高等数学上1-1映射与函数

第一章 分析基础 函数 极限 连续 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 第一章 第一节 二 映射二 映射 三 函数三 函数 一 集合一 集合 机动目录上页下页返回结束 映射与函数 元素 a 属于集合 M 记作 元素 a 不属于集合 M 记作 一 集合一 集合 1 定义及表示法定义及表示法 定义定义 1 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合 组成集合的事物称为元素元素 不含任何元素的集合称为空集空集 记作 Ma 或Ma Ma 注注 M 为数集 M表示 M 中排除 0 的集 M表示 M 中排除 0 与负数的集 机动目录上页下页返回结束 表示法表示法 1 列举法 按某种方式列出集合中的全体元素 例例 有限集合 n aaaA 21 n ii a 1 自然数集 2 1 0Nn n 2 描述法 xM x 所具有的特征 例例 整数集合 Zx N x或 Nx 有理数集 q p Q N Z qp p 与 q 互质 实数集合 Rx x 为有理数或无理数 开区间 xba bxa 闭区间 xba bxa 机动目录上页下页返回结束 a a Uxa xba bxa xba bxa 无限区间 xa xa xb bx x R x 点a的 邻域邻域 a xa axa x ax ax0 其中 a 称为邻域中心 称为邻域半径 半开区间 去心 邻域邻域 左左 邻域邻域 aa 右右 邻域邻域 aa 机动目录上页下页返回结束 是 B 的子集子集 或称 B 包含 A 2 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算 定义定义2 则称 A BA 若BA AB 且 则称 A 与 B 相等相等 BA 例如 ZN Q Z RQ 显然有下列关系 1 AA AA BA 2 CB 且CA A 若Ax Bx 设有集合 BA必有 记作 记作 机动目录上页下页返回结束 Ac A B B 定义定义 3 给定两个集合 A B 并集 xBA Ax 交集 xBA Ax Bx 且 差集 xBA Ax Bx 且 定义下列运算 A B BA 余集 ABBAB c A 其中 直积 yxBA Ax By 特例 RR 记 2 R 为平面上的全体点集 A BA B BA BA 机动目录上页下页返回结束 Bx 或 二 映射二 映射 1 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位 的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动目录上页下页返回结束 引例引例1 引例引例2 xxysin R xR y 引例引例3 ox y 1 Q P 1 22 yxyxC 11 0 yyY 点集 点集 CP 点 向 y 轴投影 YQ 投影点 xysin xy o x y 1 x 2 x xxysin 机动目录上页下页返回结束 定义定义4 设 X Y 是两个非空集合 若存在一个对应法 则 f 使得 Xx 有唯一确定的 Yy 与之对应 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射映射 记作 YXf 记作 xfy元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 Y 的子集 Xf Xxxf 称为 f 的 值域值域 注意注意 1 映射的三要素 定义域 对应规则 值域 2 元素 x 的像 y 是唯一的 但 y 的原像不一定唯一 XYf x y 机动目录上页下页返回结束 对映射YXf 若 YXf 则称 f 为满射满射 X Y f Xf 若 2121 xxXxx 21 x 有 fxf 则称 f 为单射单射 若 f 既是满射又是单射 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射 X Y Xf f 引例引例2 3 机动目录上页下页返回结束 引例引例2 引例引例2 例例1 三角形 三角形集合 海伦公式 b c a S面积 0 例例2 如图所示 S x y o x ey x 0 x 对应阴影部分的面积 0 S 则在数集 0 自身之间定义了一种映射 满射满射 例例3 如图所示 x y o yx r cosrx sinry 2 R yx f 2 0 0 r f 则有 满射满射 满射满射 机动目录上页下页返回结束 X 数集 或点集 X 说明说明 在不同数学分支中有不同的惯用 Y 数集 机动目录上页下页返回结束 f f 称为X 上的泛函 X X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数 映射又称为算子 名称 例如 2 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 1 逆映射的定义 定义定义 若映射 DfDf 1 DDff 使 为单射 则存在一新映射 习惯上 Dxxfy 的逆映射记成 1 Dfxxfy 例如 映射 0 2 xxy其逆映射为 xy 0 x Df D f 1 f 1 xyfDfy 其中 yxf 称此映射 1 f为 f 的逆映射 机动目录上页下页返回结束 2 复合映射 机动目录上页下页返回结束 1 D f g 手电筒 D D 2 D 2 D 引例 复合映射 定义 Dx g Dgxgu 1 Du f ufy 则当 1 DDg 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 xgfy Dxxgf 设有映射链 记作 1 DfY 合映射 时 或 1 DfY ufy xgf 1 D D x xgu g f gf Dg 机动目录上页下页返回结束 注意 构成复合映射的条件1 DDg 不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形 定义域 三 函数三 函数 1 函数的概念函数的概念 定义定义4 设数集 R D则称映射R Df为定义在 D 上的函数 记为 Dxxfy f D 称为值域 函数图形函数图形 yxC Dx xfy x y baD abx y DfD 机动目录上页下页返回结束 自变量 因变量 Dx f DxxfyyDfy 对应法则 值域 定义域 例如 反正弦主值xxfyarcsin 1 1 D 22 Df 定义域定义域 对应法则对应法则的表示方法 解析法 图象法 列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合 定义域值域 x y o xy xxf 又如 绝对值函数 0 xx 0 1 1 10 2 xx xx xfy 求 2 1 f及 1 t f 解解 2 1 2 1 2 f2 1 t f 10 M使 Mxf 称 xf Ix 0 M使 Mxf 称 xf 说明说明 还可定义有上界 有下界 无界 见上册 P11 2 单调性单调性 Dx 为有界函数 在 I 上有界 使若对任意正数 M 均存在 Mxf 则称 f x 无界无界 称 为有上界有上界 称 为有下界有下界 Mxf xfM 当 21 Ixx 21 xx 时 21 xfxf若称 xf为 I 上的 单调增函数 单调减函数 x y 1 x 2 x 机动目录上页下页返回结束 x y oxx 3 奇偶性奇偶性 Dx 且有 Dx 若 xfxf 若 x 则称 f x 为偶函数 fxf 则称 f x 为奇函数 说明说明 若 xf 在 x 0 有定义 0 0 f xf 为奇函数奇函数时 则当 必有 例如 2 xx ee xfy xch 偶函数 x y o x e x e xych 记 双曲余弦 机动目录上页下页返回结束 x y o 又如 2 xx ee xfy 奇函数 x e x e xysh xsh 记 双曲正弦 再如 x x y ch sh xx xx ee ee 奇函数 o y x 1 1 xth 记 双曲正切 xyth 机动目录上页下页返回结束 4 周期性周期性 0 lDx且 Dlx xflxf 则称 xf为周期函数 t o tf 2 2 x o 2 y 2 若 称 l 为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 2 注注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数Cxf 狄里克雷函数 xf x 为有理数 x 为无理数 1 0 机动目录上页下页返回结束 3 反函数与复合函数反函数与复合函数 1 反函数的概念及性质 若函数 DfDf 为单射 则存在逆映射 DDff 1 习惯上 Dxxfy 的反函数记成 1 Dfxxfy 称此映射 1 f为 f 的反函数 机动目录上页下页返回结束 其反函数 减 减 1 y f x 单调递增 1 存在xfy 且也单调递增 性质 2 函数 xfy 1 xfy 与其反函数 的图形关于直线 xy 对称 例如 xey x 对数函数 0 ln xxy 互为反函数 它们都单调递增 其图形关于直线 xy 对称 xfy 1 xfy xy abQ baP x y o 机动目录上页下页返回结束 指数函数 2 复合函数 1 Duufy Dxxgu 1 DDg 且 则 Dxxgfy 设有函数链 称为由 确定的复合函数 机动目录上页下页返回结束 复合映射的特例 u 称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 1 DDg 不可少 例如例如 函数链 arcsinuy 12 2 xu 函数 12arcsin 2 xy Dx 1 2 3 1 2 3 但函数链 2 2 arcsinxuuy 不能构成复合函数 可定义复合 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 0 uuy 可定义复合函数 2 cot x y 12 2 kkxkZ 0 2 cot 22 x k x k时 2 1 0 cot kkvvu 2 x x v 4 初等函数初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 2 xy y 0 xx 0 0 1 当x 0 0 当x 0 1 x y o 1 1 取整函数 xy 当Znnxn 1 n x y o 13421 2 机动目录上页下页返回结束 例例5 求 y 01 x当 2 xy 的反函数及其定义域 解解 时 则 1 0 yyx 10 x当时 xyln 则 0 yex y 21 x 时 1 2当 x ey 则 2 2 ln1 2 eyx y y反函数 1 0 xx 0 xe x 2 2 ln1 2 ex x 2 2 1 e 定义域为 21 2 10 ln 01 1 2 xe xx xx x 2 12 e2 1 y ox 1 1 0 0 2 2 e 机动目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1 集合及映射的概念 定义域 对应规律 3 函数的特性有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 初等函数的结构 作业 P21 4 8 5 1 4 8 18 13 15 4 16 2 函数的定义及函数的二要素 第二节目录上页下页返回结束 且 备用题备用题 0 0 f 1 x c x fbxfa ba 证明 xf 证证 令 1 x t 则 1 t x t ctfbfa t 1 由 x c x fbxfa 1 xcxfbfa x 1 消去