浙江省杭州市余杭区普通高中第二共同体高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省杭州市余杭区普高第二共同体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合a=x|x+30，则ra=（） a （，3） b （，3 c （3，+） d c （3，1） d （1，1）3已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（） a b c d 4“ab0”是“log2alog2b”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件5等差数列an的前n项和为sn，若a1=2，s3=12，则a6等于（） a 8 b 10 c 12 d 146若当xr时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为（） a b c d 7函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则y=f（x）对应的解析式为 （） a y=sin（2x） b y=cos（2x+） c y=cos（2x） d y=sin（2x+）8函数f（x）=loga（6ax）在上为减函数，则a的取值范围是（） a （0，1） b （1，3） c （1，3 d 时，f（x）=x若在区间x（1，1内，g（x）=f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围是（） a （0， b 20在数列an中，a2+1是a1与a3的等差中项，设，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）记数列an的前n项的和为sn，若数列bn满足bn=anlog2（sn+2），试求数列bn的前n项的和tn21已知函数f（x）=|xa|（1）若不等式f（x）3的解集为x|1x5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围22设函数f（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为r的奇函数（1）求k值；（2）若f（1）0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在 c （3，+） d 故选b点评： 考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集的运算2向量=（1，3），=（2，1），则2等于（） a （5，5） b （5，5） c （3，1） d （1，1）考点： 平面向量的坐标运算专题： 平面向量及应用分析： 直接利用向量的坐标运算求解即可解答： 解：向量=（1，3），=（2，1），则2=（1，3）2（2，1）=（5，5）故选：a点评： 本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查3已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（） a b c d 考点： 终边相同的角专题： 计算题分析： 将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角的正弦，求出角的最小正值解答： 解：=角的终边在第四象限到原点的距离为1的最小正值为故选d点评： 已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值，应该利用三角函数的定义来解决4“ab0”是“log2alog2b”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 证明题分析： 利用对数函数的单调性和定义即可判断解答： 解：由对数函数的单调性：y=log2x在（0，+）上为单调增函数log2alog2bab0故选 c点评： 本题考查了利用定义判断命题充要条件的方法，对数函数的单调性和定义5等差数列an的前n项和为sn，若a1=2，s3=12，则a6等于（） a 8 b 10 c 12 d 14考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答： 解：由题意可得s3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，公差d=a2a1=42=2，a6=a1+5d=2+52=12，故选：c点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题6若当xr时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为（） a b c d 考点： 对数函数的图像与性质专题： 作图题分析： 由于当xr时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得0a1先画出函数y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x0时，即为y=logax，而函数y=loga|=loga|x|，即可得出图象解答： 解：当xr时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数y=loga|=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选b点评： 本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题7函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则y=f（x）对应的解析式为 （） a y=sin（2x） b y=cos（2x+） c y=cos（2x） d y=sin（2x+）考点： 由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 由周期求得，根据诱导公式以及y=asin（x+）的图象变换规律，可得y=f（x）的解析式解答： 解：由题意可得=，=2把函数f（x）=sin（2x+）图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin（2x+），由于所得函数的图象关于y轴对称，故y=sin（2x+）为偶函数，=k+，kz，即 =k+再结合，|，可得=，f（x）=sin（2x+）=cos（2x），故选：c点评： 本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8函数f（x）=loga（6ax）在上为减函数，则a的取值范围是（） a （0，1） b （1，3） c （1，3 d 上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围解答： 解：若函数f（x）=loga（6ax）在上为减函数，则解得a（1，3）故选b点评： 本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键9若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（） a 2a3 b 1a2 c 1a3 d 1a4考点： 不等关系与不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 不等式对于一切非零实数x均成立|a2|+1，利用基本不等式可得再利用绝对值不等式的解法即可得出解答： 解：不等式对于一切非零实数x均成立，|a2|+12，当且仅当|x|=1时取等号|a2|+12，即|a2|1，1a21，解得1a3实数a的取值范围是（1，3）故选c点评： 正确把问题等价转化和利用基本不等式、解绝对值不等式等是解题的关键10已知函数f（x）+1=，当x时，f（x）=x若在区间x（1，1内，g（x）=f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围是（） a （0， b 内，g（x）=f（x）mxm有两个零点，转化为m=有2个解，令k（x）=，作出图象，运用图象的交点判断零点个数，得出参变量m的取值范围解答： 解：f（x）+1=，数f（x）=1，当x时，f（x）=x当x时，f（x）=1=1，f（x）=m（x+1）有2个解即m=有2个解令k（x）=，则k（x）=k（x）图象如下：k（1）=，k（x）=，与y=m有2个交点时，0g（x）=f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围为：（0，故选：a点评： 本题综合考察了函数的图象的交点，函数的零点，方程的根的关系，考察了数形结合的思想二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=4考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 由分段函数的性质得f（3）=f（1）=f（1）=log216=4解答： 解：定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=f（1）=f（1）=log216=4故答案为：4点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用12已知z=x2y，其中x，y满足不等式组，则z的最小值为4考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 由x，y满足不等式组，画出可行域可知：当直线z=x2y经过点b时，z取得最小值解答： 解：由x，y满足不等式组，画出可行域当直线z=x2y经过点b（0，2）时，z取得最小值4故答案为：4点评： 本题考查了线性规划的有关知识，考查了数形结合的思想方法，属于基础题13若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=486，则log3a1+log3a2+log3a20=50考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 先根据等比中项的性质可知a10a11=a9a12，进而根据a10a11+a9a12=486，求得a10a11的值，最后根据等比数列的性质求得答案解答： 解：a10a11=a9a12，a10a11+a9a12=2a10a11=486a10a11=486log3a1+log3a2+log3a20=log3（a10a11）10=10log3（a10a11）=50故答案为：50点评： 本题主要考查了等比数列的性质解题的关键是灵活利用了等比中项的性质14若sin（a）=，则cos（+2a）等于考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的求值分析： 将已知等式中的角变形为（+），利用诱导公式化简求出cos（+）的值，然后把所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（+）的值代入即可求出值解答： 解：sin（）=sin=cos（+）=，cos（+2）=cos2（+）=2cos2（+）1=2（）21=故答案为：点评： 此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键15若正数x，y满足x+4yxy=0，则x+2y的最小值为考点： 基本不等式专题： 函数的性质及应用分析： 正数x，y满足x+4yxy=0，可得，（x4）因此x+2y=x+=+6，利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：正数x，y满足x+4yxy=0，解得x4x+2y=x+=+6+6=+6，当且仅当x=4+2，y=+1时取等号x+2y的最小值为，故答案为：点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题16在矩形abcd 中，ab=1，bc=，点q在bc边上，且bq=，点p在矩形内（含边界），则的最大值为 2 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由于|为定值，所以只需cospaq最大，于是将的最大值问题转化为向量在上的射影的最大值问题，从而确定p点的位置，再计算此时的值即得结果解答： 解：由|=，得=，要使最大，只需向量在上的射影最大，显然，当点p与c重合时，射影最大过c作ceaq，交aq的延长线于e，如右图所示，由，及aqb=cqe，知rtabqrtceq，|ce|=|ab|=1又矩形对角线长，=|ac|cospae=|ae|=，从而的最大值为故答案为2点评： 本题考查了数量积的定义及几何意义，化归思想的运用，关键是抓住“变”与“不变”，将进行转化，并充分利用图形的几何特征才得以顺利求解17已知函数f（x）=2mx22（4m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（0，8）考点： 函数恒成立问题专题： 计算题分析： 当m0时，显然不成立；当m0时，因为f（0）=10，所以仅对对称轴进行讨论即可解答： 解：当m0时，显然不成立当m0时，因f（0）=10当 即0m4时，函数f（x）与x轴的交点都在y轴右侧，结论显然成立；当 且m0时即m4，只要=4（4m）28m=4（m8）（m2）0即可，即4m8综上可得0m8故答案为：（0，8）点评： 本题主要考查对一元二次函数图象的理解对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式三、解答题（共5小题，满分72分）18已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（i）求f（x）的最小正周期；（ii）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性专题： 计算题分析： （i）利用二倍角与两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求f（x）的最小正周期；（ii）求出的表达式，通过函数的奇偶性的定义，直接证明即可解答： 解：（i）由f（x）=cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x+=f（x）的最小正周期是（ii）因为=，=g（x），函数g（x）是偶函数点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力19在abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，且acosc+asinc=b+c，（1）求角a的值；（2）若a=2，求abc面积的最大值考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，整理并利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinc不为0变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出a的度数即可；（2）由余弦定理列出关系式，把a，cosa的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，进而确定出三角形面积的最大值解答： 解：（1）已知等式acosc+asinc=b+c，利用正弦定理化简得：sinacosc+sinasinc=sinb+sinc=sin（a+c）+sinc=sinacosc+cosasinc+sinc，整理得：sinasinc=cosasinc+sinc，sinc0，sinacosa=1，即sin（a）=，a（0，），a（，），a=，即a=；（2）由余弦定理得：a2=4=b2+c22bccos，即4+bc=b2+c22bc，bc4，sabc=bcsina=bc，当且仅当b=c=2时取等号，则abc面积的最大值为点评： 此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20在数列an中，a2+1是a1与a3的等差中项，设，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）记数列an的前n项的和为sn，若数列bn满足bn=anlog2（sn+2），试求数列bn的前n项的和tn考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质专题： 计算题分析： （1）通过向量平行，判断数列是等比数列，然后求数列an的通项公式；（2）求出an的前n项的和为sn，然后求出bn=anlog2（sn+2）的表达式，利用错位相减法求数列bn的前n项的和tn解答： 解：（1）因为，所以an+1=2an，数列an是等比数列，公比为2，又a2+1是a1与a3的等差中项，2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=5a1，解得a1=2，数列an的通项公式an=22n1=2n；（2）数列an的前n项的和为sn=2n+12，数列bn满足bn=anlog2（sn+2）=2nlog2（2n+12+2）=2n（n+1），tn=221+322+423+（n+1）2n，2得2tn=222+323+424+（n+1）2n+1，得，tn=221+22+23+2n（n+1）2n+1=2（n+1）2n+1+=2（n+1）2n+1+2n+12