第20讲 统筹学初步.doc

第20讲 统筹学初步家教导航知识网络在我国古代，人们就知道：“运筹于惟幄之中，决胜于千里之外。”现代人以此来说明正确地制定策略、策划、统筹安排的重要作用。只有掌握了最优化的思想，合理统筹安排操作程序，才能够提高效率，节省人力、物力、时间，争取获得最好的结果。这种思想还可以使我们养成遇事爱动脑筋，做事合理安排的良好习惯。在这一章节中我们将通过对一些例题的介绍，使大家熟悉如何合理统筹安排。重点难点统筹安排的问题来源于生活实际，在解题的过程中要学会将实际问题转化成数学问题去思考，然后求解。学法指导合理安排反映了人类实践活动中十分普遍的现象。人们要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。也就是说在解这类题的时候，既要考虑到最优还要满足实际条件。经典例题例1小美招待客人，要烧水彻茶。洗开水壶要3分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶林要用5分钟，拿茶叶要用1分钟。小美估算了一下，完成这些工作最多要用21分钟。为了使客人早点喝上茶，怎样安排，多少分钟能沏好茶？思路剖析由题意知彻茶前总共有5个准备工作必须得做。而且其中的有些工作的先后顺序是有要求的，洗水壶是烧开水的前提条件。但烧开水、洗茶壶、洗茶杯和取茶叶做为沏茶的前提条件，这几项工作没有先后顺序。注意到在这四项工作中烧开水需要的时间最长，只要将水放到火上，在等水开的过程中，小美可以去做其他的事情，而洗茶壶、洗茶杯、取茶叶都需要小美亲自、逐一地去做。可用图示表示小美烧水彻茶的过程：解答小美的工作安排如下：先用3分钟洗水壶，然后烧开水用10分钟；在等水开的过程中，再洗茶壶、洗茶杯、取茶叶，做这三件事情总共需2+5+1=8（分钟），少于水烧开所需时间，水开了后就沏茶，共用了3+10=13（分钟）。例2车间里有一批16米长的原材料，现在要截成6米长的毛坯40根，4米长的毛坯36根，试设计最省料的下料方案。问要几根原材料？思路剖析先找到把16米的原材料截成6米和4米两种毛坯的不同方法。然后从中找到最优的方案。16米原材料下料方法如下表：要使原材料不出现浪费，截取原材料的方法应从第一种和第三种方法中选取。由于第三种方法中只能得到一种4米的毛坯，因此应先采用第一种方法，截取20根原材料，这时得到6米的毛坯40根，4米的毛坯20根。那么还需得到4米的毛坯36-20=16（根），这16根4米的毛坯采用方法三，需要原材料164=4（根）。这样正好满足题目的要求。解答欲使原材料不浪费，截取16米原材料的方法有两种：方法一：截成2根6米的毛坯和1根4米的毛坯。方法二：截成4根4米的毛坯。先按方法一截20根原材料，得到40根6米毛坯和20根4米毛坯。再按方法二截4根原材料，得16根4米毛坯。可满足题中条件，共需20+4=24（根）原材料。例3在火炉上烤烧饼，烤好一个烧饼需要4分钟，每烤完一面需要2分钟，炉上只能同时烤2个饼，现在需烤201个烧饼，至少需要多长时间？思路剖析烤一个烧饼，每一面需要2分钟，两张饼有4个面，共需8分钟，而一个炉上可以同时放2个饼，则可节约一半的时间，那么烤两个饼需82=4（分钟）。现考虑烤三张饼的情况，为了充分利用炉子，不至出现浪费的情况，可以这样安排，先把两张饼放进去，2分钟后把一个翻面，另一个取出，再放一张新的进去，再过2分钟后，取出熟的；把原来取出的放回，并把炉里的翻面再烤2分钟即可，那么烤三张饼需至少2+2+2=6（分钟）。要烤201张饼，由于201是奇数，可以将它们分成两个饼为一组的和三个饼为一组地分别按照两种烤法进行。解答将201张饼，分成2个饼为一组，共有（201-3）2=99（组），共需499=396（分钟）。剩下的三个饼为一组，在这组中先将前2个放进去，2分钟后将一个翻面，另一个取出，放入新的，再过两分钟后，将熟的取出，把另外两个翻面后放入，再过2分钟后烤好。这样总共用了396+6=402（分钟）。答：烤201个烧饼至少需要402分钟。例4如图1是一个物资调运问题。A、B、C、D是产地，E、F、G、M、N是销地，产销量（吨）及距离（公里）数如图所注，试作一个吨公里总数最小的调运方案。思路剖析欲满足吨公里总数最小的目的，那么从产地运出的货物要优先地并尽可能多地运往最近的销地。A地只能将30吨货运往E地，则E地还可销60-30=30（吨）货。B地将全部20吨货运往F地，则F地还可销40-20=20（吨）货。C地可将其中的20吨货运到G地，那么C地还剩50吨货。G地销量已满。D地可将其中的30吨货运往N地，那么D地还剩90吨货，而N地销量已满。此时产销情况如图2所示。从图2中可以提出运往F地的20吨货物若从C地来，则路程大于从D地运来。那么D地其中有20吨货运往F地。因此C地50吨货全部运往M地。M地还可销90-50=40（吨）货。D地剩下的90-20=70（吨）货，其中40吨运往M地，30吨运往E地。解答调运方案如图3所示：例5有2001名学生分散在一条公路上义务宣传环境保护，问活动结束后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最短？思路剖析一下子考虑2001个人的情况很难入手。那我们先从2个人的情况考虑起，设2个人宣传岗位分别为，易知集合地点选在点或点或者之间的任何一个地点都可以。因为选在这些点时，两个人走过的路程总和都是。当有3个人时，则集合地点应该选在中点的人所在地，。因为若集合地点选在之间的B点，那时3个人所走的路程总和是；若集合地点选在之间的C点，那时3人所走的路程总和是。只有当集合地点选在点时，3个人所走的路程总和为，显然小于选在B点、C点时的路程。当有4个人时，对于、岗位上的人来说，集合地点无论选在之间的任何位置，他们的路程和都是。那么集会地点应由、来决定，这时问题转化为“只有2个人时的情况”。根据前面得到的结论，集合地点应选在、或者之间的任何地点。当有5个人时，类似地可将问题看作“有3个人”的情况，由前面得出的结论可知、集合地点应选在点。由前面的分析，可以得出这样一个规律：当有偶数个人时，集合地点选在中间两个人或他们之间的任何地点。当有奇数个人时，集合地点应选在正中间那个人的位置。解答因为2001=21000+1，有奇数个人，所以集合地点应选在从某一端数起第1000+1=1001个人的位置。点津此题是从简单的最少人数的情况入手，通过逐步递推，找出一般性的规律，从而使问题得到解决。在遇到数字较大的问题时都可以采用这种方法。例6A、B、C、D四位同学分别拿着5、3、4、2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？思路剖析由题意可知A、B、C、D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟。A用时最长，D用时最短。对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A等了5分钟，而D除了等A灌满5分钟外再加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共等候了5+5+2=12（分钟）。若反过来将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再自己打水用去5分钟，两人等候时间是2+2+5=9（分钟）。相比较，第二种方案用时少于第一种。由此可以得出这样的结论：把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短。解答按占用时间由少到多的顺序安排四个人为：D、B、C、A。等候时间：D打水时4个人等候，为24；B打水时3个人等候，为33；C打水时2个人等候，为42；A打水时1个人等候，为51。总共等候：24+33+42+51=30（分钟）答：四人打水顺序安排如下：D、B、C、A，总共需花费30分钟。发散思维训练1小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟。要完成这些事情，小明至少要花费多长时间？2把187吨货物从A地运往B地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车和小卡车每次的耗油量分别是10升和5升。如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？3某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需15小时注满，单放乙管需18小时注满。若要求10小时注满水池，并且使两管同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两管同时开放的时间最少需多少小时？4在36个零件中只有一个是次品，次品比正品重一些，现在只有一个天平，问至少称几次可以把次品找出来？5有一架天平，只有5克和35克砝码各一个，现在要把300克白糖分成三等分，则最少要称多少次？6某食堂用一只平底锅烙饼，每次能同时放4个饼，烙好一个饼需要6分钟（每面各需3分钟），那么烙好50个饼至少需要多长时间？第20讲1解：洗漱、收拾床褥、吃早饭这三件事需要逐一去完成，它们与听广播没有先后顺序，因此可同时进行。由于做前面的三件事共需5+4+817（分钟），大于听广播的时间，因此要完成这些事情小明至少需要17分钟。2解：大卡车载重量5吨，每次的耗油量是10升，相当于每吨耗油105=2（升）；小卡车载重量2吨，每次耗油量是5升，相当于每吨耗油52=25（升）。由此可知要尽量使用大卡车才能减少耗油量，1875372，因此派37辆大卡车，和1辆小卡车。需耗油：3710+l5375（升）答：派37辆大卡车和1辆小卡车可使耗油量最少，耗油量为375升。3解：由于单独开放甲管注满水池所需的时间少于乙管的，因此若使两管合开的时间尽可能地少，则应尽量多开甲管，甲管开放10小时，可注满水池的，那么还有，需用乙管来注，则乙管开放（小时）答：甲、乙两管同时开放的时间最少需6小时。4解：先将36个零件分成3组，每组有12个。取三组中的任意两组称，若天平平衡，则余下的12个中有一个是次品；若天平不平衡，则重的一组中有一个是次品。第一次称完后，有次品的一组数变为12个零件，再将这12个零件分成3组，每组有4个。依照上面的方法称量后，有次品的一组数变为4个零件。再将4个零件分成1个、l个、2个这样3组，选两组1个的到天平上称，若天平平衡，则次品在余下的两个球中，只要再称一次就可找到次品；如果天平不平衡，则可直接找出次品。答：至少要称四次可以把次品找出来。5解：第一次先用天平称出35克白糖。第二次在天平的一端放上35克白糖和35克砝码，另一端放上5克的砝码和白糖，天平平衡时得到的白糖数量为35+355=65（克），那么两次得到的白糖的量总共为35+65=100（克），第三次用这100克白糖称出另外100克白糖，那