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第三节 泰勒（Taylor）公式一、泰勒（Taylor）公式回忆：利用函数的微分来近似表示函数的增量，即或为；当相当小时，可以用（）一次式来近似表示，且满足、其误差为；可以用（）二次式来近似表示，且满足、其误差为。更一般地,设函数 有导数，可以用（）的一个n次多项式来近似表示, 且满足，,其误差为。可以求出，从而有：泰勒（Taylor）中值定理： 设函数在含有的某个开区间内具有阶导数，则当时，可以表示为（）的一个n次多项式与一个余项之和，即：，其中，而界于与之间。注：称为函数按（）的密展开的n阶的泰勒公式（为函数在点展开到n阶的泰勒公式），称为拉格朗日余项。 （2）事实上，当时，是的高阶无穷小，即，此时称为皮亚洛（Peano）余项。 （3）若，则有，其中（或），称此式为函数展开到n阶的麦克劳林（Maclaurin）公式。 （4）可以利用函数的泰勒公式和麦克劳林公式来进行近似计算。并可以估计误差的大小，当时，。例1：写出的带拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式，解：，（； 当，可以计算出，其误差不超过。二、几个常用函数的麦克劳林（Maclaurin）公式（1），（2），（），
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