2013年高考文科数学辽宁卷word解析版.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1(2013辽宁，文1)已知集合A0,1,2,3,4，Bx|x|2，则AB()A0 B0,1C0,2 D0,1,2答案：B解析：|x|2，x(2,2)，即Bx|2x2AB0,1，故选B.2(2013辽宁，文2)复数的模为()A B C D2答案：B解析：，|z|，故选B.3(2013辽宁，文3)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A BC D答案：A解析：与向量同方向的单位向量为，故选A.4(2013辽宁，文4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案：D解析：如数列2，1,0,1,2，则1a12a2，排除p2，如数列1,2,3，则1，排除p3，故选D.5(2013辽宁，文5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D60答案：B解析：根据频率分布直方图，低于60分的人所占频率为：(0.0050.01)200.3，故该班的学生数为50，故选B.6(2013辽宁，文6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，则B()A B C D答案：A解析：根据正弦定理asin Bcos Ccsin Bcos A等价于sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC).又ab，所以AC，所以.故选A.7(2013辽宁，文7)已知函数f(x)，则()A1 B0 C1 D2答案：D解析：f(x)，f(x)，f(x)f(x)ln 1112，又lg 2，2，故选D.8(2013辽宁，文8)执行如图所示的程序框图，若输入n8，则输出S()A B C D答案：A解析：当n8时，输出的，故选A.9(2013辽宁，文9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3BCD答案：C解析：若OBA为直角，则，即a2(a3b)a30，又a0，故；若OAB为直角时，即b(a3b)0，得ba3；若AOB为直角，则不可能所以ba30或ba30，故选C.10(2013辽宁，文10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A BC D答案：C解析：过C，B分别作AB，AC的平行线交于点D，过C1，B1分别作A1B1，A1C1的平行线交于D1，连接DD1，则ABCDA1B1C1D1恰为该球的内接长方体，故该球的半径r，故选C.11(2013辽宁，文11)已知椭圆C：(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A B C D答案：B解析：如图所示，根据余弦定理，|AF|2|BF|2|AB|22|BF|AB|cosABF，即|AF|6，又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，即|OF|5.又根据椭圆的对称性，|AF|BF|2a14，a7，|OF|5c，所以离心率为，故选B.12(2013辽宁，文12)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()Aa22a16 Ba22a16C16 D16答案：C解析：f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，可求得H1(x)的最小值Af(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13(2013辽宁，文13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_答案：1616解析：由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为2242241616.14(2013辽宁，文14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.答案：63解析：x25x40的两根为1和4，又数列递增，所以a11，a34，q2.所以S663.15(2013辽宁，文15)已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案：44解析：如图所示，设双曲线右焦点为F1，则F1与A重合，坐标为(5,0)，则|PF|PF1|2a，|QF|QF1|2a，所以|PF|QF|PQ|4a4b4a28，PQF周长为284b44.16(2013辽宁，文16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案：10解析：设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则，4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(2013辽宁，文17)(本小题满分12分)设向量a(，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x.所以.(2)f(x)abcos xsin2x.当时，取最大值1.所以f(x)的最大值为.18(2013辽宁，文18)(本小题满分12分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点由Q为PA中点，得QMPC.又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.19(2013辽宁，文19)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).20(2013辽宁，文20)(本小题满分12分)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x0时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解：(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为.因为点M(，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是，.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知，.切线MA，MB的方程为，由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为，.因为点M(x0，y0)在C2上，即4y0，所以.由得，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为.21(2013辽宁，文21)(本小题满分12分)(1)证明：当x0,1时，sin xx；(2)若不等式axx22(x2)cos x4对x0,1恒成立，求实数a的取值范围(1)证明：记F(x)，则F(x).当时，F(x)0，F(x)在上是增函数；当时，F(x)0，F(x)在上是减函数又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin x.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10，所以，H(x)在0,1上是减函数，则H(x)H(0)0，即sin xx.综上，sin xx，x0,1(2)解法一：因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1恒成立下面证明，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足2(x02)cos x040，即当a2时，不等式axx22(x2)cos x40对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2解法二：记f(x)axx22(x2)cos x4，则f(x)a2x2cos x2(x2)sin x.记G(x)f(x)，则G(x)23x4sin x2(x2)cos x.当x(0,1)时，cos x，因此G(x)23x4x(x2).于是f(x)在0,1上是减函数，因此，当x(0,1)时，f(x)f(0)a2，故当a2时，f(x)0，从而f(x)在0,1上是减函数，所以f(x)f(0)0，即当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1恒成立下面证明，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立由于f(x)在0,1上是减函数，且f(0)a20，f(1)a2cos 16sin 1.当a6sin 12cos 1时，f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0，因此f(x)在0,1上是增函数，故f(1)f(0)0；当2a6sin 12cos 1时，f(1)0，又f(0)0，故存在x0(0,1)使f(x0)0，则当0xx0时，f(x)f(x0)0.所以f(x)在0，x0上是增函数，所以当x(0，x0)时，f(x)f(0)0.所以，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013辽宁，文22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.23(2013辽宁，文23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得.所以解得a1，b2.24(2013辽宁，文24)(本小题满分