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第 23 课时 推理与证明 一 基础练习 1 设平面内有 n 条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过 同一点 f n 表示这 n 条直线交点的个数 则 f 4 当 n 4 时 f n 用 n 表示 2 由图 1 有面积关系 PA B PAB SPAPB SPAPB 则由图 2 有体积关系 P A B C P ABC V V 3 用反证法证明 形如 4k 3 k N 的数不能化为两个整数的平方和 时 开始假 设结论的反面成立应写成 4 凡自然数是整数 4 是自然数 所以 4 是整数 以上三段论推理 A 正确 B 推理形式不正确 C 两个 自然数 概念不一致 D 两个整数 概念不一致 5 如图所示 面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai i 1 2 3 4 此四边形内任一点 P 到 i 条边的距离记为 hi i 1 2 3 4 若 3124 1234 aaaa k 则 4 1 2 i i S ih k 类比以上性质 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si i 1 2 3 4 此三棱锥内任一点 Q 到第i个面的距离记为Hi i 1 2 3 4 若 3124 1234 SSSS K 则 4 1 i i iH 二 例题析解 例 1 设有椭圆 22 1 259 xy F1 F2是其两个焦点 点 M 在椭圆上 1 若 F1MF2 90 求 F1MF2的面积 2 若 F1MF2 60 F1MF2的面积是多少 若 F1MF2 45 F1MF2的面积又 是多少 3 观察以上计算结果 你能看出随 F1MF2的变化 F1MF2的面积将怎样变化吗 试证明你的结论 例 2 1 已知 a b c 为互不相等的实数 求证 a4 b4 c4 abc a b c 2 已知 a 0 求证 2 2 11 22aa aa 例 3 已知下列三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 其中至少有 一个方程有实根 求实数 a 的取值范围 三 巩固练习 1 已知 f x 11 1 2 2 nn x xxf xnnN x 猜想 xn 2 有一个奇数列 1 3 5 7 9 现进行如下分组 第一组有 1 个数 1 第二组 有 2 个数 3 5 第三组有 3 个数 7 9 11 依此类推 则每组内各数之和 Sn与其 组的编号数 n 的关系是 3 设 a b 均为正数 且 a b 求证 a3 b3 a2b ab2 4 证明 若 a2 2ab b2 a b 2 0 则 a b 1 是真命题 反证法 5 我们可以运用下面的原理解决一些相关 图形的面积问题 如果与一固定直线平行的直线 被甲 乙两个封闭的图形所截得线段的比都为 k 那么甲的面积是乙的面积的 k 倍 你可以从 给出的简单图形 中体会这个原
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