曲线的参数方程和与普通方程的互化.ppt

第二讲参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 1 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即叫做曲线的参数方程 t为参数 2 相对于参数方程来说 直接给出点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程 2 圆的参数方程 复习 1 圆的标准方程是什么 它表示怎样的圆 x a 2 y b 2 r2 表示圆心坐标为 a b 半径为r的圆 2 三角函数的定义 3 参数方程的定义 一般地 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即 探求 圆的参数方程 点P在 P0OP的终边上 如图 设 O的圆心在原点 半径是r 与x轴正半轴的交点为P0 圆上任取一点P 若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角 P0OP 求P点的坐标 根据三角函数的定义得 解 设P x y 1 我们把方程组 1 叫做圆心为原点 半径为r的圆的参数方程 其中参数 表示OP0到OP所成旋转角 2 圆心为 2 3 半径为1 x 1 2 y 1 2 25 3 已知圆的方程是x2 y2 2x 6y 6 0 则它的参数方程为 练习 3 参数方程和普通方程的互化 1 参数方程通过消元 代入消元 加减消元 利用三角恒等式消元等 消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 例3 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 例 将下列参数方程化为普通方程 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2 y 2 X 2或x 2 步骤 1 消参 2 注意取值范围 2 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线L的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 在普通方程x2 y2 1中 令x cos 可以化为参数方程 t为参数 为参数 例4 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2后满足该方程 从而D是曲线y x2的一种参数方程 2 曲线y x2的一种参数方程是 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 在y x2中 x R y 0 分析 发生了变化 因而与y x2不等价 在A B C中 x y的范围都 而在 中 且以 D 小结 曲线的参数方程 1 2 曲线的参数方程与普通方程的互化 圆的参数方程 3 第二讲参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 x轴 y轴 应用 1 参数方程可以用来求轨迹问题 2 参数方程可以用来求最值 椭圆的参数方程 例1 解 所以 点M的轨迹的参数方程是 注意 轨迹是指点运动所成的图形 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式 它表示 3 0 为圆心 1为半径的圆 变式 P是椭圆 上的一个动点 点B 6 2 当点P在椭圆上运动时 求线段PB中点M的轨迹参数方程 解 所以 点M的轨迹的参数方程是 它所表示的图形是以 3 1 为中心的椭圆 例2 说明 本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用