1.1.2余弦定理教学设计.doc

1.1.2 余弦定理 第一课时一、教材分析“余弦定理”是高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为是高考的必考内容之一。分数所占比例在15%左右，主要以选择题和一个解答题形式出现。因此，余弦定理的知识非常重要。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。二、学情分析有利因素 学生刚刚学习了正弦定理的推导证明及应用，已经掌握了研究斜三角形的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。三、教学目标知识与能力1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。 2、掌握余弦定理的推导、证明过程。3、初步理解余弦定理的用途，并能应用定理解决一些简单的解三角形问题。过程和方法1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。 2、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能 力。 情感态度与价值观1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功 喜悦。 2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。3、通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考 和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，体验数学发现和创造的过程。四、重点和难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 难点：余弦定理的证明.五、教法和学法1教法分析：数学课堂上首先要重视知识的发生过程，既能展现知识的获取，又能暴露解决问题的思维。在本节教学中，我将遵循“提出问题 、分析问题、解决问题 ”的步骤逐步推进，以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生探究、归纳、推导，引导学生逐个突破难点，师生共同解决问题，使学生在各种数学活动中掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。2学法分析：教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“现实问题转化为数学问题”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。六、教学媒体根据数学课的特点，我采用的教具是：多媒体和黑板相结合。利用多媒体进行动态和直观的演示，辅助课堂教学，为学生提供感性材料，帮助学生探索并发现余弦定理。对证明过程和知识体系板书演示，力争与学生的思维同步。学具是：纸张、直尺、量角器。七、教学流程八、课时：2课时（第1课时）九、教学过程 过程设计设计意图 复习旧知 提出问题（5分钟）1.复习旧知（1）正弦定理的内容是什么？（2）正弦定理可以解决什么类型的边角关系问题？2.提出问题千岛湖上有A，B，C三个岛屿，A,C和C,B之间可以直接到达，A,B之间隔了一座岛屿.测得AC=3km,BC=2km,求A、B两岛屿之间的距离.思考:能否用正弦定理解决上述实际问题？ 让学生尝试用正弦定理，学生发现还是解决不了问题。将学生带入困境，激发学生的创造思维。 通过复习，巩固旧知，提出问题，引入新课。 建构模型 解决问题 （17分钟） 3. 建构模型将上述实际问题转化为数学问题：在ABC中，已知a,b和角C，求c.4. 证明定理将学生分成三组，每一组负责一种证法，最后交流意见。方法一:几何法过点A作于D.则=.即 c2=a2+b2-2abcosCACBbaD这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要注意这里要分三种情况讨论.方法二:向量法因为,所以,即c2=a2+b2-2abcosC这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积.方法三: 坐标法以C为坐标原点,CB所在直线为x轴直角坐标系.则,由两点距离公式有， =ACBbaxaya即c2=a2+b2-2abcosC这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于运算简单.但注意本题建系方式不唯一。培养学生将实际问题转化为数学问题的建模意识学生思维是很活跃的，不能局限于一种方法，充分发挥学生的主动性，寻找新的方法解决，同时又是对余弦定理的又一次证明。在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。 追踪成果 深化理解（10分钟） 5.追踪成果 回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2=a2+b2-2abcosC成立类似的还有其他等式a2=b2+c2-2bccos，b2=c+a2-2cacosB。正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理余弦定理文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.bACaB符号语言:在ABC中,有6.深化理解勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。问题1.余弦定理与勾股定理有什么联系？当C=90时,即有.所以,勾股定理是余弦定理的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推广.问题2.观察余弦定理的结构特征，能否将得到余弦定理的另一种形式？问题3.当三角形ABC的三边满足什么条件时，角A为锐角？直角？钝角？我们考察式子左右两边的符号,不难发现:在ABC中，； ；也就是说,在三角形中,要判断一个内角是什么角,只要看它的对边的平方与其它两边平方的和的大小.引导学生归纳，叙述定理内容。让学生充分认识到余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊形式。通过上述问题的解决，不但可以让学生体会到余弦定理运用的一般价值，而且可以进一步拓展学生的思维视角，提高学生的思维能力。让学生感受余弦定理的另外一种形式，提高学生对公式的进一步理解。 学以致用 拓展延伸（10分钟）7. 例题讲解例1.在ABC中，已知解三角形。例2.在ABC中,已知,解三角形。思考1：在(1)解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？思考2：由例1，总结余弦定理及其推论可以解决哪些类型的解三角形问题？让学生通过练习，加强学生对本节内容的掌握。通过让学生上台解说，增强学生对余弦定理的理解，同时培养学生的表达能力。引导学生思考，进一步熟悉定理，体会定理的用途。课堂小结（3分钟）1. 余弦定理及推论2. 余弦定理的证明方法3.余弦定理的作用 学生发言，互相补充，使所学知识纳入