2010高考数学二轮复习专题25：导数与其应用及限时训练.doc

专题二十五：导数及其应用【走进高考】1. (09安徽) 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（ A ）A. B. C. D.2. (09福建) 4. 等于( D )A. B. 2 C. -2 D. +23.(09浙江) 已知函数，其中（I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数 ，是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（I），.因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根.由，得.令有，记则在上单调递减，在上单调递增.所以有.由，得.而当时，有在上有两个相等的实根，舍去.所以.（II）当时，有；当时，有.因为当时不合题意，因此.下面讨论的情形：记A，B=.（）当时，在上单调递增.要使成立，只能，且，因此有；（）当时，在上单调递减.要使成立，只能，且，因此.综合（）（）.当时，A=B，则，即使得成立.因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数，使成立.所以满足题意【考点聚焦】一、常见函数数的导数(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).二、可导函数的求导法则(1)；(2)；(3)；(4)复合函数求导：若，.三、导数的应用1.求曲线的切线方程函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率.则该点处的切线方程为.2.判断函数的单调性0，递增；0，递减；恒等于0，为常数函数.3求函数的极值求导数；令，求其根；根据在方程的根的左右的符号判断极值点；计算极值.4求函数的最值求在内的极值；求、的值；比较极值与、的大小找到最值.三、微积分基本定理如果是区间a，b上的连续函数，且，那么.四、定积分的几何意义S曲边梯形的面积=【经典例解】题型一：用导数求曲线的切线【例1】已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（1）求证：为关于的方程的两根；（2）设，求函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值【解析】（1）由题意知，切线的方程为.又切线过点， 有，即. 同理，由切线也过点，得. 由，得是方程（ * ）的两根（2）由（ * ）知，所以， （3）易知在区间上为增函数，.则所以，即.所以，由于为正整数，所以又当时，存在，满足条件，所以的最大值为【点拨】第(1)问根据函数导数的几何意义写出曲线上任意一点处的切线方程后，代入P点坐标，即可得到一个仅仅含有参数t的方程，由两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t为系数的一个方程的两个解；第(2)问用两点间的距离公式即可求解；第(3)问根据g(t)的单调性将条件中的不等式转化为关于m的不等式即可求解. 【变式】已知函数f(x)logax2x和g(x)2loga(2xt2)2x(a0，a1，tR)的图象在x2处的切线互相平行.()求t的值；()设F(x)g(x)f(x)，当x1，4时，F(x)2恒成立，求a的取值范围.【解析】() t6；() 的取值范围是1a4.题型二：用导数研究曲线的性状 【例2】已知函数.（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围【解析】（1）的定义域为，且，故在上是单调递增函数（2）由（1）可知. 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去）. 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去）. 若，令，得.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；.综上，得（3）又.令.在上是减函数，即，在上也是减函数，令，得，当在恒成立时，【点拨】本题借助于导数和不等式等数学工具研究曲线的性状.第(1)问只需判别导数在定义内的符号即可；第(2)问只需将a视作已知数求出函数的最小值，再利用最小值等于，求解关于a的方程即可求解；第(3)问是一个关于恒成立的不等式问题，考虑分离参数后用最值或单调性求解.【变式】函数，其中是的导函数.（1）对满足11的一切的值，都有0，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线3只有一个公共点.【解析】（1）.（2）的取值范围是.题型三：用导数证明不等式【例3】已知函数，证明：.【解析】证：函数的定义域为，且1.当x（1，0）时，0，当x（0，）时，0，因此，当时，即0 令，则 当x（1，0）时，0，当x（0，）时，0 当时，即 0， 综上，当时，有【点拨】不等式的证明一直是一个难点.观察本题结论中右边不等式的结构特征，作差后转化为已知函数f(x)，只需证明f(x) 0即可，考虑用导数法证明f(x)的最大值为0.观察左边不等式的结构特征，构造辅助函数，只需用导数法证明其最小值为0即可.【变式】已知，其中是自然常数，（1）求证：当时，；（2）是否存在实数，使的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由【解析】（1）可求得的极小值，即在的最小值为，即.令，则. 当，时，在上单调递减，.当时，.（3）存在满足条件的.题型四：定积分的应用【例4】求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.【解析】.【点拨】本题是求曲边梯形的面积，其实质是求函数在给定区间上的定积分.注意第二部分在x轴下方，其面积不是上的定积分，而是其绝对值，所以不能直接相加. 【变式】一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移.【解析】位移为.【规律总结】1. 求复合函数的导数，道先要适当选定中间变量，正确分解复合关系，然后分步求导，即由外到内层层求导.2.0、0，分别是函数递增、递减的充分非必要条件，并不是充要条件.3.极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，即驻点.4.函数的极值不一定是最值，但在某个区间上的极值唯一时，该极值必为最值.5.微积分基本定理中的原函数不是唯一的，但由可知，只需选取其中一个即可.3利用定积分来求面积时，位于轴两侧的图形面积要分别计算，然后相加.【45分钟限时训练】一、选择题1.设，函数的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）A. B C. D.2.已知函数f(x)x2(axb)(a，bR)在x2时有极值，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线3xy0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）A. (，0) B. (0，2) C. (2，) D. (，)3.函f(x)sin(x)1(0)的导数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴方程（ ）A. x B. x C. x D. x4.上有最大值3，那么在上的最小值是（ ）高二、填空题5. 6. 曲线y2x4上的点到直线yx1的距离的最小值为_7. 已知函数，则关于的不等式的解集是 三、解答题8.某产品生产x个单位时的边际收入.（）求生产了50个单位时的总收入；（）如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入.9.已知，.（1）若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于10. 已知函数（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值，并求出点P的坐标；（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过线段的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交点，以为切点作的切线，以为切点作的切线是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【限时训练参考答案】一、选择题1. D 2.B 3.A 4.C二、填空题5. . 6. . 7. .三、解答题8.【解析】（1）生产50个单位时的总收入为= =99875.（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为.答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.9.【解析】（1），有，即.，令得或.从而的单调增区间为，（2）（3）因为，所以由（2）知对于函数图象上任意两点，在之间一定存在一点，使得.又，故有10.【解析】（1）设与的图象的公共点，则有 又与的图象在点P有共同的切线，.代入，得.设，则函数最多只有个零点，且零点是，此时.（2）解法1： 由.令.当时，则单调递增；当时，则单调递减，且.所以在处取到最大值.要使与有两个不同的交点，则有解法