2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题05.doc

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五（时间：120分钟 满分：150）姓名_一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1若函数满足，则的解析式是_2如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于_3若，则角的取值范围是_4袋中装有个红球和个白球，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为_5已知实系数一元二次方程的两个实根为、，且，则的取值范围是_6如图，在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，则这样的直线的条数为_7已知为锐角，且，则_8设是以2为周期的奇函数，且，若，则_9若成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程是_10设，则的最大值为_二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11设、是函数的反函数图像上三个不同点，且满足的实数有且只有一个，试求实数的取值范围12已知，设，记；（1）求的表达式；（2）定义正数数列：，试求数列的通项公式13如图，的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，设、分别为内切圆与边、的切点，求证：、三点共线14如图，已知抛物线：，为的焦点，为准线，且与轴的交点为，过点任意作一条直线交抛物线于、两点；（1）若；求证：；（2）设为线段的中点，为奇素数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数；求证：点到坐标原点的距离不可能是整数2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五答案一、填空题：1若函数满足，则的解析式是_解：由得，脱掉绝对值号，有：，2如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于_解：构造平行四边形，则，；3若，则角的取值范围是_解法一：，得；，解得解法二：原不等式可变形为，构造函数，则原不等式为，易知在上是增函数，因此，注意到，解得4袋中装有个红球和个白球，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为_解：记“取出两个红球”为事件，“取出两个白球”为事件，“取出一红一白两球”为事件；则；由题意可知，即；也即；从而为完全平方数，又由及，得；所以有：，或，或，或；解之可得：（舍去）；或，或，或；共有3组5已知实系数一元二次方程的两个实根为、，且，则的取值范围是_解：设，则，得；在直线坐标平面上作出上述不等式所表示平面区域，如右图中阴影部分所示（不含边界），两直线与的交点是，表示经过坐标原点和可行域内的点的直线的斜率，显然，当过点时，斜率为；当与直线平行时，斜率为，所以6如图，在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，则这样的直线的条数为_解：由于二面角的平面角为，所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内，不存在过点且与平面和平面均成的直线，转而考虑它的补二面角，易知过点有且仅有两条直线与平面和平面均成，故满足条件的直线有2条7已知为锐角，且，则_解法1：由题意及三倍角的余弦公式得，即；故解法2：设，则；故8设是以2为周期的奇函数，且，若，则_解：，9若成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程是_解：由知，直线过定点，又点在椭圆上，为所截线段的一个端点，设另一端点为，的中点为，则有即，而点在椭圆上，代入椭圆方程中，有，故中点轨迹方程是10设，则的最大值为_解：由题设得，则，即；，当且仅当时取等号二、解答题：11设、是函数的反函数图像上三个不同点，且满足的实数有且只有一个，试求实数的取值范围解：的反函数是，则，；由，得：；此方程等价于； （5分）（1）当，即时，方程有唯一实根；（10分）（2）当，即时，方程有两个实根，显然，满足条件，从而应有即；（15分）而时，点、重合，所以的取值范围是（20分）12已知，设，记；（1）求的表达式；（2）定义正数数列：，试求数列的通项公式解：（1）由，得，即，即（5分）即，解得；（10分）（2）因为，所以，即；（15分）因此，是首项为2，公比为的等比数列；所以，故（20分）13如图，的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，设、分别为内切圆与边、的切点，求证：、三点共线 证法1：如图，设直线与边相交于点，连结、；，；有：，即；（5分）又，有 （10分）；、四点共圆，有由、及，得；、三点共线 （20分）证法2：如图，连结、；，、四点共圆，有；（5分）又为的内心，；从而（10分），；、三点共线 （20分）14如图，已知抛物线：，为的焦点，为准线，且与轴的交点为，过点任意作一条直线交抛物线于、两点；（1）若；求证：；（2）设为线段的中点，为奇素数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数；求证：点到坐标原点的距离不可能是整数解：（1）法1：点的坐标为，设直线的方程为，代入；得：；设、，则、是方程的两个根，有；由，得；又，；，（10分）法2：如图，设点、在准线上的射影分别为、，则、，从而，得；，；又，；，即（10分）（2）设，依题意、均为非零整数，由对称性