法向量在立体几何中的应用.doc

法向量在立体几何中的应用摘要：把立体几何中的点、线、面关系问题及求角求距离问题转化为用法向量解决，本文主要介绍如何取法向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用法向量怎样来表示。把立体几何中的点、线、面关系问题及求角求距离问题转化为用法向量解决，主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角，线线垂直、线面垂直等，传统的方法解立体几何需要繁琐的分析，复杂的计算而用法向量解题思路清晰，过程简单，化难为易得效果 关键词：法向量 距离 成角 垂直 平行 引言 我们在解决多数立体几何问题中，常常比较抽象不容易想到在过去的学习中。通过添加辅助线等转化成比较直观的图形。我们用法向量处理时，不用添加任何辅助线，从而避免了抽象的几何推理和繁杂的几何计算，也就是我们思维含量比较高，计算比较简单。用法向量只需大家记好它的计算方法不必要花太多时间去想，只是计算量比较大一些 法向量在距离方面的应用 利用法向量求点到面的距离 设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，到平面的距离为xOABCDMyz 例1在四棱锥中，如图，底面是边长为的菱形，底面，为的中点，求点到平面的距离解作与点，如图分别图以、所在的直线为、轴建立坐标系，设平面的法向量为又因为线与面垂直，则线于面内任何一条线都垂直则，即 取，则设点到平面的距离为，则为在向量上的投影的绝对值、所以点到平面的距离为利用法向量求线到面的距离若直线平面，为平面的法向量，则直线到平面的距离 注：直线与平面的距离可以转化为点到平面的距离例2已知正方形边长为，过作平面，且分别是和的中点，且，如图。求直线到平面的距离解如图建立直角坐标系，以点为原点，分别以xyPDABCEFz所在直线为轴建立坐标系，又平面又，设平面的法向量为，则，图即 取则设点到平面的距离为，则为在向量上投影的绝对值法向量在求异面直线距离的应用 若异面直线的方向向量分别为，则异面直线的距离为（为异面直线的公共垂直的向量）例3如图，已知正四棱柱中，求异面直线与间的距离zDABC图解以点为原点，分别以所在的直线为轴建立坐标系，则，y，x，设且，由，取则异面直线与间的距离为法向量在求平面与平面间距离的应用若平面平面，为平面的法向量，则平面与平面的距离为： 注：平面与平面的距离转化为点到平面的距离法向量在求角方面的应用 法向量在求直线与平面成角中的应用若直线的方向向量为，为平面的法向量，直线与平面的夹角为，则例4在棱长为的正方体中，为的中点，如图。求直线与平面所成的角解如图4建立直角坐标系，以点为原点，分别以所在的直线为轴建立坐标系，zxyABCDEB1A1D1C1，设平面的法向量为由可取，又图与平面所成的角为法向量在求二面角时的应若分别为平面的的法向量为的平面角，则所夹的角与相等或互补注：在图中所夹的角与相等 在图中所的角与互补图图例5在棱长为的正方体中，为的中点 求解：二面角的大小解如图，建立坐标系，以为原点，分别以直线为轴，则，xzABCDA1D1C1B1设为面的法向量，为面的法向量，又，由，取则y图由，取，则二面角的大小为。法向量在平行方面的应用线面平行如果直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则面面平行如果平面的法向量为，平面的法向量为，则AzBCDA1B1C1D1EFG图DFGB1例在长方体中，分别为的中点，求证：平面 平面平面证明如图建立坐标系，以点为原点，xy以分别为轴，点，又而为面的法向量，又故平面，设为平面的法向量则，即又为平面的法向量，则故平面平面。法向量在垂直方面的应用线面垂直：直线的方向向量为，平面的法向量为，。面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，则。例7正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，分别为yzACDE图Fy的中点，与交与点如图。求证：平面平面 求证面证明 ，设为平面的法向量，Bx为平面的法向量，又，去，则，又，则则故平面平面又故面。总之，前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效参考文献：容德基点拨人民教育出版社20075868卫晓琴数学一本通现代教育出版社201135-38 In three-dimensional geometry in normal vector appliedZhang Rui FengChifeng college mathematics institute 024000 chifengAbstract: the three-dimensional geometry in dot, line, face relationship problems and beg Angle for distance problem into the usage vector solution, this paper mainly introduces how to learning from vector or build space coordinate, find the argument between such parallel vertical petitions Angle and distance, how to say. Usage vector The three-dimensional geometry in dot, line, face relationship problems and beg Angle for distance problem is transformed into solving, mainly including usage vector points to the line and point to surface distance, irrelevant, line and plane into Angle, which made Angle, irrelevant to everything, vertical line and plane perpendicular, traditional methods such as solid geometry need trival solution complex calculation for the analysis, problem solv