中学数学情境与提出问题教学案例——高一函数复习.pdf

数 J T 教 J 学f 通l 汛 l I 薰 l 薹 J 1 年 J砉 案例与课例 中学数学情境与提出问题教学案例 高一函数复 习 1 教 学设计 1 1 教学内容分析 重庆 市云阳 中学4 0 4 5 0 0 王 俊 嗣 嗣 嗣 号 曩 爿 嗣 5 学 生 由 z 去 得眦 三 二 一 故眦 十 的最 厶 厶 大值为 教师问 何时取得最大值 学生答 当且仅当 一 z b Y时取到 一些 学生已发现了其 中的 破绽 发出了憨厚的笑声 因为此时会推导出 4 9的错误结论 故 的值 厶 a 2 7 b y取不到 为什么会发生这样的错误 通过 师生互动 大家逐步悟出 两次运用基本不等式求 最值必须满足两次取等号的条件要同时成立 而 同时取等号的条件太苛刻 所 以我们必须尽量避 免两次使用基本不 等式 为此 调整思路 将两式 相乘并成一式作整体处理 由 n b Y 3 6得 a 2 z b Y a 2 Y b z z 一 3 6 a 2 z b Y 2 a b x y 即 眦 b Y 3 6 等号当且仅当 a y 时取到 于是 b Y的最大值为6 至此 问题 不应 该结 束 了事 还 应拓 展视 野 研究该 问题 是否还有其他解决 的方法 以此培养学生思维 的 发散性和独创性 于是笔者进一步引导大家展开 讨论 很快得出了其他解法 解法 2 三角代换法 令 一 c o s a b s i n a z一 3 c o s p Y一 3 s i n 则 b Y一 6 c o s c o s p s i n a s i n f1 一 6 c o s a p 故当 c o s a p 1时 懈 的最大值为 6 解法 3 构造向量法 设 p一 d 6 口一 z 则 p l 一 2 l g l 一 3 函数是高中数学 的基础 内容 也是最重要的 内容之一 它为解决其他数学问题提供了有力工 具 从而成为高考的重点和热点 函数模块又包含 于是 d b y p g l p 1 1 g l c o s O 6 c o s O 其中0为p与 g的夹角 故当 c o s O一 1时 a 3 c b y的最大值为 6 解法 4 g o 造函数法 设 厂 一 a t b t 一3 显然 0恒成立 即 厂 一 d b 一2 a x z Y 亍4 t 一2 a x b y t 9 0对于任意实数 t 恒 成立 所 以 一 4 a x 一 4 4 9 0 即 一 6 眦 6 等号当且仅当a t x b t Y 一 0时成立 故 n z 的最大值为 6 该问题我们从反思错因开始 发现了它的三 种不同解法 至此我们还可以再作如下总结和推 广 1 本题的实质为 d 6 z Y a x 当且仅当 a y一妇 时取等号 2 把本题可以改编为 实数 a b C z 3 z 满 足 n b C 4 z Y z 9 则 船 b y C Z的最大值仍为 6 其实质为 n b C z Y z a x C Z 3 若把问题推广到 n的情形 则其实质为 n n l n 5 21 n b d 2 b 2 a jb 通过这样 不断引导学生从反思错误 到拓展 解题思路 最后得了柯西不等式 的一般形式 学生 仿佛经历了一次由反思错误 到创造发现的数学 探索过程 在这一过程中 学生所学 的数学知识得 以巩固 解题技巧得到了训练 数学思想方法得以 有效的渗透 从 而提高了思维 能力和优化 了思维 品质 维普资讯 了众多知识点和数学思想 数学方法 涉及面广 应用 层面 多 从 而成 为高 中数学 的难点 1 2 学生状 况 分析 云阳中学是重庆市重点 中学 学生素质相对 较好 高一 一 班又是实验班 学生勤思好学 有 较好的学习习惯和思维能力 在这之前 学生已学 完函数章节的全部 内容 初步掌握 了函数 中的一 些思想 和方 法 1 3 教 学 目标 通过提出问题 解决问题 增强学生对函数模 块的知 识 方 法 思 想 的 理解 和掌 握 建立 起 函 数 模块的知识体系 促进学生归纳 总结和反思的学 习能力 激发学生学习数学的兴趣 和研究数学问 题的自主性 1 4 情境 的创 设 函数模块的知识 方法和思想 比较多 学生要 从提出问题 解决问题的过程中总结 和归纳这些 知识和方法 就必须创设一个学生熟悉的 能亲身 体验的数学情境 从而激活学生的思维 激发其学 习主动性 受贵州桐梓一 中管理河老师的案例 函 数复 习 高 三 的启发 及 2 0 0 6年 高考 上 海 卷 理 第 2 2 题 的启示 结合我校的实际情况 前 一 周 校团支部为纪念红军长征胜利 7 O周年 开 展 了黑板报和美术作品展 我 以美术展为背景 创 L 设 了以函数 Y一 O 为研究对象的 工 数学情境 2 教学过程 2 1 情 境展 示 师 前一周学校团支部为纪念长征胜利 在美 术作品展览中有一设计要求 请看屏幕 为纪 念 红 军 长征 胜 利 7 O周 年 云 阳中学团支部开展 了美术 作品展 览 要 求参赛 的作 品设 计 为 宽 c m 长 为 Y c r iq的矩 形 画 图 矩形的上部分为正方形 下部 分 留 9 c I n 的 面积 标 写作 者 的 班 级 和 姓 名 如 图 l 师 请 同学们根据 提供 的信 图 1 案倒与课倒 息 用已学过 的知识 提出你关心的 感兴趣的数 学 问题 2 2 问题 的提 出 学生经过 2分钟左右的思考和讨论 提出了 以下两个数学问题 问题 l 寻找题 目中的 X和 Y的关系 问题 2 寻找图形 中正方形和小矩形 的面积关 系 师 这两个问题提得很好 我们先来解决刚提 出来的问题 看能不能找到 X和Y的关系 请张昕 同学说说你的答案 生 l X和 Y的关系是 9 X x y 师 你是怎样得到这个关系式的 生 1 由图可知 上面的正方形面积加下面矩 形的面积就等于整个大矩形 的面积 从而得 出上 述关系式 师 很好 你不但准确地找 出了 X Y的关 系 式 而且把第二个 问题的答案说出来 了 请坐 下 面我们来进一步研究 X Y这两个量的关系 这里 的两个量 X Y是常量还是变量 众 是变量 师 对于两个变量间的关 系 我们最熟悉的就 是函数关系 它们能不能构成 函数关 系 如能 找 出表达式 如不能 说说理由 生 2 由函数的定义知 能构成函数 其中以 X 为 自变量 以 Y为函数 表达式为 Y X 旦 师 回答非常好 你再说说你是怎样得到这一 表达式的呢 生 2 只要在原关系式 9 X x y中 两边同 除以 X就得到了 师 能直接除以 X吗 生 3 如果只看这一个关系式 不能除 因为 X 的值有可能为 0 但从题意知 X是画面的宽 所 以 不能为 0 因此等式两边可以同除 X 师 回答得非 常精彩 对 于这个 函数 你想研 究 它 的哪些 问题 呢 学生相继地提出了 8个问题 去掉重复 我把 研究的问题板书在黑板上 问题 1 研究此函数的定义域 问题 2 研究此函数的值域 维普资讯 案例与课例 问题 3 研究此函数的反函数 问题 4 研究此函数的图像 问题 5 研究此函数的单调性 问题 6 研究此 函数的奇偶性 问题 7 研究此函数的周期性 2 3 问题 解 决 由于还没有学函数的周期性 问题 7现在不 作研究 分组探究 问题 1 6 师 请选 问题 1的小组代表报告你们的研究 结果 问题 1的代表 这个 函数 的定义域 是 O 师 这个问题我们前面刚研究过 知道 z只能 取正数 但 X的取值能无限大吗 生 1 不能吧 因为画图的下面是一个面积为 9 c m 的矩形 生 2 不对 应该能 因为当矩形的高很小时 它的宽 X就可以无限增大了 师 说得好 事实上 在实际生活 中 z的取值 不能取到无限大 但我们这是一种理论研究 只研 究X的可能取值 所以 X的值可以无限大 即定义 域是 O 请问选问题 1的小组 你们研究 了求 函数定 义域的类型和方法吗7 问题的代表 研究了 从我们接触过的求定义 域的问题 归纳为三种 类 型 1 有具体解析式的函数 一 要函数式有 意义 类型 2 复合函数的定义域 一 内函数 的值域 是外函数的定义域 类型 3 实际问题 一 不仅 函数式要有 意义 而且要有实际意义 师 研究的非常好 我们研究的这个函数就是 第三类 再 问一下 求定义域的常用方法是什么 解 不等 式或不 等式 组 师 大家注意 定 义域是研究 函数 的重要 内 容 忽视了它 会导致解题 的错误 如判断奇偶性 求单调区间 求 函数 的值域 最值或极值 以及 画 函数图像等 必先求 出定义域 师 下面我们请 问题 2的代表发言 问题 2的代表 函数的值域是 6 师 回答正确 你们是怎样求解 出来的呢 问题 2的代表 我们是 用画图像来求解 的 如图 2 所示 师 画出图像 利用数 形结合来 求 是个 好方法 还 用 了其 他方法 吗 生 我 用 了 判 别 式 法 也求得值域是 6 图 2 师 说说你的解答过程 生 原函数可化为 z 一y x 9 0 因为等式 成立 所以判别式 A 一 一4 9 0 又因为 Y 的值只能为正 所以解得 Y 6 师 很精彩 同学们 我们解决 问题的方法不 是唯一的 要学会从 多角度思考 问题 寻求答案 从而发展我们的思维能力 请问题 2的代表说说 你们归纳了求值域的哪些方法 问题 2的代表 常用 的求值域的方法有 配方 法 换元法 图像法 反函数法 判别式法 单调性 法 特别注意的是求值域 一定注意定义域 师 很好 我们不但要 知道这些方法 而且要 能正确应用这些方法解决 问题 下面请问题 3的 代表汇报你们的研究结果 问题 3的代表 这个函数没有反 函数 因为由 图像可看出 一个 函数值 可以对应两个不同的 自 变量值 如 Y一 1 0 时 有两个值X 1 或 X一9 所 以不能构成单值映射 即原函数没有反函数 师 说得好 但你们想过没有 这个 函数在哪 样一个区间上就会有反函数呢 生 3 原函数在区间 o 3 或 3 o 上存在 反函数 因为在这两个区间上函数有单调性 师 回答正确 但只有这两个区间吗 生 4 不是 应有无数个区间 使原 函数存在反 函数 因为只要是 区是 o 3 或 3 o 的子区 间就行 师 对 这是 因为单调 函数必存在反 函数 如 果求原函数在区间 3 上的反函数 你会吗 众 先将函数式看成是关于 X的一个方程 解 出 z一厂 再将 z Y互换 得 Y一 厂 求 维普资讯 原 函数的值域及反函数的定义域 师 很好 课后请你去把结果解出来 请 问题 4 的代表 汇报 工作 问题 4的代 表 图 Y l 像 是 一 个勾 形 其转 折 衰 有 茎 6 l xy 限 有 图 且 以 轴 和 直 o l 线y z 为渐近线 如图 I 3 7 l 师 正确 画函数 图 像主要有两 种方法 一 图3 种是描点法 一种是图像变换 请研究问题 5的代 表来报告他们的结果 问题 5的代表 函数在区问 O 3 上是单调递 减 在区间 3 上是单调递增 师 回答正确 你们是用什么方法判断的呢 问题 5的代表 我们用三种方法来判断 1 图 像法 2 定义法 3 导数法 师 图像刚才 已画了 那你说说 用导数判断 的过 程 生 因为 厂 z z 所以厂 z 的导函数 是 厂 1 9 令 1 一 9 O 又因为 z 0 所以解得z 3 所以原函数在 3 上单调递 增 而在 o 3 上单调递减 师 好 你再说说 判断 函数的单调性还有哪 些 方法 生 可以用单调性的性质来判断 还可以用复 合函数 同增导减 来判断 师 很好 你们还有什么研究结果吗 生 有 证明 函数单调性 只有两种方法 定义 法和导数法 易错点 求单调区间时 要注意定义 域的范围 我们还归纳了单调性 的应用 主要有 比 较大小 解函数不等式 求值域或最值 画图像等 方 面 师 说得很精彩 感谢 你们 的研究 请 问题 6 的代表发 言 问题 6的代表 我们的结论是 这是一个非奇 非偶函数 因为定义域 O 不关于原点对称 师 结论正确 并指出了判断函数奇偶性的必 层 境 界 见 题 是 解 见 题 不 是 题 见 题 还 是 题 如 对 数 l 函 数 z 能 不 能 提 出 一 些 变 式 函 数 来 荔 1 0 l 生 4 可 帔 为 l I 也可变为 一一2 z j z 生 5 还可变为 Y 二 导 Y 一 z 导 雪 1荤 生 还 可 变 为 z 一 三 一 z 兰 等 l 等 期 概括呢 1 月 生 7 可以变成 x 2 9 9 生 9 还 可 以 变 为 z z 一 导 一 一 z 导 维普资讯 总I 案例与课例 师 非 常精彩 今 天 的课 后 作 业 就是 研 究 大 家刚才提出的这 1 o个变式函数 像研究函数 Y z 导 一 样 归 纳 函 数 a x 刍的 一 系 列 性 质 写成一篇数学小论文 3 教学反 思 3 1 数学 情境 一 问题 教学 激发 了学生的主 动 参与 在传统教学中 特别是复习课 老师常用单一 的讲授方式教学 学生在知识 系统的构建 中缺乏 主动性 被动强化存储教师传授的数学知识 而中 小学 数学情境与提出问题 教学 让学生置身于 数学活动中 以 自己的经验和认知基础 对教师提 供的数学情境提出问题 然后在主动 积极地去探 索和解决 自己提出的问题 在 这个提 出问题与解 决问题的过程中深刻感受数学 体验数学 认知数 学 从而建立起 自己的数学知识体系 达到更好地 掌握数学知识 理解数学思想 提高数学思维能力 的 目的 同时分享提出问题 解决问题带来的成功 感 和乐趣 3 2 数学情境是提 出问题的前提 本课 以学校开画展为背影 设置课堂数学情 n 境 再以研究的函数 Y z十旦 为纽带 激发学生 Z 提出问题 从课堂教学情况来看 刚开始 学生从 画展的数学情境中提 出问题时 由于缺乏明确 的 思维 目标 有 的学生提 出了与主题相离甚远 的问 题 如一个学生提出了画面的颜色配置问题 经过 n 引导 有了函数 Y z 十三 提出研究函数的性质 工 有 了明确的 目标 学生 的思维激活了 提出问题 n 快 质量也高 课堂最后 根据函数 Y z十三 提 Z 出变式时 学生思维更加活跃 提 出了我预先没料 到的问题 而且归纳概括性也强 由此我感悟到 老师在创设数学情境时 必须认真分析学生的身 心特点 知识水平 切 实把握教学 内容和教学 目 标 综合考虑 创设更有利于学生尽快进行思维状 态的数学情境 这样学 生才能提 出高质量 的与教 学有实质关系的问题 少走弯路不浪费课堂时间 提