（试题 试卷 真题）A16 专题 十六 最值问题

专题 最值问题【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点2：解斜三角形.考点3：线段的定比分点、平移.考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.考点5：向量在物理学中的运用.【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）:均值不等式法和单调性加以选择；（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点难点热点】问题1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1：(02年全国理1) 设a为实数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值思路分析：(1)考察与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论(1)解法一：(利用定义)，若都不成立，故不是奇函数；若为偶函数，则，即此等式对恒成立，只能是故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数解法二：(从特殊考虑) 又，故不可能是奇函数若，则，为偶函数；若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数（2）当时，由二次函数图象及其性质知：若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且当时，函数若，函数在上的最小值为，且；若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是点评：1研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证2二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论3本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2x6(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x) g(x)时,求函数的最小值 点拨与提示：由f(x) g(x)得x的范围，x+2+5，用不等式的知识求其最小值演变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=x33x29xa（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值点拨与提示：本题用导数的知识求解问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值 思路分析：将d用点M的坐标表示出来，然后求其最小值解：（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=+6, ,=4, ,由已知可得 ，则2+918=0, 解得=或=6 由于0,只能=,于是= 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0 设点M(,0),则M到直线AP的距离是 于是=,又66,解得=2 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值演变3：xy（05年辽宁）如图，在直径为的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中() 将十字形的面积表示为的函数；() 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值 问题3：最值的实际应用OO1在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数当时，最大答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力演变4（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99有两种方案可供选择方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度 （1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小 （2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为与，于是+，利用均值不等式求最值问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x)m恒成立，即m；f(x)m恒成立，即m例4、已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围思路分析：f(x)0恒成立，即0解：（1）当时，在区间上为增函数在区间上的最小值为（也可用定义证明在上是减函数）（2）在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3即点评：1（1）中，这类函数，若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可2求函数的最小值的三种通法：利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现演变5：已知函数，其中0a4（）将的图像向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（）函数与函数的图像关于直线对称，求函数的解析式；（）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围点拨与提示：（）的实质就是恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力在历年高考中占有较稳定的比重解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等例5设直线过点P（0，3）且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围思路分析：=要求的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数（自然的想到“直线AB的斜率k”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：由此出发，可得到下面的两种解法解法1:当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形当时，所以 =由 , 解得 ，所以 ，即 解法2:设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则，令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 结合得综上，点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法演变6：已知函数，（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解专题小结1函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等2三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解3在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值4不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x)m恒成立，即m；f(x)m恒成立，即b0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1） 求点P的轨迹H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（00恒成立，故a0；若0即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C8C提示：2(x+)(y+)8=4当且仅当,得x=y=时等号成立,选(C)93.5 提示：点P在以A,B为焦点,2a=3的双曲线的右支上,|PA|的最小值为1.5+2=3.5C1CBA110.11提示：求的最大值，即求轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值为11.11.提示：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值通过计算可得A1C1C90又BC1C45,A1C1C135 由余弦定理可求得A1C12.提示：将视为主元，设，则当时，0恒成立等价于：即,解得13记（）则原问题等价于求在上的最大值当时，即时，f(t)取得最大值14解：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为15 解 ()由题设和是方程的两个实根，得+且2，所以，当-1,1时，的最大值为9，即3由题意，不等式对任意实数-1,1恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得，或不等式的解为，不等式的解为或因为，对或或时，P是正确的()对函数求导令，即此一元二次不等式的判别式若D0，则有两个相等的实根，且的符号如下：x(,)(,+)+0+因为，不是函数的极值若D0，则有两个不相等的实根和 (0时，函数f()在(,+)上有极值由得或，因为，当或时，Q是正确得综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-,1)16 解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x，原点距l的距离为，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0 g(x),得x+2x2x6,即(x+2)(x4)0, 得2x0,则3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=1时成立 的最小值是3点评：（1）要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法如型（2）利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可演变2：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7演变3：（）解：设S为十字形的面积，则 （）解法一：（其中）当最大 所以当最大 S的最大值为解法二： 因为 所以令，即可解得 所以，当时，S最大，S的最大值为 演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x19由c0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y=4a，故z=4a+3即两种方案的用水量分另为19与4 a +3因为当1a 3时，xz4（4a）0，即xz故方案乙的用水量较少（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+当a为定值时，当且仅当时等号成立，此时（不合题意，舍去）或将代入（*）得，故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量为当1a 3时，故T（a）是增函数（也可用二次函数的单调性来判断），这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加演变5：（）；（）设点是函数上任一点，点关于的对称点是，由于函数与函数的图像关于直线对称，所以，点在