高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4.ppt

2 4 2平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 它们对应坐标 的乘积的和 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 思考 用向量的数量积的坐标表示求数量积的优势是什么 提示 优势是不需求向量的模和夹角 直接求数量积 简化了运算 二 三个重要公式 判断 正确的打 错误的打 1 若两非零向量的夹角 满足cos 0 则两向量的夹角 一定是钝角 2 若a x1 y1 b x2 y2 则 3 两向量a与b的夹角公式的使用范围是a 0且b 0 提示 1 错误 如a 1 1 b 2 2 显然但a与b的夹角是180 而并非钝角 2 正确 所以 3 正确 两向量a与b的夹角公式有意义需且即a 0且b 0 此说法是正确的 答案 1 2 3 知识点拨 1 投影的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则向量b在向量a方向上的投影的坐标表示 2 向量垂直与向量平行坐标表示的区别 1 向量垂直的坐标表示可简记为 对应乘积和为零 2 向量平行的坐标表示可简记为 交叉相乘差为零 3 与非零向量a x y 垂直的单位向量设此单位向量为e x y 则由可求此向量 4 与非零向量a x y 平行的单位向量根据数乘向量的几何意义可知 与非零向量a x y 平行的单位向量是 5 向量坐标运算的应用向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化 并将数与形紧密结合起来 主要应用有 1 求两点间的距离 求向量的模 2 求两向量的夹角 3 证明两向量垂直 4 证明两向量共线 类型一数量积的坐标运算 典型例题 1 2013 乌兰察布高一检测 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 且满足条件 8a b c 30 则x a 6b 5c 4d 32 已知向量a与b同向 b 1 2 a b 10 求 1 向量a的坐标 2 若c 2 1 求 a c b 解题探究 1 向量的数量积的坐标表示是什么 2 根据向量a与b同向 可以将向量a的坐标设为什么形式 探究提示 1 向量a x1 y1 与b x2 y2 的数量积a b x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 2 根据a与b同向 且b 1 2 可以设a b 2 0 解析 1 选c 因为a 1 1 b 2 5 所以8a b 8 1 1 2 5 6 3 又c 3 x 所以 8a b c 6 3 3 x 18 3x 30 所以x 4 2 1 因为a与b同向 且b 1 2 所以a b 2 0 又因为a b 10 所以 4 10 所以 2 所以a 2 4 2 因为a c 2 2 1 4 0 所以 a c b 0 b 0 拓展提升 数量积坐标运算的方法技巧 1 进行数量积运算时 要正确使用公式a b x1x2 y1y2 并能灵活运用以下几个关系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 利用数量积的条件求平面向量的坐标 一般来说应当先设出向量的坐标 然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系 利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解 变式训练 在平面直角坐标系xoy中 已知向量a 1 2 a b 3 1 则a b 解析 方法一 由a a b 5得a2 a b 5 即5 a b 5 所以a b 0 方法二 由a 1 2 a b 3 1 得b 4 2 所以a b 0 答案 0 类型二与向量的模有关的问题 典型例题 1 已知a 1 2 b 2 m 若a b 则 2a 3b 等于 a b 4c 3d 22 已知 a 10 b 1 2 且a b 求a的坐标 解题探究 1 如何求m的值 向量的模的坐标表达式是什么 2 求向量的坐标一般采用什么方法 探究提示 1 由a b利用向量共线的坐标表示求m的值 向量a x1 y1 的模是2 一般采用设坐标 列方程的方法求解 解析 1 选b 因为a 1 2 b 2 m a b 所以1 m 2 2 0 所以m 4 所以2a 3b 2 1 2 3 2 4 4 8 所以2 设a的坐标为 x y 由题意得解得或所以a 或a 互动探究 题2中 a b 改为 a b 10 求a的坐标 解析 设a的坐标为 x y 由题意得即解得或所以a 10 0 或a 6 8 拓展提升 求向量的模的两种基本策略 1 字母表示下的运算 利用 a 2 a2 将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题 2 坐标表示下的运算 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2于是有 变式训练 以下选项中 不是单位向量的有 a cos sin b c 2x 2 x d 1 x x a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b 综上知 不是单位向量的有2个 类型三向量的夹角和垂直问题 典型例题 1 直角坐标系xoy中 若 abc是直角三角形 则k的可能值个数是 a 1b 2c 3d 42 设平面上向量a cos sin 0 360 求证 向量a b与a b垂直 解题探究 1 根据 abc是直角三角形求k时 应分哪几种情况 2 向量a和b的模分别是多少 要证a b与a b垂直 可以转化为计算什么 探究提示 1 根据 abc是直角三角形求k时 应分ab ac ab bc和ac bc三种情况讨论 2 向量a和b的模都是1 要证a b与a b垂直 可以转化为计算 a b a b 0 解析 1 选b 若 a 90 则若 b 90 则若 c 90 则 k2 k 3 0无解 所以综上 k可能取 6 1两个数 故选b 2 因为 a b a b 所以 a b a b 拓展提升 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 1 利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积 2 利用计算出这两个向量的模 3 由公式直接求出cos 的值 4 在 0 内 由cos 的值求角 变式训练 2013 山东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知若 abo 90 则实数t的值为 解题指南 本题考查了向量的线性运算及数量积运算 可先求出由 abo 90 则即可求出t的值 解析 因为 abo 90 所以所以即3 2 2 2 t 0 所以t 5 答案 5 规范解答 向量数量积坐标运算的综合应用问题 典例 条件分析 规范解答 1 1分因为所以 3 6 cos sin 0 2分所以3cos 6sin 0 所以tan 4分所以 6分 2 因为所以 8分所以因为 0 所以所以 9分设与夹角为 则 11分因为 0 所以所以与夹角为 12分 失分警示 防范措施 1 记准平面向量数量积 模 夹角的坐标表示 解答向量问题 必须要记清用准常用公式 如本例中数量积 向量的模和向量夹角公式的应用要准确 2 重视特定题型的处理方法特定题型往往有固定方法 如本例中已知tan 的值 求关于sin cos 的某些三角齐次式的值 常用 1 的代换 类题试解 2013 吉林高一检测 已知向量a sin cos 2sin b 1 2 1 若a b 求tan 的值 2 若 a b 0 求 的值 解析 1 因为a b 所以2sin cos 2sin 0 所以4sin cos 所以4tan 1 所以tan 2 因为 a b 所以 a 2 b 2 所以sin2 cos 2sin 2 12 22 所以sin2 cos2 4sin cos 4sin2 5 sin2 cos2 所以4cos2 4sin cos 0 所以4cos cos sin 0 所以cos 0或cos sin 0 即tan 1 因为0 所以或 1 若向量a 1 1 b 1 2 则a b a 1b 2c 3d 4 解析 选a a b 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 设向量a 2 0 b 1 1 则下列结论中正确的是 a a b b a b c a bd a b b 解析 选d 因为a 2 0 b 1 1 所以a错误 a b 2 0 1 1 2 1 0 1 2 b错误 因为2 1 0 1 0 所以a与b不平行 c错误 因为a b 2 0 1 1 1 1 所以 a b b 1 1 1 1 1 1 1 1 0 所以 a b b d正确 3 已知那么a b的夹角 a 30 b 60 c 120 d 150 解析 选d 因为所以又0 180 所以 150 4 已知a 2 3 b 2 4 则 a b a b 解析 方法一 a b 0 7 a b 4 1