几何动态问题解析.doc

典型例题例1.C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时PQAB？解：假设运动开始第t秒钟时PQAB解得：t2.4答：第2.4秒时PQAB。例2. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB4，BC7，P是BC上与B点不重合的动点。过点P的直线交CD的延长线于R，交AD于Q（Q与D不重合），且RPC45。设BPx，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求出自变量x的取值范围。解：ABCD是矩形ABCD4，BCAD7又RPC45CRP45，PCCR又BPx，则PC7x，CR7x又ABPQ面积为y0BP，PCCD4自变量x的取值范围为0x3例3. 已知，如图在RtABC中，C90，AC3，BC4，点E在直角边AC上，（点E与A、C两点均不重合）。（1）若点F在斜边AB上，且EF平分RtABC的周长，设AEx，试用x的代数式表示SAEF；（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将RtABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由。解：（1）在RtABC中，C90，BC4，AC3，则AB5过点F作FDAC，垂足为D则RtADFRtACB（2）假设存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分，又AEx若点F在斜边AB上，则由（1），可知若点F与B重合，如图：不存在满足题设要求的直线EF若点F在BC上如图所示，由AEx，得CE3x又CECF6不存在直线EF满足题设要求例4. P，过P作PDAB，与AC相交于点D，连结AP，设BPx，APD的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。解：（1）PDBA过P点作PMAC于M，则P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合函数自变量的取值范围为0x6（2）过点A作ANBC，垂足为N，则026例5. A、B是直线l上的两点，AB4厘米，过l外一点C作CDl，射线BC与l所成的锐角160，线段BC2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2厘米的速度，沿由C向D的方向运动，设P、Q运动的时间为t秒，当t2时，PA交CD于E。（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求APQ的面积S与t的函数关系式；（3）当QE恰好平分APQ的面积时，QE的长是多少厘米？解：（1）依题意，可得：BPt，CQ2t，PCt2ECABPECPAB（2）作PFl垂足F，则（3）根据题意，当QE平分APQ的面积时，则AEPEECABPCCBt22t4例6. 正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC2cm，现有两点E、F分别从点B，点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm/秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t（秒）。（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？（2）设1t2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）当1t2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值。解：（1）设E、F出发后t秒时，有EFBC（2）设E、F点出发后运动到t秒时，EF与半圆相切过点F作KFBC，交AB于K，则（3）当1t2时，点P的位置不会发生变化设1t2时，E、F出发后t秒时，EF位置如图：BEt，AE2t，CF42t又ABCD当1t2时，点P的位置与t的取值无关，即点P的位置不会发生变化例7. 的切线与CB的延长线交于点E。（1）求证：ABDACDBE；EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）证明：（1）连结ACEA切O于点A，点C在O上EABACDACB四边形ABCD是O的内接四边形ABEDABECDAABDACDBEBAFDCA，或FABD等），使原结论成立。例8. 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AB8cm，AD24cm，BC26cm，AB为O的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒，求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与O相切、相交、相离？解：（1）ADBC只要QCPD，四边形PQCD为平行四边形此时，有3t24t解得：t6即当t6秒时，四边形PQCD为平行四边形同理，只要PQCD，PDQC，四边形PQCD为等腰梯形过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点（如图所示）则由等腰梯形的性质可知：EFPD，QEFC2解得：t7t7秒时，四边形PQCD为等腰梯形（2）设运动t秒时，直线PQ与O相切于点G（如图）过P作PHBC，垂足为H，则PHAB，BHAP即PH8，HQ263tt264t由切线长定理，得：PQAPBQt263t262tt0（秒）时，PQ与O相交；运动，此时PQ也与O相交例9. 已知ABC中，ACB90，ACb，BCa，且ab，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合，如图所示。（1）当P是AB中点时，若以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，这时的Q点能有几个？分别求出相应CQ的长。（2）当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC的三角形外，CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有情况；若不可能，请说明理由。解：（1）当P为AB中点时，以点C、P、Q为顶点的三角形中与ABC相似的共有2个当Q为BC中点时，PQBC又P为AB中点CPPB，PCQBAPCBPC过P作PQCP，交BC与Q，PCQBCPQBCA（2）过A作A的角平分线AD，交CB于D，以D为圆心，CD为半径作圆D，交BC于Q，则圆D切AB于P，DPABCQ是圆D的直径CQP为直角三角形设CDx，则CQ2x，QBa2x，DPx由ACBDPB以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P，CQP为直角三角形；以CQ为直径的圆与AB相离，无论P为AB上哪一点，CPQ都小于90，所以除PQPC的CPQ外，CPQ不可能为直角三角形。以CQ为直径的圆与AB相交于两点P1和P2，CQP1和CQP2都是直角三角形。（当P在P1与P2之间时，CPQ90，当P在P1与P2外侧时，CPQ90）这时CPQ中，除PQPC的三角形外，有两个直角三角形，即CP1Q和CP2Q。解决这类问题的关键是要抓住动中含静的解题思想，动时则存在两个变量间的函数关系，静时则存在两个量间的等量关系，这类题目中含有丰富的数形结合、函数、方程、分类、转化等数学思想方法，它要求考生能用动态思维去分析问题和解决问题。练习题一. 选择题：（本题共40分，18题每题3分，912题每题4分）。以下各题的四个被选答案中，有且只有一个是正确的。1. 4的算术平方根是（ ）A. 2B. C. D. 2. 一元二次方程 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A. 3，4，1B. 3，-4，1C. 3，-4，-1D. 3，4，-13. 观察下列用纸折叠成的图案，其中，轴对称图形和中心对称图形的个数分别为（ ）A. 4，1B. 3，1C. 2，2D. 1，34. 若代数式 ，那么代数式 的值是（ ）A. 1B. 2C. 11D. 无法确定5. 四边形ABCD中，AC，BD，则此四边形为（ ）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形 D. 等腰梯形6. 一组数据是23，27，20，18，12，x，它的中位数是21，则x是（ ）A. 21B. 23C. 不小于23的数D. 以上都不对7. 下列等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 8. 在解方程组 的过程中，转化正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 下列选项正确的是（ ）A. 若 ，则A60B. 若AB90，则sinAcosBC. D. 若A，B为锐角，则 10. 已知正方形的边长为a，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r：a：R等于（ ）A. B. C. D. 11. 已知，如图，二次函数 ，与一次函数 ， 的图象相交于A（-2，1）、B（2，5），若 ，则x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或 12. 平行四边形ABCD中，E为AD边上一动点，则 与 的比值是（ ）A. B. C. D. 不能确定二. 填空题：（本题共28分，1319题，每空3分，20题4分）13. 点A 在第二象限，则x的取值范围是_。14. _。15. 如图，CA切O于点A，点B在O上，若CAB35，则AOB_度。16. 点A（a，-3）与B（4，b）关于y轴对称，则a_，b_。17. 如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，ACB的平分线交DE于F，若AC8，BC10，则DF的长为_。18. 两圆内切，圆心距为4，一圆的半径为5，则另一圆的半径为_。19. ABC中，C90，AB5，AC3，以AC为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积为_。20. 如图，是一凹形水槽的截面图，将水注入水槽，则阴影部分的面积S与水面高度h的函数关系式（写出自变量的取值范围）为_。三. 解答题：（本题52分，2123题各5分，2426各7分，27、28题各8分。）21. 因式分解： 22. 计算： 23. 解方程： 24. 如图，将矩形ABCD顶点A沿BD翻折，A点落在E处，证明：BFDF25. 美化城市改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某市城区近几年绿地面积不断增加（如图所示）（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为_公顷，比2002年底增加了_公顷，在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加的最多的是_年。（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底，使城区绿地面积达72.6公顷，求2003到2005年绿地面积的平均增长率。26. 已知：关于x的方程 （1）k为何值时，方程有两个不等实根？（2）若方程两实根为 ，且 ，求s关于k的函数关系式，并在直角坐标系内画出当 时的函数图像；（3）若 ，求k的值。27. 如图，点E、F在以BC为直径的半O上，且 ，点A是CB延长线上一点，已知：BC10，AEB与EBC互余。（1）求证：AE是O的切线；（2）若 ，求EFC的面积；（3）若E是半O的动点，设 ，四边形BCFE的周长为y，求y关于x的函数，以及自变量x的取值范围，并判断四边形的周长是否有最大值，若有则求出来，若没有则说明理由。28 已知：抛物线 ，经过 ， ，其中 ，且ABD的面积是12。（1）求这条抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C（2， ）在这条抛物线上，那么在y轴的正半轴上是否存在点P，使PCD与POB相似，若存在则求出所有满足条件的P点坐标，若不存在说明理由。参考答案一. 选择题。1. A2. C3. B4. C5. A6. D7. C8. D9. B10. C11. C12. B二. 填空题。13. 14. 15. 7016. 17. 118. 1或919. 20. 三. 解答题。21. 解：原式 22. 解：原式 23. 解：设 ，原方程化为：解得： 或 当 时， 或 当 时， ，此方程无实根经检验： ， 都是原方程的解。 或 24. 证明：根据轴对称性，BEAB，BEDBADRtABCD为矩形ABCDBECD又BFEDFCBFDF25. 解：（1）60；4；2002（2）设年平均增长率为x根据题意得： 解得： 或 不符合实际意义 答：年平均增长率为10%。26. 解：（1）原方程可化为 或 令 ，即 解得： 当 时方程有两个不等实根（2） 当（ 时）图象如下所示：（3）由根的定义得： 整理得： 即 解此方程得： 27. （1）证明：连结OE，则OEOBOEBOBEAEBEBC90AEBOEB90OEAEAE是O的切线（2）解：延长CF、AE交于G连BF，则CFBF，并交OE于HOEBF，又OEAEAGBF，OECGFGE90则四边形EHFG为矩形HFHBEG又AFBC（3）延长CF、BE交于P，12又CEBP，CBEPCBCP10，PEEBx由割线定理：PEPBPFPC当E为半圆O中点时，OEBC，则过E点切线与BC平行当