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文档简介

专题二十五:导数及其应用【走进高考】1. (09安徽) 已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是( A )A. B. C. D.2. (09福建) 4. 等于( D )A. B. 2 C. -2 D. +23.(09浙江) 已知函数,其中(I)设函数若在区间上不单调,求的取值范围;(II)设函数 ,是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由【解析】(I),.因在区间上不单调,所以在上有实数解,且无重根.由,得.令有,记则在上单调递减,在上单调递增.所以有.由,得.而当时,有在上有两个相等的实根,舍去.所以.(II)当时,有;当时,有.因为当时不合题意,因此.下面讨论的情形:记A,B=.()当时,在上单调递增.要使成立,只能,且,因此有;()当时,在上单调递减.要使成立,只能,且,因此.综合()().当时,A=B,则,即使得成立.因为在上单调递增,所以的值是唯一的;同理,即存在唯一的非零实数,使成立.所以满足题意【考点聚焦】一、常见函数数的导数(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8).二、可导函数的求导法则(1);(2);(3);(4)复合函数求导:若,.三、导数的应用1.求曲线的切线方程函数在处的导数,表示曲线在点处切线的斜率.则该点处的切线方程为.2.判断函数的单调性0,递增;0,递减;恒等于0,为常数函数.3求函数的极值求导数;令,求其根;根据在方程的根的左右的符号判断极值点;计算极值.4求函数的最值求在内的极值;求、的值;比较极值与、的大小找到最值.三、微积分基本定理如果是区间a,b上的连续函数,且,那么.四、定积分的几何意义S曲边梯形的面积=【经典例解】题型一:用导数求曲线的切线【例1】已知函数和点,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、(1)求证:为关于的方程的两根;(2)设,求函数的表达式;(3)在(2)的条件下,若在区间内总存在个实数(可以相同),使得不等式成立,求的最大值【解析】(1)由题意知,切线的方程为.又切线过点, 有,即. 同理,由切线也过点,得. 由,得是方程( * )的两根(2)由( * )知,所以, (3)易知在区间上为增函数,.则所以,即.所以,由于为正整数,所以又当时,存在,满足条件,所以的最大值为【点拨】第(1)问根据函数导数的几何意义写出曲线上任意一点处的切线方程后,代入P点坐标,即可得到一个仅仅含有参数t的方程,由两个切点的横坐标都适合这个方程,则两个切点的横坐标必是一个以参数t为系数的一个方程的两个解;第(2)问用两点间的距离公式即可求解;第(3)问根据g(t)的单调性将条件中的不等式转化为关于m的不等式即可求解. 【变式】已知函数f(x)logax2x和g(x)2loga(2xt2)2x(a0,a1,tR)的图象在x2处的切线互相平行.()求t的值;()设F(x)g(x)f(x),当x1,4时,F(x)2恒成立,求a的取值范围.【解析】() t6;() 的取值范围是1a4.题型二:用导数研究曲线的性状 【例2】已知函数.(1)当时,判断在定义域上的单调性;(2)若在上的最小值为,求的值;(3)若在上恒成立,求的取值范围【解析】(1)的定义域为,且,故在上是单调递增函数(2)由(1)可知. 若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,(舍去). 若,则,即在上恒成立,此时在上为减函数,(舍去). 若,令,得.当时,在上为减函数;当时,在上为增函数;.综上,得(3)又.令.在上是减函数,即,在上也是减函数,令,得,当在恒成立时,【点拨】本题借助于导数和不等式等数学工具研究曲线的性状.第(1)问只需判别导数在定义内的符号即可;第(2)问只需将a视作已知数求出函数的最小值,再利用最小值等于,求解关于a的方程即可求解;第(3)问是一个关于恒成立的不等式问题,考虑分离参数后用最值或单调性求解.【变式】函数,其中是的导函数.(1)对满足11的一切的值,都有0,求实数的取值范围;(2)设,当实数在什么范围内变化时,函数的图象与直线3只有一个公共点.【解析】(1).(2)的取值范围是.题型三:用导数证明不等式【例3】已知函数,证明:.【解析】证:函数的定义域为,且1.当x(1,0)时,0,当x(0,)时,0,因此,当时,即0 令,则 当x(1,0)时,0,当x(0,)时,0 当时,即 0, 综上,当时,有【点拨】不等式的证明一直是一个难点.观察本题结论中右边不等式的结构特征,作差后转化为已知函数f(x),只需证明f(x) 0即可,考虑用导数法证明f(x)的最大值为0.观察左边不等式的结构特征,构造辅助函数,只需用导数法证明其最小值为0即可.【变式】已知,其中是自然常数,(1)求证:当时,;(2)是否存在实数,使的最小值是,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由【解析】(1)可求得的极小值,即在的最小值为,即.令,则. 当,时,在上单调递减,.当时,.(3)存在满足条件的.题型四:定积分的应用【例4】求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.【解析】.【点拨】本题是求曲边梯形的面积,其实质是求函数在给定区间上的定积分.注意第二部分在x轴下方,其面积不是上的定积分,而是其绝对值,所以不能直接相加. 【变式】一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移.【解析】位移为.【规律总结】1. 求复合函数的导数,道先要适当选定中间变量,正确分解复合关系,然后分步求导,即由外到内层层求导.2.0、0,分别是函数递增、递减的充分非必要条件,并不是充要条件.3.极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,即驻点.4.函数的极值不一定是最值,但在某个区间上的极值唯一时,该极值必为最值.5.微积分基本定理中的原函数不是唯一的,但由可知,只需选取其中一个即可.3利用定积分来求面积时,位于轴两侧的图形面积要分别计算,然后相加.【45分钟限时训练】一、选择题1.设,函数的导函数是,且是奇函数,若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( )A. B C. D.2.已知函数f(x)x2(axb)(a,bR)在x2时有极值,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线3xy0平行,则函数f(x)的单调减区间为( )A. (,0) B. (0,2) C. (2,) D. (,)3.函f(x)sin(x)1(0)的导数的最大值为3,则f(x)的图象的一条对称轴方程( )A. x B. x C. x D. x4.上有最大值3,那么在上的最小值是( )高二、填空题5. 6. 曲线y2x4上的点到直线yx1的距离的最小值为_7. 已知函数,则关于的不等式的解集是 三、解答题8.某产品生产x个单位时的边际收入.()求生产了50个单位时的总收入;()如果已生产了100个单位时,求再生产100个单位时的总收入.9.已知,.(1)若在处取得极值,试求的值和的单调增区间;(2)如右图所示,若函数的图象在连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在使得?(用含有的表达式直接回答)(3)利用(2)证明:函数图象上任意两点的连线斜率不小于10. 已知函数(1)若函数与的图象在公共点P处有相同的切线,求实数的值,并求出点P的坐标;(2)若函数与的图象有两个不同的交点M、N,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,过线段的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交点,以为切点作的切线,以为切点作的切线是否存在实数使得,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由【限时训练参考答案】一、选择题1. D 2.B 3.A 4.C二、填空题5. . 6. . 7. .三、解答题8.【解析】(1)生产50个单位时的总收入为= =99875.(2)已生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为.答:生产50个单位时的总收入为99875;生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为19850.9.【解析】(1),有,即.,令得或.从而的单调增区间为,(2)(3)因为,所以由(2)知对于函数图象上任意两点,在之间一定存在一点,使得.又,故有10.【解析】(1)设与的图象的公共点,则有 又与的图象在点P有共同的切线,.代入,得.设,则函数最多只有个零点,且零点是,此时.(2)解法1: 由.令.当时,则单调递增;当时,则单调递减,且.所以在处取到最大值.要使与有两个不同的交点,则有解法

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