高中数学 1.8.1函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质（一）课件 北师大版必修4.ppt

8函数y asin x 的图像与性质 一 a 对函数y asin x 图像的影响 1 对y sin x x r的图像的影响 左 右 2 0 对y sin x 的图像的影响 3 a a 0 对y asin x 的图像的影响 缩短 伸长 伸长 缩短 1 判一判 正确的打 错误的打 1 由函数y sin x 的图像得到y sinx的图像 必须向左平移 2 把函数y sinx的图像上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y sin3x的图像 3 在进行函数y asin x 图像间变换的时候必须先左右平移 再进行伸缩变换 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 要得到函数y sin x 的图像 可以将函数y sinx的图像向右最小平移 个单位 2 将函数y sin4x图像上点的横坐标 到原来的 倍可得到函数y sinx的图像 3 将函数y 2sinx图像上点的纵坐标 到原来的 倍可得到函数y 3sinx的图像 解析 1 1 错误 向左 右平移均可得到y sinx的图像 2 错误 应是缩短到原来的倍 3 错误 进行图像变换既可以先左右平移 也可以先伸缩变换 答案 1 2 3 2 1 要得到函数y sin x 的图像 可以将函数y sinx的图像向右最小平移个单位 答案 2 将函数y sin4x图像上点的横坐标伸长到原来的4倍可得到函数y sinx的图像 答案 伸长4 3 将函数y 2sinx图像上点的纵坐标伸长到原来的倍可得到函数y 3sinx的图像 答案 伸长 要点探究 知识点参数对函数y asin x 的图像的影响及图像间的变换1 明确参数a 的物理意义a 振幅 表示振动时物体离开平衡位置的最大距离 决定函数的最大值 最小值 t 称为周期 它表示振动一次所需的时间 即函数y的最小正周期 f 称为振动的频率 它表示单位时间内往复振动的次数 x 叫做相位 当t 0时的相位 即 称为初相 2 函数y asin x 图像变换的关注点 1 左右平移方向的确定 图像的左右平移由x的加减决定 规律是 加左减右 当x加一个正角时应向左平移 减一个正角时应向右平移 如由y sin x 到y sinx的平移变换 x的运算应是x x 故应向左平移 2 平移与伸缩变换的顺序对左右平移单位的影响 在由y sinx到y sin x 的变换过程中 若按照y sinx y sin x y sin x 的顺序变换 则平移单位是 若按照y sinx y sin x y sin x 的顺序变换 则平移单位是 3 左右伸缩变换中的注意点 一是伸缩倍数是 如将函数y sinx图像上点的横坐标伸长到原来的3倍 则图像的解析式为y sinx 二是伸缩变换针对的是x的变化 如将函数y sin x 图像上点的横坐标缩短到原来的倍 则图像的解析式为 4 上下伸缩变换的特点 上下伸缩变换针对的是函数值y 伸缩的倍数为a 微思考 1 左右伸缩变换与左右平移变换有何共同点 提示 两种变换实质上都是相位的变化 针对的都是自变量x的变化 伸缩变换是对x系数的变化 左右平移变换是对x的加减变化 2 频率f与周期t的联系与区别是什么 提示 f 前者指的是次数 后者指的是时间 即时练 试用三种不同的方法由函数y sinx的图像得到y 2sin的图像 解析 方法一 将函数y sinx的图像上所有的点向左平移个单位得函数y sin x 的图像 再将每个点的横坐标变为原来的得函数y sin 2x 的图像 最后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y 2sin 2x 的图像 方法二 将函数y sinx的图像上所有的点的横坐标变为原来的得函数y sin2x 再将所有的点向左平移个单位得函数y sin 2x 的图像 最后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y 2sin 2x 的图像 方法三 将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y 2sinx的图像 再同方法一或二的左右平移 伸缩变换得到y 2sin 2x 的图像 题型示范 类型一 五点法 作函数y asin x 的图像 典例1 1 如图 函数y asin x a 0 0 0 的图像只可能是 2 2014 北京高一检测 已知函数f x sin 2x 请用 五点法 画出函数f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图 解题探究 1 题 1 中图像与y轴交点在y轴什么位置 2 题 2 中五点指的是哪五点 探究提示 1 由已知x 0时y asin 0 交点在y轴正半轴上 2 函数的三个零点 两个最值点 自主解答 1 选b 当x 0时 y asin 0 排除c d 另外 由 x 得到其中一个单调增区间为结合图像 排除a 2 令x 2x 则填表 描点 用光滑的曲线连接即得函数的图像 如图所示 延伸探究 题 2 中若将函数变为f x cos 2x x r 试作出其在区间 0 上的图像 解析 完成表格 图像如图 方法技巧 1 五点法作图的技巧 1 五个关键点间的关系 函数y asin x a 0 0 的图像在一个周期内的 五个关键点 横向间距必相等 为于是五点横坐标依次为x1 x2 x1 x3 x2 x5 x4 这样 不仅可以快速求出五点坐标 也可在求得x1的位置后 用圆规截取其他四点 从而快速作出图像 2 整体思想的应用 求解五个关键点时 应运用整体思想 即分别令 x 0 2 求出相应x的值 进而求出对应函数值 2 给定区间内函数y asin x 的图像的作法作给定区间上 一个周期 上函数图像的关键是列表 求出x x 即端点处的相位 确定区间 之间的 五点 即函数的最值点 与x轴的交点相位 求出上述 五点 对应的x y值 最后描点连线得函数图像 变式训练 2014 三亚高一检测 画出函数y 3sin在长度为一个周期的闭区间上的图像 解析 描点 连线可得函数y 3sin在长度为一个周期的闭区间上的图像如图所示 补偿训练 画出函数y sin在区间 0 上的图像 解析 1 列表如表 2 描点 连线如图 类型二函数y asin x 图像的变换 典例2 1 2014 成都高一检测 函数y cosx的图像向左平移个单位 横坐标缩小到原来的 纵坐标扩大到原来的3倍 所得的函数图像解析式为 2 将函数y 2sin 1的图像作怎样的变换可得到y sinx的图像 解题探究 1 题 1 中横坐标缩小到原来的 纵坐标扩大到原来的3倍 则对自变量 函数值乘的倍数分别是什么 2 由y asin x b一般按什么样的顺序变换得到y sinx的图像 探究提示 1 横坐标缩小到原来的 则x应变为2x 纵坐标扩大到原来的3倍 则y变为3y 2 可先上下平移 再左右伸缩 最后上下伸缩 自主解答 1 选b 函数y cosx的图像向左平移个单位 得到函数y cos x 横坐标缩小到原来的 得到函数y cos 2x 纵坐标扩大到原来的3倍 得到函数y 3cos 2x 2 y 2sin 1的图像横坐标缩短到原来的 纵坐标缩短到原来的 然后图像向右平移个单位 向上平移个单位得到y sinx的图像 方法技巧 利用图像变换作图的技巧 1 已知变换前后的解析式求变换方式时 较简洁的作法是 若 1 则可以先进行左右平移变换 再进行其他的变换 若 1 则先进行左右伸缩变换 再进行其他的变换 2 对于函数y acos x 的图像平移规律与函数y asin x 的图像平移规律相同 变式训练 2014 辽宁高考 将函数y 3sin的图像向右平移个单位长度 所得图像对应的函数 a 在区间上单调递减b 在区间上单调递增c 在区间上单调递减d 在区间上单调递增 解题指南 结合图像平移的原则得到新函数的解析式 利用正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间 解析 选 函数y 3sin的图像向右平移个单位长度 所得图像对应的函数为由得即y 3sin的增区间为当k 0时 可见y 3sin在区间上单调递增 由得而不论k取何整数值 得到的减区间都不包含区间故只有选项 正确 补偿训练 为得到函数y sin 2x 的图像 可以将函数y sin 2x 的图像 a 向左平移个单位长度b 向右平移个单位长度c 向左平移个单位长度d 向右平移个单位长度 解析 选b 故应向右平移个单位长度 类型三已知函数y asin x 的图像求解析式 典例3 1 2014 聊城高一检测 如图所示是y asin x 的图像 其中a 0 0 的一部分 则其解析式为 a y 3cos 2x b y 3cos 3x c y 3sin 2x d y 3sin 3x 2 2013 大纲版全国卷 若函数y sin x 0 的部分图像如图 则 a 5b 4c 3d 2 解题探究 1 题 1 中要得到y asin x 的解析式 需要确定哪些参数的值 2 题 2 中x0到x0 的图像占整个周期的几分之几 探究提示 1 需要确定参数a 2 观察图像可知 x0到x0 的图像为整个周期的二分之一 自主解答 1 选c 由图像可知a 3 t 故 2 则函数的解析式为y 3sin 2x 又图像过点则故 k k z k k z 又 故 经检验符合题意 故函数的解析式为y 3sin 2x 2 选b 由图像可知 即t 故 4 方法技巧 已知函数y asin x 的部分图像求解析式 1 a 由最大值或最小值确定a 2 由图中已知相位的差确定周期 从而求 3 一般情况下 求出a 后 利用曲线上一点求 如已知曲线与x轴的交点x0 则令 x0 k k z 得 x0 k k z 再利用 的范围求 的值 变式训练 2013 四川高考 函数f x 2sin x 0 的部分图像如图所示 则 的值分别是 a 2 b 2 c 4 d 4 解题指南 本题考查的是 对函数f x 2sin x 图像的影响 需要重点关注的是周期与最大值点 解析 选a 根据图像可知所以函数的周期为 可得 2 根据图像过 代入解析式 结合 可得 故选a 补偿训练 2014 西安高一检测 函数y asin x a 0 0 0 2 的图像如图 则a 解析 由图像可知 a 2 故 1 故y 2sin x 又函数过点故 2k k z 2k k z 因为0 2 故 答案 21 易错误区 图像变换过程忽视函数名称致误 典例 要得到函数y sin的图像 只需将y cos的图像 a 向左平移个单位b 向右平移个单位c 向左平移个单位d 向右平移个单位 解析 选b 方法一 故应将y cos的图像向右平移个单位 方法二 故应向右平移个单位 故选b 常见误区 防范措施 1 不同名函数的图像平移问题当函数的名称不相同时 要根据诱导公式变为同名函数后再根据平移规律确定平移方式 其中常用的诱导公式有sin cos