概率论与数理统计徐雅静.doc

概率论与数理统计第一章习题参考解答1、写出下列随机试验的样本空间。（1）枚硬币连掷三次，记录正面出现的次数。（2）记录某班一次考试的平均分数（百分制记分）（3）对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。解：（1）S = 0,1,2,3，（2） S =k/n: k=0,1,2, ,100n，其中n 为班级人数，（3） S = 00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111，其中0表示次品，1 表示正品。（4）S = (x, y) x2 + y2 12、设A、B、C 为三事件，用A、B、C 的运算关系表示下列各事件（1）A、B、C 中至少有一个发生（2）A、B、C 中恰好有一个发生（3）A、B、C 都不发生（4）A、B、C 中不多于一个发生（5）A、B、C 中不多于两个发生解：（1）A B C（2）ABC ABC ABC（3）A B C 错解ABC = A U B UC（4）即至少有两个不发生A B A C B C（5）即至少有一个不发生ABC = A U B UC2、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。（1）成立， （2）不成立， （3）不成立， （4）成立（5）成立， （6）成立 （7）成立 （8）成立4、把A B C表示为互不相容事件的和。解：(A AB)(B BC)(C CA) ABC 答案不唯一5、设A、B 是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7。问（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？最小值是多少？（1）A B时，P(AB) = 0.6为最大值，因为 A、B 一定相容，相交所以A 和B 重合越大时P（AB）越大（2）A B = S 时，P（AB）=0.3 为最小值6、若事件A 的概率为0.7，是否能说在10 次实验中A 将发生7 次？为什么？答：不能。因为事件 A 发生的频率具有波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等于事件A 发生的概率。7、从一批由1100 件正品，400 件次品组成的产品中任取200 件。（1） 求恰有90 件次品的概率（2） 求至少有两件次品的概率。（1）2001500110110090400CC C， （2）2001500199110014002001 1100CC + C C8、在房间里有10 个人，分别佩带从1 号到10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。（1） 求最小号码为5 的概率。（2） 求号码全为偶数的概率。（1）最小号码为5，即从6、7、8、9、10 里选两个，所求概率为31025CC=121（2）号码全为偶数，即从2，4，6，8，10 里选三个，所求概率为31035CC=1219、在0，1，2，3，.，9 共10 个数字中，任取4 个不同数字排成一列，求这4 个数字能组成一个偶数四位数的概率。解：设事件“组成一个偶数四位数”为A任取4 个不同数字排成一列共有： 410 A 种解法一组成一个偶数四位数有281414281515:A A AA A A首位偶首位奇904110 9 8 7( ) 41 8 7 410281414281515 = =+ =AP A A A A A A A解法二分末位0 和末位不为0 两种，组成一个偶数四位数有39281814 C C A + A 种90( ) 41 41039281214 =+ =AP A C C A A错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.10、求10 人中至少有两人出生于同一月份的概率。解：10 人中至少有两人出生于同一月份的概率为:101012121 C 10! =0.99611、从5 双不同的鞋中任取4 只，求这4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率。解：从 5 双鞋中取4 只，至少配成一双的概率为：410252 2415 2CC C +C或4104 45 1 2C C 或 410252815CC C C12、将3 个球随机的放入4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3 的概率。解：杯中最多有一个球时，概率为166433A4 =;杯中最多有两个球时，概率为1694313142C3C C =;杯中最多有三个球时，概率为16143143C3C =;13、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为1 小时和小时。设甲乙两船在24 小时内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解：设 X、Y 分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足Y X 1而乙到甲未到应满足 X Y 2所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为24 2423 23222 22 1224 24 1 P = =0.879314、从区间（0，1）内任取两数，求这两个数的积小于1/4 的概率。解：设从区间（0，1）所取两数为X、Y要使41 XY， 0.561434 2321 1= =P或者 ln 221414141 1 14= + 1 dx = +xP15、随机地想半圆0 y 2ax x2 (a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求从原点到该点的连线与x 轴正向的夹角小于4的概率。解：如图半圆区域为样本空间 S 对平方移项 (x-a)2+y2=a2 ，事件“与原点连线与0x 轴的夹角小于4”为AA 为如图阴影部分（蓝色）其中 22m(s) = 1 a ， 22214m(A) = a + a( )( ) ( )m sP A = m A =121 +16、已知P(A)= 0.3, P(B) = 0.4，P(AB)= 0.5，求P(B A B)解：QP(AB) = P(A) P(AB) =0.7-0.5=0.2( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )P A P B P ABP ABP A BP B A B P AB+ = = =0.7 0.6 0.50.2+ =0.2518、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4, 13, 151。求密码被破译的概率。解：设 A 第i个人能破译 I = ，则所求为( ) 1 2 3 P A A A( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 P A A A = P A P A P A 0.643325= 1 4 =19：设有4 张卡片分别标以数字1，2，3，4，今从中任取一张。设A 表示事件“取到标有1 或2 的卡片”，B 表示事件“取到标有1 或3 的卡片”，C 表示事件“取到标有1 或4 的卡片”。验证P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) P(ABC)解：显然2P(A) = P(B) = P(C) = 1 ， ,4P(AB) = 14P(BC) = 1 ， ,4P(ABC) = 14, ( ) ( ) ( ) 14, ( ) ( ) ( ) 14P(AB) = P(A)P(B) = 1 P AC = P A P C = P BC = P B P C =而( )8P(A)P(B)P(C) = 1 P ABC20、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。解：设 A=“在三次内能拨通电话”，= i A 第i 次能拨通电话“i=1，2，3，则 1 1 2 1 2 3 A = A A A A A A( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 P A = P A + P A A + P A A A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 = P A + P A P A A + P A P A A P A A A10381981099110910= 1 + + =21、一批零件共100 个,其中次品10 个.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回,(1)求第三次才取到正品的概率;(2)求第三次取到正品的概率.解：设 Ai=“第i 次取到正品”i=1，2，3，A=“第三次才取到正品”， B=“第三次取到正品”（1）所求为( ) ( ) 1 2 3 P A = P A A A解法一 ( ) 1 2 3 P A A A 0.008399 98813100190210 =AA A解法二 ( ) 1 2 3 P A A A 198199110019019110C C C= C C C解法三 用乘法公式( ) 1 2 3 P A A A ( | ) ( ) 3 1 2 1 2 = P A A A P A A( | ) ( | ) ( ) 3 1 2 2 1 1 = P A A A P A A P A0.008341001099998= 90 =解法一 直接计算法 样本空间的取法:1981991100 C C C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B = A A A U A A A U A A A U A A A( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P B = P A A A U A A A U A A A U A A A然后利用加法公式和乘法公式19819911001881891( ) 90C C CP B = C C C + 1981991100189110190C C CC C C+ 1981991100189190110C C CC C C+ 198199110019019110C C CC C C=0.892解法二 用全概率公式：一、二两次取球情况有1 2 1 2 1 2 1 2 A A , A A , A A , A A ，构成了样本空间的一个划分令 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 B = A A , B = A A , B = A A , B = A A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 P B = P B P A B + P B P A B + P B P A B + P B P A B1981991100188189190C C C= C C C + 1981991100189190110C C CC C C+ 1981991100189110190C C CC C C+ 198199110019019110C C CC C C=0.89222、设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 只白球、m 只红球；乙袋中装有N 只白球、M 只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。求从乙袋中取到白球的概率。解：设 A=“从甲袋中取出白球一只”， B=“从乙袋中取到白球”用全概率公式：P(B）= P(AB) + P(AB)= P(A)P(B A) + P(A)P(B A)= + +111111N MNn mnCCCC11111+ + +N MNn mmCCCC( )( 1)( 1)+ + + +=m n N Mn N mN23、如图,1,2,3,4,5 表示继电器接点.假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立,求L 至R 是通路的概率.解法一: 设事件“L 至R 是通路”为ABi 为事件“i 接点闭合”,i=1,2,5( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 3 3 3 3 P A = P A B P B + P A B P B 其中( | ) ( )( ) 3 1 4 2 5 P A B = P B B B B( ) ( ) 1 4 2 5 = P B B P B B2 2 2 21 4 2 5 = 1 P(B )P(B )1 P(B )P(B ) = 1 (1 p) = p (2 p)( | ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 3 1 2 4 5 1 2 4 5 P A B = P B B B B = P B B P B B = = 1 (1 p2 )2 = 2 p2 p4P(A) = p3 (2 p)4 + (2 p2 p4 )(1 p) = 2 p5 5p4 + 2 p3 + 2 p2解法二： 同解法一 i A,B1 4 2 5 1 5 4 2 3 2 4 1 5 3 A = (B B )(B B ) B B B B B B B B B B( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 4 2 5 1 5 4 2 3 2 4 1 5 3 P A = P B B B B P B B B B B P B B B B B2 31 4 2 5 = P(B B )P(B B ) 2 p (1 p)= 1 (1 p)2 2 2 p2 (1 p)3 = 2 p5 5p4 + 2 p3 + 2 p224、甲、乙、丙同时向飞机射击，三人中命中率分别为0.4,0.5,0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若被三人击中,飞机必定被击落.求飞机被击落的概率.解： 设 Ai=“飞机被i 人击中”，i=1，2，3B=“飞机被击落”用全概率公式( ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3P B）= P A B A B A B = P A B + P A B + P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 = P A P B A + P A P B A + P A P B A （1）设D 甲=“飞机被甲击中”，D 乙“飞机被乙击中”，D 丙“飞机被丙击中”则 ( ) = 1 P A 甲乙丙P(D D D 甲乙丙D D D ） 甲乙丙D D D= ）+ 甲乙丙P(D D D ) 甲乙丙P（ D D D ） 甲乙丙+ P(D D D由于甲乙丙的射击是相互独立的， ( ) = 1 P A ）+ 甲乙丙P(D )P(D )P(D ) ( ) ( ) 甲乙丙P（ D P D P D） 甲乙丙+ P(D )P(D )P(D= 0.4 0.5 0.3 +