初中函数知识点及一次函数总结(衡阳).doc

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（1） 平面直角坐标系：1.在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。3、不同位置的点的坐标的特征 各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等;点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同;位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（ah，b），向右平移h个单位，坐 标变为P（ah，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，bh），向下平移h个单位，坐标变为P（a，bh）.如：点A（2，1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）4、 函数平移规律：左加右减、上加下减（二）函数的基本知识：基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。跟踪练习一、选择题1.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在( )A.第一象限 B.第二象限; C.第三象限 D.第四象限2.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )A.x1 B.x3 C.x1 D.x33.在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天(0时24时)体温的变化情况的是( ).5.小丽的家与学校的距离为km,她从家到学校先以匀速跑步前进,后以匀速走完余下的路程,共用. 下列能大致表示小丽距学校的距离y(km)与离家时间t(h)之间关系的图象是( )二、填空题1.已知函数y=,那么当x=2,则y=_.2.直角坐标系中,第四象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为3,2, 则M点的坐标是_.3.函数y=中自变量x的取值范围是_.4、已知点A（m-1,2），点B(2,m)，且直线ABy轴，则m的值为 .5.图表示长沙市2003年6月份某一天的气温随时间变化的情况,请观察此图回答下列问题:(1)这天的最高气温是_度;(2)这天共有_个小时的气温在31度以上;(3)这天在_(时间)范围内温度在上升;(4)请你预测一下,次日凌晨1点的气温大约是多少度?答:_.6.若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第_象限。三、解答题1.小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.2.南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查,并从南宁晚报中收集到下列数据:根据上表解答下列问题:(1)请你按体积=面积高来估算,南湖的淤泥量大约有多少万立方米?(2)设清除淤泥x天后,剩余的淤泥量为y(万米3),求y与x的函数关系.(不要求写出x的取值范围.(3)为了使南湖的生物链不遭破坏,仍需保留一定量的淤泥. 若需保留的淤泥量约为22 万米3,求清涂淤泥所需天数.3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便, 他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:(1)农民自带的零钱是多少?(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元,问他一共带了多少千克土豆.4.两个物体A、B所受压强分别为PA(Pa)与PB(Pa)(PA、PB为常数),它们所受压力F(N)与受力面积S(m2)的函数关系图象分别是射线LA、LB,如图所示,则( )A.PAPB D.PAPB（三）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0 直线从左向右是向上的 k0 直线与y轴的正半轴相交 b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0，b0 2、k0，b0 3、k0，b0 4、k04、直线y=kxb(k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kxb与x轴交点坐标为与 y轴交点坐标为(0，b)5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线yx+6 与y2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0或ax+b0（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.12、函数应用问题 （理论应用 实际应用）（1）利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.（2）经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.【典型例题】 例1（1）已知m= . （2）当m= 时，函数：.【同类题】（1）若函数y（a1）x为正比例函数,则a的值为（ ） A-1 B.0 C.1 D.-1或0 （2）在一次函数 . 例2 （1）若所在象限为（ ） A一 B.二 C.三 D.四 （2）关于的上方，且y随着的增大而减小，则的取值范围是 .【同类题】已知一次函数满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴下方；（3）分别取何值时，函数图象经过原点；（4）满足什么条件时，函数图象不经过第二象限.例3 已知一次函数的图象经过点及点.（1）求此一次函数的解析式，并画出图象；（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.【同类题】1已知一次函数的图象经过点A（-2，0），且与轴分别交B，C两点，那么ABC的面积是（ ）A2 B. 3 C. 4 D. 6-4-200329050100CF212 2如图，温度计上表示了摄氏温度与华氏温度的刻度，能否用函数解析式表示摄氏温度与华氏温度的关系？如果今天的气温是32，那么华氏是多少度？例4 已知，如图，在轴上有一点A（0，6），在轴上有两点B（6，0），C（5，0）. （1）求过A，B两点一次函数的解析式，及过A，C两点的一次函数的解析式.OACyxFEB （2）有一正比例函数与直线AB交于点E，与直线AC交于点F，若AEF的面积是四边形EFCB面积的一半，求正比例函数的解析式，并求E，F的两点的坐标.【同类题】OAQyx1已知，如图，直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象.（1）用表示出A，B，P点的坐标；（2）若点Q是PA与轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式. 2已知点A的坐标为（2，0），动点P在直线上，求使PAO为直角三角形的点P的坐标.例5 一次时装表演会预算中票价定为每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润（百元）关于观众人数（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成费用）. 请解答下列问题： （1）求当观众人数不超过1000人时，毛利润y关于观众人数的函数解析式和成本费用S（百元）关于观众人数的函数解析式； （2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么需售出多少张门票？需支付成本费多少元？850400350O-1001020【同类题】1同学们知道，一次函数的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图（1）中，代表时间，代表路程，那么从图象上可以看出，某人出发时离某地（原点）2km，出发1h后，由，即某人离某地5km，他走了3km，在图（2）中，OA，OB分别表示甲、乙两人的运动图象，O5101520123456甲乙Bt/hs/km(2)1245-1（1）O请根据图象回答下列问题：如果用t表示时间，s表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系是：甲 ，乙 ；甲的运动速度是 km/h；两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 km. 2某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是：DABCD或DCBAD. （1）试问在公路边是否存在一点D，使送货路程最短？（把公路边近似看作公路上）A（1，2）C（4，1）B（2，4）O （2）将A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把轴建立在公路上，坐标如图所示：请画出D点所在位置，并写出画法； （3）求出D点在该坐标系下的坐标.（要求有运算过程）例6 画出函数的图象，利用图象求：（1） （4）当时，求x的取值范围；（5）求图象与坐标轴的两个交点间的距离；（6）求图象与坐标轴围成的三角形的面积例7. 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.2元的价格退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【同类题】1.A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台、D市8台，已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为300元和500元，从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为400元和800元,若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？并求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？2.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元.因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3污水排出.所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施.方案1：工厂污水先净化处理后再排出.每处理1m3污水所用原料费为2元，并且每月设备损耗费为30000元.方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理.每处理1m3污水需付14元的排污费.问：（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和2处理污水时，y与函数关系式（利润=总收入-总支出）. （2）当工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选用哪种处理污水方案？请通过计算加以说明.例8. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其商品，到月末可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？【同类题】1某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1t水生产的饮料所获利润y（元）是1t水的价格（元）的一次函数. （1）根据下表提供的数据，求y与的函数关系式；当水价为每吨10元时，1t水生产出的饮料所获得的利润是多少？1t水的价格（元）46用1t水生产的饮料所获利润y（元）200198 （2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20t，水价为每吨4元；日用量超过20t，超过部分按每吨40元收费.已知该厂日用水量不少于20t，设该厂日用量为t,当日所获利润为W元，求W与的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用量是不超过25t，但仍不少于20t，求该厂的日利润的取值范围.51015202530O20406080（20，60）（30，70）供应线需求线例9. 随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂.某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量（万个）与价格（万元）之间的关系如图中供应线所示，面需要求（万个）与价格（万元）之间的关系如图需求线所示.如果你是这个电子厂的厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个