2011高考真题重庆卷-数学理

欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 满分 150分 .考试时间 120分钟 . 注意事项： 1 答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上 . 2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号 . 3答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 . 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 . 5考试结束后，将试 题卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数 2341i i iiA 1122iB 1122iC 1122iD 1122i2“ x ”是“ x ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 3已知 l i m ( )xaxxx ，则 a A B 2 C 3 D 6 4 ( 1 3 ) ( 6 )nx n N n其 中 且 的展开式中 56xx与 的系数相等，则 n= A 6 B 7 C 8 D 9 5下列区间中，函数 f x = ( 2 )In x（ ） 在其上为增函数的是 A（ - ,1 B 41,3C 30,2D 1,2 6若 ABC的内角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c满足 22a b 4c （ ） ，且 C=60，则 ab的值为 A 43B 8 4 3 C 1 D 237 已知 a 0， b 0， a+b=2，则 y= 14ab的最小值是 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 A 72B 4 C 92D 5 8在圆 06222 yxyx 内，过点 E（ 0， 1）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD的面积为 A 25 B 210 C 15 2 D 220 9高为 24的四棱锥 S-ABCD的底面是边长为 1的正方形，点 S、 A、 B、 C、 D均在半径为 1的同一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点 S之间的距离为 A 24B 22C 1 D 2 10设 m， k为整数，方程 2 20m x kx 在区间（ 0,1）内有两个不同的根，则 m+k的最小值为 A -8 B 8 C 12 D 13 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，把答案写在答题卡相应位置上 11在等差数列 na中，3737aa，则2 4 6 8a a a a _ 12已知单位向量1e，2e的夹角为 60，则122ee_ 13将一枚均匀的硬币投掷 6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 _ 14已知 1s i n c o s2 ，且 0,2，则 cos 2sin 4的值为 _ 15设圆 C 位于抛物线 2 2yx 与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 C 的半径能取到的最大值为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 13分） 设 aR ， 2c o s s i n c o s c o s2f x x a x x x 满足 03ff，求函数 ()fx在 11 , 4 24上的最大值和最小值 . 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 17（本小题满分 13分）（）小问 5分，（）小问 8分） 某市公租房的房源位于 A， B， C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4位申请人中： （）恰有 2人申请 A片区房源的概率； （）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望 18（本小题满分 13分，（）小问 6分，（）小问 7分） 设 ()f x x a x b x 的导数 ()fx满足 ( ) , ( )f a f b ，其中常数,ab R （）求曲线 ()y f x 在点 ( , ( )f处 的切线方程； （） 设 ( ) ( ) xg x f x e ，求函数 ()gx的极值 19（本小题满分 12分，（）小问 5分，（）小问 7分） 如题（ 19）图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC 平面 ACD ， AB BC ，AD CD ， CAD （）若 AD ， AB BC ，求四面体 ABCD 的体积； （）若二面角 C AB D为 ，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 20（本小题满分 12分，（）小问 4分，（）小问 8分） 如题（ 20）图，椭圆的中心为原点 O ，离心率 e ，一条准线的方程为 x （）求该椭圆的标准方程； （）设动点 P 满足： O P O M O N uuur uuur uuur， 其中 ,MN是椭圆上的点，直线 OM 与 ON的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点 ,FF，使得 PF PF为定值？若存在，求 ,FF的坐标；若不存在，说明理由 21 （本小题满 分 12分，（ I）小问 5分，（ II）小问 7分） 设实数数列 na的前 n项和nS，满足 )( *11 NnSaS nnn 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 （ I）若1 2 2,2a S a成等比数列，求2S和3a； （ II）求证：对1 430 3kkk a a 有参考答案 一、选择题：本题考查基本知识 和基本运算，每小题 5分，满分 50分 . 1 5 CADBD 6 10 ACBCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5分，满分 25分 . 11 74 12 3 13 113214 14215 61 三、解答题：满分 75 分 . 16（本题 13分） 解： 22( ) s i n c o s c o s s i nf x a x x x x s i n 2 c o s 2 .2a xx由 31( ) ( 0 ) 1 , 2 3 .3 2 2 2af f a 得 解 得因此 ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 ) .6f x x x x 当 , , 2 , , ( )4 3 6 3 2x x f x 时为增函数， 当 1 1 3 , , 2 , , ( )3 2 4 6 2 4x x f x 时为减函数， 所以 11( ) , ( ) 2 .4 4 3f x f 在 上 的 最 大 值 为又因为 11( ) 3 , ( ) 2 ,4 2 4ff故 11( ) , 4 2 4fx 在上的最小值为 11( ) 2 .24f 17（本题 13分） 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 解：这是等可能性事件的概率计算问题 . （ I）解法一：所有可能的申请方式有 34种，恰有 2人申请 A片区房源的申请方式 224 2C 种，从而恰有 2人申请 A片区房源的概率为 22442 8 .273C 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4次独立重复试验 . 记“申请 A片区房源”为事件 A，则 1( ) .3PA从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k次的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 2 2 244 1 2 8( 2 ) ( ) ( ) .3 3 2 7PC （ II）的所有可能值为 1， 2， 3.又 42 1 3 2 2 2 43 2 4 4 2 34431( 1 ) ,273( ) ( 2 2 )1 4 1 4( 2 ) ( ( 2 ) )2 7 2 733PC C C C C CPP 或1 2 1 2 33 4 2 4 34444( 3 ) ( ( 3 ) ) .9933C C C C APP 或 综上知，有分布列 1 2 3 P 127 1427 49 从而有 1 1 4 4 6 51 2 3 .2 7 2 7 9 2 7E 18（本题 13分） 解：（ I）因 32( ) 1 ,f x x a x b x 故 2( ) 3 2 .f x a x b 令 1 , ( 1 ) 3 2 ,x f a b 得 由已知 ( 1 ) 2 , 3 2 2 , 3 .f a a b a b 因 此 解 得 又令 2 , ( 2 ) 1 2 4 ,x f a b 得 由已知 (2) ,fb 因此 1 2 4 ,a b b 解得 3.2a因此 3235( ) 3 1 , ( 1 )22f x x x x f 从 而欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 又因为 3(1 ) 2 ( ) 3 ,2f 故曲线 ( ) (1 , (1 ) )y f x f 在 点 处的切线方程为 5( ) 3 ( 1 ) , 6 2 1 0 .2y x x y 即 （ II）由（ I）知 2( ) ( 3 3 3 ) xg x x x e ， 从而有 2( ) ( 3 9 ) .xg x x x e 令 212( ) 0 , 3 9 0 , 0 , 3 .g x x x x x 得 解 得当 ( , 0 ) , ( ) 0 , ( ) ( , 0 )x g x g x 时 故 在上为减函数； 当 ( 0 , 3 ) , ( ) 0 , ( )x g x g x时 故在（ 0， 3）上为增函数； 当 (3, )x 时， ( ) 0 , ( ) ( 3 , )g x g x 故 在上为减函数； 从而函数1( ) 0g x x 在处取得极小值2( 0 ) 3 , 3gx 在处取得极大值 3(3) 15 .ge 19（本题 12分） （ I）解：如答（ 19）图 1，设 F为 AC的中点，由于 AD=CD，所以 DF AC. 故由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC， 即 DF是四面体 ABCD的面 ABC上的高， 且 DF=ADsin30 =1， AF=ADcos30 = 3 . 在 Rt ABC中，因 AC=2AF=23， AB=2BC， 由勾股定理易知 2 1 5 4 1 5,.55B C A B故四面体 ABCD的体积 1 1 1 4 1 5 2 1 5 4 .3 3 2 5 5 5ABCV S D F （ II）解法一：如答（ 19）图 1，设 G， H分别为边 CD， BD的中点，则 FG/AD， GH/BC，从而 FGH是异面直线 AD与 BC所成的角或其补角 . 设 E为边 AB的中点，则 EF/BC，由 AB BC，知 EF AB.又由（ I）有 DF平面 ABC， 故由三垂线定理知 DE AB. 所以 DEF为二面角 C AB D的平面角，由题设知 DEF=60 设 , s i n .2aA D a D F A D C A D 则在 33, c o t ,2 3 6aR t D E F E F D F D E F a 中欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 从而 13 .26G H B C E F a 因 Rt ADE Rt BDE，故 BD=AD=a，从而，在 Rt BDF中， 122aF H B D， 又 1 ,22aF G A D从而在 FGH中，因 FG=FH，由余弦定理得 2 2 2 3c o s2 2 6F G G H F H G HF G H F G G H F G 因此，异面直线 AD与 BC所成角的余弦值为 3.6解法二：如答（ 19）图 2，过 F作 FM AC，交 AB于 M，已知 AD=CD， 平面 ABC平面 ACD，易知 FC， FD， FM 两两垂直，以 F 为原点，射线 FM， FC，FD 分别为 x轴， y轴， z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 F xyz. 不妨设 AD=2，由 CD=AD， CAD=30，易知点 A， C， D的坐标分别为 ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ,( 0 , 3 , 1 ) .A C DADu u ur则显然向量 (0, 0,1)k 是平面 ABC的法向量 . 已知二面角 C AB D为 60， 故可取平面 ABD的单位法向量 ( , , )n l m n ， 使得 1, 6 0 , .2n k n o 从 而2 2 23, 3 0 , .661 , .3n A D m n ml m n l u u ur由 有 从 而由 得设点 B的坐标为 6( , , 0 ) ; , ,3B x y A B B C n A B l u u ur u u ur u u ur由 取，有 22 463, ,0,9, ( )633( 3 ) 0 , 73,369xy x xyxyy 解 之 得 舍 去 易知 63l 与坐标系的建立方式不合，舍去 . 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 因此点 B的坐标为 4 6 7 3( , , 0 ) .99B所以 4 6 2 3( , , 0 ) .99CB uuur 从而 22233 ( )39c o s , .6| | | | 4 6 2 33 1 ( ) ( )99A D C BA D C BA D C B u u u r u u uru u u r u u uru u u r u u ur 故异面直线 AD与 BC所成的角的余弦值为 3.620（本题 12分） 解：（ I）由 22 , 2 2 ,2cae ac 解得 2 2 22 , 2 , 2a c b a c ，故椭圆的标准方程为 221.42xy（ II）设1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )P x y M x y N x y，则由 2O P O M O Nuuur uuuur uuur得 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2( , ) ( , ) 2 ( , ) ( 2 , 2 ) ,2 , 2 .x y x y x y x x y yx x x y y y 即因为点 M， N在椭圆 2224xy上，所以 2 2 2 21 1 2 22 4 , 2 4x y x y ， 故 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 ( 4 4 ) 2 ( 4 4 )x y x x x x y y y y 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2( 2 ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 )2 0 4 ( 2 ) .x y x y x x y yx x y y 设 ,OM ONkk分别为直线 OM， ON的斜率，由题设条件知 12121 ,2O M O Nyykkxx 因此1 2 1 22 0 ,x x y y所以 222 2 0 .xy 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 所以 P点是椭圆 22221( 2 5 ) ( 1 0 )xy上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1， F2，则由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|为定值，又因 22( 2 5 ) ( 1 0 ) 1 0c ，因此两焦点的坐标为 12( 1 0 , 0 ) , ( 1 0 , 0 ) .FF21（本题 12分） （ I）解：由题意 2 22 1 2222 2 1 1 22, 2,S a a SSS a S a a 得， 由 S2是等比中项知220 . 2 .SS 因 此由2 3 3 3 2S a S a S 解得 23222 .1 2 1 3SaS （ II）证法一：由题设条件有11,n n n nS a a S故11111 , 1 , ,11nnn n n nnnSaS a a SSa 且从而对 3k 有