 圆孔方阵 实例 实例 对对 的波的波 0 z k zH 0 zE TE modes zE 0 zH TM modes 典型能带图典型能带图 Brillouin Zone 0 k x a y a x a X M 特点 特点 1 TM modes 存在带隙存在带隙 TE modes 没有带隙没有带隙 2 Band gap 除明显地依赖于除明显地依赖于 外 还取决外 还取决 于于 的值的值 1 2 r a 3 缺陷模缺陷模 4 可存在其它的可存在其它的 2 D 光子晶体 允许全偏振带光子晶体 允许全偏振带 隙存在隙存在 3 3 D 光子晶体光子晶体 介质球 介质球 FCC SC Diomond Structure 实例实例 Dimond lattice of air sphreres in a high materials 高折射率介质中的空心球金刚石结构高折射率介质中的空心球金刚石结构 13 0 235ra 特点特点 1 有有complete Bad Gap 即任意 即任意 方向都存在方向都存在 带隙 带隙 并非所有并非所有3 D结构都有完全带隙 只结构都有完全带隙 只 有少数结构有有少数结构有 k 2 其他特点类似其他特点类似 Large 3D Photonic Band Gap Crystals O Toader et al Science 292 1133 2002 Square spiral structure Photonic band structure of square spiral structure Photonic Crystal Waveguides A Mekis et al PRL77 p 3787 1996 a 1 0 m r 0 35 m Sharp bend waveguide M Notomi et al PRL 87 p 253902 2001