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2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一模)19(1)解:设等比数列的公比为,依题意,有即所以由于,解之得或又,所以,所以数列的通项公式为()7分(2)解:由(1),得8分所以所以故数列的前项和20(1)解:依题意可得,设双曲线的方程为,因为双曲线的离心率为,所以,即所以双曲线的方程为(2)证法1:设点、(,),直线的斜率为(),则直线的方程为,4分联立方程组, 整理,得,解得或所以 同理可得,所以8分证法2:设点、(,),则,4分因为,所以,即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上,所以,即,6分所以,即所以(3)解:设点、(,),则,因为,所以,即9分因为点在双曲线上,则,所以,即因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以10分因为, 所以11分由(2)知,即设,则,设,则,当时,当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减 因为,所以当,即时,12分当,即时,13分所以的取值范围为14分说明:由,得,给1分21(1)证明:设,所以当时,当时,当时,即函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得唯一极小值,2分因为,所以对任意实数均有 即,所以(2)解:当时,4分用数学归纳法证明如下:当时,由(1)知假设当()时,对任意均有,5分令,因为对任意的正实数, 由归纳假设知,6分即在上为增函数,亦即,因为,所以从而对任意,有即对任意,有这就是说,当时,对任意,也有由、知,当时,都有(3)证明1:先证对任意正整数,由(2)知,当时,对任意正整数,都有令,得所以再证对任意正整数,要证明上式,只需证明对任意正整数,不等式成立即要证明对任意正整数,不等式(*)成立10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*):方法1(数学归纳法):当时,成立,所以不等式(*)成立假设当()时,不等式(*)成立,即则因为,12分所以13分这说明当时,不等式(*)也成立由、知,对任意正整数,不等式(*)都成立综上可知,对任意正整数,不等式成立14分方法2(基本不等式法):因为,11分,将以上个不等式相乘,得13分所以对任意正整数,不等式(*)都成立
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