2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理数.doc

8 2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理 数本卷满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题，共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合A=xx22x=0，B=0，1，2，则AB=（ ）A0 B0，1 C0，2 D0，1，22下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）A By=(x1)2 Cy=2x Dy=log0.5(x+1)3曲线（为参数）的对称中心（ ）A在直线y=2x上 B在直线y=2x上 C在直线y=x1上 D在直线y=x+1上4当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A7 B42 C210 D8405设an是公比为q的等比数列。则“q1”是“an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为（ ）A2 B2 C D7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，）。若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）AS1= S2= S3 BS2= S1且S2S3 CS3= S1且S3S2 DS3= S2且S3S18学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”。若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”。如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人第卷（非选择题，共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。9复数_。10已知向量a，b满足a=1，b=（2，1），且a+b=0（R），则=_。11设双曲线C经过点（2，2），且与具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_。12若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n=_时，an的前n项和最大。13把5件不同产品摆成一排。若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种。14设函数（A，是常数，A0，0）。若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_。三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15（本小题13分）如图，在ABC中，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，。 （）求sinBAD； （）求BD，AC的长。16（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512 （）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （）记为表中10个命中次数的平均数。从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数。比次EX与的大小。（只需写出结论）17（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点。在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H。 （）求证：ABFG； （）若PA底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长。18（本小题13分） 已知函数，。 （）求证：； （）若对恒成立，求a的最大值与b的最小值。19（本小题14分） 已知椭圆C：x2+2y2=4。 （）求椭圆C的离心率； （）设O为原点。若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论。20对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+maxTk1（P），a1+a2+ak（2kn），其中maxTk1（P），a1+a2+ak表示Tk1（P）和a1+a2+ak两个数中最大的数。 （）对于数对序列：P（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值； （）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P）的大小； （）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列的P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值。（只需写出结论）参考答案1C 2A 3B 4C 5D 6D 7D 8B91 10 11； 128 1336 1415解：（）在ADC中，因为， 所以 。 所以sinBAD=sin(ADCB)=sinADCcosBcosADCsinB 。 （）在ABD中，由正弦定理得 。 在ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC22ABBCcosB=82+52285=49。 所以AC=7。16解：（）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4。所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5。 （）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则，A，B独立。根据投篮统计数据，。所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为。 （）。17解：（）在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE。 又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE。 因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDE=FG， 所以ABFG。 （）因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE。 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0）， C（2，1，0），P（0，0，2），F（0，1，1），。 设平面ABF的法向量为n=（x，y，z）， 则，即。 令z=1，则y=1。所以n=（0，1，1）。 设直线BC与平面ABF所成角为， 则。 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为。 设点H的坐标为（u，v，w）。 因为点H在棱PC上，所以可设， 即（u，v，w2）=（2，1，2）。 所以u=2，v=，w=22。 因为n是平面ABF的法向量，所以， 即（0，1，1）（2，22）=0 解得，所以点H的坐标为。 所以。18解：（）由得。 因为在区间上， 所以在区间上单调递减。 从而。 （）当x0时，“”等价于“”；“”等价于“”。 令，则。 当c0时，对任意恒成立。 当c1时，因为对任意，所以在区间上单调递减。 从而对任意恒成立。 当0c1时，存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下：x（0，x0）x0+0 因为在区间0，x0上是增函数，所以。 进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即。 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立； 当且仅当c1时，对任意恒成立。 所以，若对任意恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1。19解：（）由题意知，椭圆C的标准方程为。 所以a2=4，b2=2，从而c2=a2b2=2。 因此a=2，。 故椭圆C的离心率。 （）直线AB与圆x2+y2=2相切。证明如下： 设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x00。 因为OAOB，所以，即tx0+2y0=0，解得。 当x0=t时，代入椭圆C的方程，得。 故直线AB的方程为。 圆心O到直线AB的距离。 此时直线AB与圆x2+y2=0相切。 当x0t时，直线AB的方程为， 即。 圆心O到直线AB的距离。 又， 故。 此时直线AB与圆x2+y2=2相切。20解：（）T1（P）=2+5=7， T2（P）=1