河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 文（含解析）(1).doc

洛阳市2014-2015学年高中三年级期中考试数学试卷（文a）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，科核心知识的同时，突出考查考纲的基本能力兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、程序框图，向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、统计，概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第i卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1.设集合,若，则实数m=a.0b.1c.2d.3【知识点】集合及其运算a1【答案解析】d 集合a=0，1，1aab，1bb=-1，0，m-2，1=m-2m=3故选：d【思路点拨】本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值【题文】2.已知，其中,若为实数，则实数=a.-2b.-1c.1 d.2【知识点】复数的基本概念与运算l4【答案解析】a z1=1+i，z2=2+bi，z1z2=（1+i）（2+bi）=2-b+（2+b）i，z1z2为实数，2+b=0，解得b=-2故选：a【思路点拨】由题意可得z1z2=2-b+（2+b）i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得【题文】3.设等差数列的前n项和为，若，则a.1b.4c.8 d.9【知识点】等差数列及等差数列前n项和d2【答案解析】c 等差数列an的前n项和为sn，s8=32，(a2+a7)=32，a2+a7=8故选：c【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解【题文】4.在长方体中，则异面直线bd与b1c1所成的角为a.30b.60c.90d.不能确定，与h有关【知识点】单元综合g12【答案解析】b b1c1bc，dbc是异面直线bd与b1c1所成的角（或所成的角的平面角），长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=3，ad= ，aa1=h，tandbc= ，异面直线bd与b1c1所成的角为60故选：b【思路点拨】由b1c1bc，知dbc是异面直线bd与b1c1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线bd与b1c1所成的角为60【题文】5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y的值是a.-1b.0.5c.2d.10【知识点】算法与程序框图l1【答案解析】a 当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx得y=-1故选a【思路点拨】按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx求出y【题文】6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 a.b.c. d.【知识点】双曲线及其几何性质抛物线及其几何性质h6 h7【答案解析】b 抛物线方程为y2=4x2p=4，可得=1，抛物线的焦点f（1，0）又双曲线的方程为x2-=1a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=x，即y=x，化成一般式得：xy=0因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=故选：b【思路点拨】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点f（1，0）由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=x，化成一般式得：xy=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离【题文】7.已知为r上的奇函数，且满足，当时，则a.2b.-2c.8 d.-8【知识点】函数的奇偶性与周期性b4【答案解析】b 奇函数f（x）的定义域为r，且满足f（x）=f（x+4），y=f（x）是周期为4的奇函数，又当x（0，2）时，f（x）=2x2，f（2015）=f（5034+3）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-2故答案为：b【思路点拨】由已知得f（2015）=f（5034+3）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-2【题文】8.已知向量,其中，则与的夹角等于a.b.c.d.【知识点】平面向量的数量积及应用f3【答案解析】c =cos0+sin（-1）=-sin，|=1，|=1，cos=-sin= cos（ ），（，），0，y=cox在0，上单调递减，=故选c【思路点拨】由向量夹角公式可得cos = =-sin=cos（ ），再由 （ ，），0，y=cox在0，上单调递减，可得结论【题文】9.已知直线l：与圆o：相交于a，b两点，则“”是“oab的面积为”的a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分又不必要条件【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系h4【答案解析】a若直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则圆心到直线距离d=，|ab|=2=2=2，若k=1，则|ab|=2=，d=，则oab的面积为=成立，即充分性成立若oab的面积为，则s=2=2=，解得k=1，则k=1不成立，即必要性不成立故“k=1”是“oab的面积为”的充分不必要条件故选a【思路点拨】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【题文】10.已知实数x、y满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为a.3b.4c. 7 d.12【知识点】简单的线性规划问题e5【答案解析】c作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（1，0），b（3，4），c（0，1）设z=f（x，y）=ax+by（a0，b0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点b时，目标函数z达到最大值zmax=f（3，4）=7，即3a+4b=7因此，=（3a+4b）（）=25+12（），a0，b0，可得2=2， (25+122)=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7故答案为：7【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时 的最小值为7【题文】11.若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是a.b.c.d.【知识点】导数的应用b12【答案解析】d f（x）= x2-ax+lnx，f（x）=x-a+，由题意可知存在实数x0，使得f（x）=x-a+=0，即a=x+成立，a=x+2（当且仅当x=，即x=1时等号取到），实数a的取值范围是2，+）故选：d【思路点拨】求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+ ，利用基本不等式求得x+ 的范围得答案【题文】12.已知定义在实数集r上的函数满足，且的导函数为在r上恒有，则不等式的解集为a.b.c.d.【知识点】导数的应用b12【答案解析】b 令f（x）=f(x)-x-2,因为f（1）=0，在r上恒有，为增函数，所以 的解集为，故答案为b【思路点拨】构造新函数求大于0的解，利用单调性求出。第ii卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【题文】13.若等比数列的各项都是正数，若，则等于_.【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案解析】3 等比数列an的各项都是正数，且a3a15=64，a9=8，log2a9=log28=3故答案为：3【思路点拨】由题意和等比数列的性质可得a9=8，代入要求的式子化简即可【题文】14.在面积为s的abc内部任取一点p，则pbc的面积大于的概率是_.【知识点】几何概型k3【答案解析】如图pbc的面积= abc的面积，debc，又当p落在ade内时，pbc的面积大于，所求概率p= 【思路点拨】结合图形，求得符合条件的实验区域，利用面积比计算概率【题文】15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为_.【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案解析】 由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：222=故答案为：【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可【题文】16.已知函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是_.【知识点】函数与方程b9【答案解析】（-，-） 令f（x）=1-ax-x2=0，x2= ，若f（x）0成立，解得：- a-故答案为（-，-）【思路点拨】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】17.（本小题满分12分）在中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，c=2，.（1）若abc等于，求a，b；（2）若，求b.【知识点】解三角形c8【答案解析】（1）(2) （1）由余弦定理及已知条件得 2分又得. 4分联立解得. 6分(2)由得，7分 9分由正弦定理得 12分【思路点拨】利用余弦定理求出边，利用正弦定理解除边b.【题文】18.（本小题满分12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某社区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表（2代表健康，1代表基本健康，0代表不健康，但生活能够自理，-1代表生活不能自理）：（1）随机访问该社区一位80岁以下（不含80岁）的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（2）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该社区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.健康指数210-160岁至79岁人数120133321580岁及以上的人数918149【知识点】随事件的概率k1【答案解析】（1）(2) （1）该社区80岁以下老龄人生活能够自理的概率为所以，老人生活能够自理的概率为.4分(2) 根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人有280人，不大于0的老龄人有70人，所以被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，依次记为a1，a2，a3，a4，1位健康指数不大于0，记为b，从这5人中抽取3人的结果有10种，即a1，a2，a3，a1，a2，a4a1，a3，a4a2，a3，a4a1，a2，ba1，a3，ba1，a4，ba2，a3，ba2，a4，ba3，a4，b， 8分其中恰有1人老龄人的健康指数不大于0的取法为后6种.10分所以被访问的3位老龄人中恰有1位的健康指数不大于0的概率为.12分【思路点拨】列出各种情况下的结果，然后求出概率。【题文】19.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，点d是ab的中点.（1）求证：平面ca1d平面aa1b1b；（2）若底面abc为边长为2的正三角形，,求三棱锥的体积. 【知识点】单元综合g12【答案解析】（1）略（2）1（1）ac=bc，d是ab中点，abcd，又aa1面abc，cd面abc，aa1cd，又aa1ab=a，cd面aa1b1b3分cd面ca1d，平面ca1d面aa1b1b. 6分（2）,由（1）知cd面aa1b1b，所以高就是cd=8分bd=1，b1b=，所以a1d=b1d=a1b1=2，10分.12分【思路点拨】先利用线面垂直求出面面垂直，利用体积公式求出相应体积。【题文】20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p,a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连结ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.（1）若直线pa平分线段mn，求k的值；（2）若k=2，求pab的面积s.【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案解析】（1）（2）（1）由题意知：，故,所以线段mn中点的坐标为.2分由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以k=.4分（2）直线pa的方程为，代入椭圆方程得解得，因此于是，直线ac的斜率为，故直线ab的方程为.6分因此8分即直线ab的方程为，联立，消去y得.所以从而,10分所以pab的面积s=，12分【思路点拨】利用椭圆a,b,c关系求出a,b。利用现场公式求出弦长，再求出面积。【题文】21.（本小题满分12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若函数没有零点，求a的取值范围.【知识点】导数的应用b12【答案解析】（1）的单调减区间是，单调增区间是（2）（1）.1分当时，在时，,所以的单调区间是；3分当时，与在定义域上的情况如下：的单调减区间是，单调增区间是.5分（2）由（1）可知当时，是函数的单调增区间，且有，所以，此时函数有零点，不符合题意；7分当时，函数在定义域上没有零点；8分当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，所以当，即时，函数没有零点.11分综上所述，当时，没有零点.12分【思路点拨】先利用求导公式在定义域内求出单调性，根据单调性确定于零点个数。【题文】22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形abcd内接于,bd是的直径，于点e，da平分.（1）证明：ae是的切线；（2）如果,求cd【知识点】选修4-1 几何证明选讲n1【答案解析】（1）略（2）2（1）连接oa，则ca=od，所以cad=oda.又oda=ade，所以ade=oad，所以ca/ce.3分因为aece，所以caae，所以ae是o的切线.5分（2）由（1）可得adebad，所以,即，则bd=2ad，所以abd=